2020年上海市宝山区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市宝山区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共5小题；共25分）
1. 符号 sinA 表示
A. ∠A 的正弦B. ∠A 的余弦C. ∠A 的正切D. ∠A 的余切

2. 二次函数 y=1−2x2 的图象的开口方向
A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下

3. 直角梯形 ABCD 如图放置，AB，CD 为水平线，BC⊥AB，如果 ∠BCA=67∘，从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的
A. 俯角 67∘ 方向B. 俯角 23∘ 方向C. 仰角 67∘ 方向D. 仰角 23∘ 方向

4. 已知 a，b 为非零向量，如果 b=−5a，那么向量 a 与 b 的方向关系是
A. a∥b，并且 a 和 b 方向一致B. a∥b，并且 a 和 b 方向相反
C. a 和 b 方向互相垂直D. a 和 b 之间夹角的正切值为 5

5. 如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为
A. π+3B. π−3C. 2π−3D. 2π−23

二、填空题（共12小题；共60分）
6. 已知 1:2=3:x，那么 x= ．

7. 如果两个相似三角形的周长比为 1:2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ．

8. 如图，△ABC 中 ∠C=90∘，如果 CD⊥AB 于 D，那么 AC 是 AD 和 的比例中项．

9. 在 △ABC 中，AB+BC+CA= ．

10. 点 A 和点 B 在同一平面上，如果从 A 观察 B，B 在 A 的北偏东 14∘ 方向，那么从 B 观察 A，A 在 B 的 方向．

11. 如图，在 ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，BD 是 ∠ABC 的平分线，如果 AC=x，那么 CD= （用 x 表示）．

12. 如图，△ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE，若 BE=9，BC=12，则 csC= ．

13. 若抛物线 y=x−m2+m+1 的顶点在第二象限，则 m 的取值范围为 ．

14. 二次函数 y=x2+2x+3 的图象与 y 轴的交点坐标是 ．

15. 如图，已知正方形 ABCD 的各个顶点 A，B，C，D 都在 ⊙O 上，如果 P 是 AB 的中点，PD 与 AB 交于 E 点，那么 PEDE= ．

16. 如图，点 C 是长度为 8 的线段 AB 上一动点，如果 AC
17. 如图，点 A 在直线 y=34x 上，如果把抛物线 y=x2 沿 OA 方向平移 5 个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
18. 计算：6tan60∘−2cs45∘−212．

19. 已知：抛物线 y=x2−2x+m 与 y 轴交于点 C0,−2，点 D 和点 C 关于抛物线对称轴对称．
（1）求此抛物线的解析式和点 D 的坐标；
（2）如果点 M 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，求 MCD 的周长．

20. 某仓储中心有一个坡度为 i=1:2 的斜坡 AB，顶部 A 处的高 AC 为 4 米，B，C 在同一水平地面上，其横截面如图．
（1）求该斜坡的坡面 AB 的长度；
（2）现有一个侧面图为矩形 DEFG 的长方体货柜，其中长 DE=2.5 米，高 EF=2 米，该货柜沿斜坡向下时，点 D 离 BC 所在水平面的高度不断变化，求当 BF=3.5 米时，点 D 离 BC 所在水平面的高度 DH．

21. 如图，直线 l:y=3x，点 A1 坐标为 1,0，过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 为半径画弧交 x 轴于点 A2；再过点 A2 作 x 的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2 长为半径画弧交 x 轴于点 A3，⋯，按此做法进行下去．求：
（1）点 B1 的坐标和 ∠A1OB1 的度数；
（2）弦 A4B3 的弦心距的长度．

22. 如图，△ABC 中，AB=AC，AM 为 BC 边的中线，点 D 在边 AC 上，连接 BD 交 AM 于点 F，延长 BD 至点 E，使得 BDDE=ADDC，连接 CE．求证：
（1）∠ECD=2∠BAM；
（2）BF 是 DF 和 EF 的比例中项．

23. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=ax2+x−1 的图象交于点 A1,a 和点 B−1,−a．
（1）求直线 AB 与 y 轴的交点坐标；
（2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是 y 随着 x 的增大而增大，求 a 应满足的条件以及 x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当 Q 在以 AB 为直径的圆上时，求 a 的值．

24. 如图，OC 是 △ABC 中 AB 边的中线，∠ABC=36∘，点 D 为 OC 上一点，如果 OD=k⋅OC，过 D 作 DE∥CA 交于 BA 点 E，点 M 是 DE 的中点，将 △ODE 绕点 O 顺时针旋转 α 度（其中 0∘<α<180∘）后，射线 OM 交直线 BC 于点 N．
（1）如果 △ABC 的面积为 26，求 △ODE 的面积（用 k 的代数式表示）；
（2）当 N 和 B 不重合时，请探究 ∠ONB 的度数 y 与旋转角 α 的度数之间的函数关系式；
（3）写出当 △ONB 为等腰三角形时，旋转角 α 的度数．
答案
第一部分
1. A【解析】符号 sinA 表示 ∠A 的正弦．
2. D【解析】∵ 二次函数 y=1−2x2 中 −2<0，
∴ 图象开口向下．
3. D【解析】∵BC⊥AB，∠BCA=67∘，
∴∠BAC=90∘−∠BCA=23∘，
从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的仰角 23∘ 方向．
4. B【解析】∵ 已知 a，b 为非零向量，如果 b=−5a，
∴a∥b，a 与 b 的方向相反．
5. D
【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=3BD=3，
∴△ABC 的面积为 12BC⋅AD=12×2×3=3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∴ 莱洛三角形的面积 S=3×23π−2×3=2π−23．
第二部分
6. 6
【解析】∵1:2=3:x，
∴12=3x，
∴x=6．
7. 1:2
【解析】∵ 两个相似三角形的周长比为 1:2，
∴ 两个相似三角形的相似比为 1:2，
∴ 它们某一对对应边上的高之比为 1:2．
8. AB
【解析】∵∠C=90∘，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC，
又 ∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
即 AC2=AD⋅AB，
∴AC 是 AD 和 AB 的比例中项．
9. 0
【解析】∵AB+BC+CA=AC+CA=0．
10. 南偏西 14∘
【解析】由题意可知，∠1=14∘，
∵AC∥BD，
∴∠1=∠2=14∘，
根据方向角的概念可知，由点 B 测点 A 的方向为南偏西 14∘ 方向．
11. −13x
【解析】在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30∘，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，DB=2DC，
∴AD=2DC，
∴CD=13AC，
∴CD=−13x．
12. 23
【解析】根据 DE 是 BC 的中垂线可得 CE=BE=9，CD=12BC=6，∠EDC=90∘，则 csC=CDCE=69=23．
13. −1【解析】∵y=x−m2+m+1，
∴ 顶点为 m,m+1．
∵ 顶点在第二象限，
∴m<0，m+1>0，
∴−114. 0,3
【解析】由图象与 y 轴相交则 x=0，代入得：y=3，
∴ 与 y 轴交点坐标是 0,3．
15. 2−12
【解析】连接 OP，交 AB 于点 F，连接 AC．
根据垂径定理的推论，得 OP⊥AB，AF=BF．
根据 90∘ 的圆周角所对的弦是直径，则 AC 为直径．
设正方形的边长是 1，则 AC=2，圆的半径是 22．
根据正方形的性质，得 ∠OAF=45∘．
∴OF=12，PF=2−12．
∵OP∥AD，
∴PEDE=PFAD=2−12．
16. 2
【解析】作 DH⊥EC 于 H，
设 AC=x，则 BC=EC=8−x，
∵△ACD，△ECB 都是等边三角形，
∴∠ACD=∠ECB=60∘，
∴∠DCE=60∘，
∴S△DCE=12⋅EC⋅CD⋅sin60∘=33，
∴12⋅8−x⋅32x=33，
解得 x=2或6（舍弃），
∴AC=2．
17. y=x−42+3
【解析】如图，过点 A 作 AB⊥x 轴于 B．
∵ 点 A 在直线 y=34x 上，OA=5，
∴OB=4，AB=3．
∴ 点 A 的坐标为 4,3．
∴ 平移后的抛物线解析式是 y=x−42+3．
第三部分
18. 原式=63−2×22−2=6×3+23−23+2−2=32+23−2=22+23.
19. （1） 抛物线 y=x2−2x+m 与 y 轴交于点 C0,−2，
∴m=−2，
∴ 此抛物线的解析式为 y=x2−2x−2，
∵ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−2=x−12−3，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∵ 点 D 与 C 关于抛物线的对称轴对称，
∴ 点 D 的坐标为 2,−2．
（2） ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴M1,0，
∴MC=MD=12+22=5，
∵CD=2，
∴△MCD 的周长为：2+25．
20. （1） ∵ 坡度为 i=1:2，AC=4 m，
∴BC=4×2=8 m．
∴AB=AC2+BC2=42+82=45（米）．
（2） ∵∠DGM=∠BHM，∠DMG=∠BMH，
∴∠GDM=∠HBM，
∴GMGD=12，
∵DG=EF=2 m，
∴GM=1 m，
∴DM=12+22=5，BM=BF+FM=3.5+2.5−1=5 m，
设 MH=x m，则 BH=2x m，
∴x2+2x2=52．
∴x=5 m．
∴DH=5+5=25 m．
21. （1） ∵ 直线的解析式 y=3x，
∴tan∠A1OB1=A1B1OA1=3，
∴∠A1OB1=60∘，OA1=1，
∴A1B1=3，OA2=OB1=2，
∴B11,3．
（2） 连接 A4B3，作 OH⊥A4B3 于 H，
由题意 OA1=1，OA2=2，OA3=4，OA4=8，
∵OA4=OB3，OH⊥A4B3，
∴∠A4OH=12∠A4OB3=30∘，
∴OH=OA4⋅cs30∘=8×32=43．
22. （1） ∵AB=AC，AM 为 BC 边的中线，
∴∠BAC=2∠BAM．
∵BDDE=ADDC，∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE．
∴∠BAC=∠ECD．
∴∠ECD=2∠BAM．
（2） 如图，连接 CF．
∵AB=AC，AM 为 BC 边的中线，
∴AM 是 BC 的垂直平分线．
∴BF=CF 且 AB=AC，AF=AF．
∵△ABF≌△ACFSSS，
∴∠ABF=∠ACF．
由（1）可知：△ADB∽△CDE，
∴∠ABF=∠E．
∴∠ACF=∠E 且 ∠EFC=∠DFC．
∴△DCF∽△CEF．
∴DFCF=CFEF 且 BF=CF．
∴BF2=DF⋅EF．
∴BF 是 DF 和 EF 的比例中项．
23. （1） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b．
由题意可得 a=k+b,−a=−k+b,
∴b=0，k=a．
∴ 直线 AB 的解析式为 y=ax，
∴ 当 x=0 时，y=0．
∴ 直线 AB 与 y 轴的交点坐标 0,0．
（2） ∵ 反比例函数过点 A1,a，
∴ 反比例函数解析式为 y=ax，
∵ 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，
∴a<0．
∵ 二次函数 y=ax2+x−1=ax+122−54a，
∴ 对称轴为直线 x=−12．
要使二次函数 y=ax2+x−1 满足上述条件，
在 k<0 的情况下，x 必须在对称轴的左边，
即 x≤−12 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大．
综上所述，a<0 且 x≤−12．
（3） ∵ 二次函数 y=ax2+x−1=ax+122−54a，
∴ 顶点 Q−12,−54a，
∵Q 在以 AB 为直径的圆上，
∴OA=OQ，
∴−122+−54a2=12+a2，
∴a=±233．
24. （1） ∵OC 是 △ABC 中 AB 边的中线，△ABC 的面积为 26，
∴S△OAC=13，
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OCA，∠OEM=∠OAC，
∴S△DBOS△OAC=ODOC2，且 OD=k⋅OC，
∴S△ODE=13k2，
（2） ∵△ODE∽△OCA，
∴OEOA=ODOC=DEAC=k，
∵OC 是 △ABC 中 AB 边的中线，点 M 是 DE 的中点，
∴AB=2AO，EM=12DE，
∴OEAB=k2=EMAC，且 ∠OEM=∠OAC，
∴△OEM∽△BAC，
∴∠EOM=∠ABC=36∘，
如图 2，当 0<α<144∘ 时，
∵∠AON=∠B+∠ONB，
∴∠AOE+∠EOM=∠B+∠ONB，
∴y=α．
如图 3，当 144∘<α<180∘ 时，
∵∠BON=∠EOM−∠BOE=36∘−180∘−α，
∴∠NOB=α−144∘，
∵∠BNO=∠ABC−∠NOB=36∘−α−144∘=180∘−α．
（3） 当 0<α<144∘ 时，若 OB=ON，则 ∠ABC=∠BNO=36∘=α，
若 OB=BN，则 ∠ONB=180∘−36∘2=72∘=α，
若 ON=BN，则 ∠ABC=∠BON=36∘，
∴∠ONB=180∘−2×36∘=108∘=α，
当 144∘<α<180∘ 时，
若 OB=BN，则 ∠N=∠NOB=18∘=180∘−α，
∴α=162∘．