2019广州市荔湾区中考数学二模试卷

这是一份2019广州市荔湾区中考数学二模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 估计 11−2 的值在
A. 0 到 1 之间B. 1 到 2 之间C. 2 到 3 之间D. 3 到 4 之间

2. 已知图中所有的小正方形都全等，若在如图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. 3x2−2x2=1B. 2+3=5C. x÷y⋅1y=xD. a2⋅a3=a5

4. 如图，已知直线 AB，CD 被直线 AC 所截，AB∥CD，E 是平面内任意一点（点 E 不在直线 AB，CD，AC 上），设 ∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：① α+β，② α−β，③ β−α，④ 360∘−α−β，∠AEC 的度数可能是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④

5. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是 s甲2=1.8，s乙2=0.7，则成绩比较稳定的是
A. 甲稳定B. 乙稳定C. 一样稳定D. 无法比较

6. 如图是一个几何体的三视图，则这几何体的展开图可以是
A. B.
C. D.

7. 若直线 y=kx+b 图象如图所示，则直线 y=−bx+k 的图象大致是
A. B.
C. D.

8. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是
A. x2−4x−4=0B. x2−36x+36=0
C. 4x2+4x+1=0D. x2−2x−1=0

9. 如图，在菱形 ABCD 中，点 P 从 B 点出发，沿 B→D→C 方向匀速运动，设点 P 运动时间为 x，△APC 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数图象可能为
A. B.
C. D.

10. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60∘，AB=4，点 E 是 AB 边上的动点，过点 B 作直线 CE 的垂线，垂足为 F，当点 E 从点 A 运动到点 B 时，点 F 的运动路径长为
A. 3B. 23C. 23πD. 43π

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：a2−9a= ．

12. 方程 1x+2=2x 的解是 ．

13. 已知，如图，扇形 AOB 中，∠AOB=120∘，OA=2，若以 A 为圆心，OA 长为半径画弧交弧 AB 于点 C，过点 C 作 CD⊥OA，垂足为 D，则图中阴影部分的面积为 ．

14. 若点 1,5，5,5 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个点，则此抛物线的对称轴是 ．

15. 已知点 A 是双曲线 y=3x 在第一象限的一动点，连接 AO，过点 O 作 OA⊥OB，且 OB=2OA，点 B 在第四象限，随着点 A 的运动，点 B 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ．

16. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=15，BC=17，将矩形 ABCD 绕点 D 按顺时针方向旋转得到矩形 DEFG，点 A 落在矩形 ABCD 的边 BC 上，连接 CG，则 CG 的长是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 先化简，再求值 1−3x+1÷x2−4x+4x2−1，其中 x=4．

18. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生?
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有 700 名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名?
（4）若从体能为A等级的 2 名男生 2 名女生中随机的抽取 2 名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

19. x+3x−1=12（用配方法）．

20. 如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图 1 中，作 AD 的中点 P；
（2）在图 2 中，作 AB 的中点 Q．

21. 如图，在 ⊙O 中，点 A 是 BC 的中点，连接 AO，延长 BO 交 AC 于点 D．
（1）求证：AO 垂直平分 BC；
（2）若 tan∠BCA=43，求 ADCD 的值．

22. 如图，将一矩形 OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 在 y 轴正半轴上，点 E 是边 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合），过点 E 的反比例函数 y=kxx>0 的图象与边 BC 交于点 F．
（1）若 △OAE 的面积为 S1，且 S1=1，求 k 的值；
（2）若 OA=2，OC=4，反比例函数 y=kxx>0 的图象与边 AB 、边 BC 交于点 E 和 F，当 △BEF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 OC 上，求 k 的值．

23. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏西 55∘ 方向行驶 4 千米至 B 地，再沿北偏东 35∘ 方向行驶一段距离到达古镇 C，小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，求 B，C 两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55∘≈1.4，tan35∘≈0.7，sin55∘≈0.8）

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx−3，过点 A−3,23 和点 B2,3，与 y 轴交于点 C，连接 AC 交 x 轴于点 D，连接 OA，OB．
（1）求抛物线 y=ax2+bx−3 的函数表达式；
（2）求点 D 的坐标；
（3）∠AOB 的大小是 ；
（4）将 △OCD 绕点 O 旋转，旋转后点 C 的对应点是点 Cʹ，点 D 的对应点是点 Dʹ，直线 ACʹ 与直线 BDʹ 交于点 M，在 △OCD 旋转过程中，当点 M 与点 Cʹ 重合时，请直接写出点 M 到 AB 的距离．

25. 如图，四边形 ABCD 的顶点在 ⊙O 上，BD 是 ⊙O 的直径，延长 CD，BA 交于点 E，连接 AC，BD 交于点 F，作 AH⊥CE，垂足为点 H，已知 ∠ADE=∠ACB．
（1）求证：AH 是 ⊙O 的切线；
（2）若 OB=4，AC=6，求 sin∠ACB 的值；
（3）若 DFFO=23，求证：CD=DH．
答案
第一部分
1. B【解析】∵90，
∴OD=12a，BD=12⋅3a=32a，
∴B 点坐标为 32a,−12a，而 32a⋅−12a=−34，
∴ 点 B 在反比例函数 y=−34x 的图象上．
16. 451734
【解析】连接 AE，如图所示：
由旋转变换的性质可知，∠ADE=∠CDG，AD=BC=DE=17，AB=CD=DG=15，
由勾股定理得，CE=DE2−CD2=172−152=8，
∴BE=BC−CE=17−8=9，
则 AB2+BE2=152+92=334，
∵ADDC=DEDG，∠ADE=∠CDG，
∴△ADE∽△CDG，
∴CGAE=DCAD=1517，
解得：CG=451734．
第三部分
17. 原式=x+1x+1−3x+1÷x2−4x+4x2−1=x−2x+1⋅x+1x−1x−22=x−1x−2,
当 x=4 时，原式=4−14−2=32．
18. （1） 10÷20%=50（名）．
答：本次抽样调查共抽取了 50 名学生．
（2） 50−10−20−4=16（名）．
答：测试结果为C等级的学生有 16 名．
图形统计图补充完整如图所示：
（3） 700×450=56（名）．
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有 56 名．
（4） 画树状图为：
共有 12 种等可能结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为 2，
∴ 抽取的两人恰好都是男生的概率 =212=16．
19. 将原方程整理，得
x2+2x=15.
两边都加上 12，得
x2+2x+12=15+12.
即
x+12=16.
开平方，得
x+1=±4.
即
x+1=4 或 x+1=−4.
所以
x1=3,x2=−5.
20. （1） 如图点 P 即为所求．
（2） 如图点 Q 即为所求．
21. （1） 延长 AO 交 BC 于 H．
∵AB=AC，
∴OA⊥BC，
∴BH=CH，
∴AO 垂直平分线段 BC．
（2） 延长 BD 交 ⊙O 于 K，连接 CK．
在 Rt△ACH 中，
∵tan∠ACH=AHHC=43，
∴ 可以假设 AH=4k，CH=3k，设 OA=r，
在 Rt△BOH 中，
∵OB2=BH2+OH2，
∴r2=9k2+4k−r2，
∴r=258k，
∴OH=AH−OA=78k，
∵BK 是直径，
∴∠BCK=90∘，
∴CK⊥BC，
∵OA⊥BC，
∴OA∥CK，
∵BO=OK，BH=HC，
∴CK=2OH=74k，
∵CK∥OA，
∴△AOD∽△CKD，
∴ADCD=OACK=258k74k=2514，即 ADCD=2514．
22. （1） 设 Ea,b，则 OA=b，AE=a，
∵ 点 E 在反比例函数 y=kxx>0 上，
∴k=ab，
∵△AOE 的面积为 1，
∴12k=1，k=2．
答：k 的值为：2．
（2） 过 E 作 ED⊥OC，垂足为 D，△BEF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 OC 上的 Bʹ，
∵OA=2，OC=4，点 E，F 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴Ek2,2，F4,k4，
∴EB=EBʹ=4−k2，BF=BʹF=2−k4，
∴EBʹFBʹ=4−k22−k4=21，
∵∠EBʹF=90∘，
∴∠EBʹD+∠FBʹC=90∘，
∵∠FBʹC+∠BʹFC=90∘，
∴∠EBʹD=∠BʹFC，
∵∠EDB=∠BʹFC=90∘，
∴△EBʹF∽△BʹCF，
可得：DEBʹC=DBʹFC=EBʹBʹF=21，
∵DE=2，
∴BʹC=1，
在 Rt△BʹFC 中，由勾股定理得：12+k42=2−k42，
解得：k=3，
答：k 的值为：3．
23. 过 B 作 BD⊥AC 于点 D．
在 Rt△ABD 中，BD=AB⋅sin∠BAD=4×0.8=3.2（千米），
∵△BCD 中，∠CBD=90∘−35∘=55∘，
∴CD=BD⋅tan∠CBD=4.48（千米），
∴BC=CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B，C 两地的距离大约是 6 千米．
24. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx−3 过点 A−3,23 和点 B2,3，
∴9a−3b−3=23,4a+2b−3=3, 解得：a=235,b=35,
∴ 抛物线的函数表达式为：y=235x2+35x−3．
（2） 当 x=0 时，y=ax2+bx−3=−3，
∴C0,−3．
设直线 AC 解析式为：y=kx+c，
∴−3k+c=23,0+c=−3, 解得：k=−3,c=−3,
∴ 直线 AC 解析式为 y=−3x−3，
当 y=0 时，−3x−3=0，解得：x=−1．
∴D−1,0．
（3） 90∘
【解析】如图 1，连接 AB．
∵A−3,23，B2,3，
∴OA2=32+232=21，OB2=22+32=7，AB2=2+32+3−232=28，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90∘．
（4） 点 M 到 AB 的距离为 32114 或 4217．
【解析】过点 M 作 MH⊥AB 于点 H，则 MH 的长为点 M 到 AB 的距离．
如图 2，当点 M 与点 Cʹ 重合且在 y 轴右侧时，
∵△OCD 绕点 O 旋转得 △OCʹDʹ（即 △OMD），
∴OM=OC=3，ODʹ=OD=1，∠MODʹ=∠COD=90∘，
∴MDʹ=3+1=2，∠MDʹO=60∘，∠OMDʹ=30∘，
∵∠MODʹ=∠AOB=90∘，
∴∠MODʹ+∠BOM=∠AOB+∠BOM，即 ∠BODʹ=∠AOM，
∵OA=21，OB=7，
∴OBOA=721=13=ODʹOM，
∴△BODʹ∽△AOM，
∴∠BDʹO=∠AMO=60∘，BDʹAM=13，
∴∠AMDʹ=∠AMO+∠OMDʹ=60∘+30∘=90∘，即 AM⊥BDʹ，
设 BDʹ=tt>0，则 AM=3t，BM=BDʹ−MDʹ=t−2，
∵ 在 Rt△AMB 中，AM2+BM2=AB2，
∴3t2+t−22=28，解得：t1=−2（舍去），t2=3，
∴AM=33，BM=1，
∵S△AMB=12AM⋅BM=12AB⋅MH，
∴MH=AM⋅BMAB=33×127=32114；
如图 3，当点 M 与点 Cʹ 重合且在 y 轴左侧时，
∴∠MODʹ−∠AODʹ=∠AOB−∠AODʹ，即 ∠AOM=∠BODʹ，
∴ 同理可证：△AOM∽△BODʹ，
∴∠AMO=∠BDʹO=180∘−∠MDʹO=120∘，BDʹAM=13，
∴∠AMDʹ=∠AMO−∠OMDʹ=120∘−30∘=90∘，即 AM⊥BDʹ，
设 BDʹ=tt>0，则 AM=3t，BM=BDʹ+MDʹ=t+2，
∵ 在 Rt△AMB 中，AM2+BM2=AB2，
∴3t2+t+22=28，解得：t1=2，t2=−3（舍去），
∴AM=23，BM=4，
∵S△AMB=12AM⋅BM=12AB⋅MH，
∴MH=AM⋅BMAB=23×427=4217．
综上所述，点 M 到 AB 的距离为 32114 或 4217．
25. （1） 连接 OA，
由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，
∵∠ADE=∠ACB，
∴∠ADE=∠ADB，
∵BD 是直径，
∴∠DAB=∠DAE=90∘，
在 △DAB 和 △DAE 中，
∠BAD=∠EAD,DA=DA,∠BDA=∠EDA,
∴△DAB≌△DAE，
∴AB=AE，
又 ∵OB=OD，
∴OA∥DE，
又 ∵AH⊥DE，
∴OA⊥AH，
∴AH 是 ⊙O 的切线；
（2） 由（1）知，∠E=∠DBE，∠DBE=∠ACD，
∴∠E=∠ACD，
∴AE=AC=AB=6．
在 Rt△ABD 中，AB=6，BD=8，∠ADE=∠ACB，
∴sin∠ADB=68=34，即 sin∠ACB=34；
（3） 由（2）知，OA 是 △BDE 的中位线，
∴OA∥DE，OA=12DE．
∴△CDF∽△AOF，
∴CDAO=DFOF=23，
∴CD=23OA=13DE，即 CD=14CE，
∵AC=AE，AH⊥CE，
∴CH=HE=12CE，
∴CD=12CH，
∴CD=DH．