2020-2021学年广东省深圳市南山区南山第二外国语学校中考三模数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市南山区南山第二外国语学校中考三模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 2 的相反数是
A. 12B. −12C. 2D. −2

2. 函数 y=x+1 中自变量 x 的取值范围是
A. x≥1B. x≥−1C. x<1D. x<−1

3. 下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是
A. x−1<3,x+1<3B. x−1<3,x+1>3C. x−1>3,x+1>3D. x−1>3,x+1<3

4. 下列计算正确的是
A. a32=a5B. a6÷a3=a2
C. a3⋅a2=a6D. −ab3=−a3b3

5. 南方某市 2020 年财政收入 10500 亿元，用科学记数法表示应为 元．
A. 1.05×104B. 1.05×1011C. 1.05×1012D. 1.05×1013

6. 如图，四边形 ABCD 内有一点 E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若 ∠C=100∘，则 ∠BAD 的大小是
A. 25∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘

7. 分别由五个大小相同的正方形组成的甲、乙两个几何体如图所示，它们的三视图中完全一致的是
A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 三视图

8. 若 x1，x2 是一元二次方程 x2−2x−3=0 的两个根，则 x1+x2 的值是
A. 2B. −2C. 4D. −3

9. 希腊的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，⋯，这样的数称为“三角形数”，把 1，4，9，16，⋯ 这样的数称为“正方形数”．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是
A. 6+15=21B. 36+45=81C. 9+16=25D. 30+34=64

10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，E 为 CD 上一点，且 AE=AB，M 为 AE 的中点．下列结论：
① DM=DA；② EB 平分 ∠AEC；③ S△ABE=S△ADE；④ BE2=2AE⋅EC．其中结论正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 分解因式：−m3+2m2−m= ．

12. 已知整数 a1，a2，⋯，an（n 为正整数）满足 a1=0，a2=−a1+1，a3=−a2+2，a4=−a3+3，⋯，以此类排，则 a2021= ．

13. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，D 是 AC 边上一点，且 AD=BD=5，tan∠CBD=34，线段 AB 的长度是 ．

14. 在平面直角坐标系中，直线 y=kx 向右平移 2 个单位后，刚好经过点 0,4，则不等式 2x>kx+4 的解集为 ．

15. 如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 的中点，BG⊥AP 于点 G，在 AP 的延长线上取点 E，使 AG=GE，若正方形的边长为 2，则 CE 的长 = ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 解答下列各题：
（1）计算：1212+2−tan60∘−3−π0+−12−2．
（2）先化简，再求值：3−x2x−4÷5x−2−x−2，其中 x=3−3．

17. 某中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为 45 分，且成绩为 45 分的学生占抽查人数的 10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 分．
（2）补全折线统计图．
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为 50 分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为 50 分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O．过点 O 作 BD 的垂线，交 BA 延长线于点 E，交 AD 于 F，交 BC 于点 N，若 EF=OF，∠CBD=30∘，BD=63．
（1）求证：EF=13EN．
（2）求 AF 的长．

19. 如图，一次函数的图象与反比例函数 y1=−3xx<0 的图象相交于 A 点，与 y 轴、 x 轴分别相交于 B，C 两点，且 C2,0．当 x<−1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x>−1 时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式．
（2）设函数 y2=axx>0 的图象与 y1=−3xx<0 的图象关于 y 轴对称，在 y2=axx>0 的图象上取一点 P（P 点的横坐标大于 2），过 P 作 PQ⊥x 轴，垂足是 Q，若四边形 BCQP 的面积等于 2，求 P 点的坐标．

20. 某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资 3000 元．已知绿茶成本 50 元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量 wkg 与销售单价 x（元/kg）满足关系式：w=−2x+240．
（1）设该绿茶的月销售利润为 y（元），求 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围），并求出 x 为何值时，y 的值最大?（销售利润 = 单价 × 销售量 − 成本 − 投资）
（2）若在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于 90 元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?

21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−12x+4 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，以 AB 为直径作 ⊙O1，过 B 作 ⊙O1 的切线交 x 轴于点 C．
（1）求点 C 的坐标．
（2）设点 D 为 BC 延长线上一点，CD=BC，P 为线段 BC 上的一个动点（异于 B，C），过点 P 作 x 轴的平行线交 AB 于 M，交 DA 的延长线于 N，试判断 PM+PN 的值是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

22. 已知抛物线 y=ax−12+3a，其顶点为 E，与 y 轴交于点 D0,4．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若直线 l:y=−13x+8 与抛物线在第一象限交于点 B，交 y 轴于点 A，求 ∠ABD−∠DBE 的值．
（3）若有两个定点 F1,134，A0,8，请在抛物线上找一点 K，使得 △KFA 的周长最小，请求出周长的最小值．
答案
第一部分
1. D【解析】2 的相反数是 −2．
2. B【解析】由题意，得 x+1≥0，解得 x≥−1．
3. B【解析】A．此不等式组的解集为 x<2，不符合题意；
B．此不等式组的解集为 2C．此不等式组的解集为 x>4，不符合题意；
D．此不等式组无解，不符合题意．
4. D【解析】A选项：a32=a6，故A错误；
B选项：a6÷a3=a3，故B错误；
C选项：a3⋅a2=a5，故C错误；
D选项：−ab3=−a3b3，故D正确．
5. C
【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤a<10，n 为整数．
确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 >1 时，n 是正数；当原数的绝对值 <1 时，n 是负数．
10500 亿 =1.05×104 亿 =1.05×1012．
6. B
7. A【解析】从正面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：3，1，1，
乙从左往右 3 列小正方形的个数为：3，1，1，符合题意；
从左面可看到甲 1 列小正方形的个数为：3，
乙从左往右 3 列小正方形的个数为：3，1，1，不符合题意；
从上面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：1，1，1，
乙从左往右 3 列小正方形的个数为：1，1，1，但位置不同，不符合题意．
8. A【解析】∵ 一元二次方程 x2−2x−3=0 的一次项系数是 a=1，二次项系数 b=2，
∴ 由韦达定理，得 x1+x2=2．
9. B
10. C
【解析】① ∵ 在直角 △ADE 中，∠ADE=90∘，M 为 AE 的中点，
∴DM=12AE，
∵AE=AB，AB=2BC=2DA，
∴DM=DA，正确；
②在直角 △ADE 中，∠ADE=90∘，AD=12AE，
∴∠DEA=30∘．
∵CD∥AB，
∴∠EAB=∠DEA=30∘，∠CEB=∠ABE．
在 △EAB 中，∠EAB=30∘，AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=75∘，
∴∠CEB=75∘，
∴EB 平分 ∠AEC，正确；
③ ∵S△ABE=S矩形ABCD，S△ADE ∴S△ABE>S△ADE，错误；
④在矩形 ABCD 中，设 BC=DA=a，
则 AE=AB=DC=2BC=2a，DE=3AD=3a，
∴EC=2−3a．
在直角 △BCE 中，
BE2=BC2+CE2=a2+2−3a2=8−43a2，
2AE⋅EC=2×2a×2−3a=8−43a2，正确．
第二部分
11. −mm−12
12. −1010
【解析】由题知 a1=0，
a2=−a1+1=−0+1=−1，
a3=−a2+2=−−1+2=−1，
a4=−a3+3=−−1+3=−2，
a5=−a4+4=−−2+4=−2，
⋯，
∴n 是奇数时，an=−n−12；n 是偶数时，an=−n2，
a2021=−2021−12=−20202=−1010．
13. 45
14. x>1
【解析】∵ 直线 y=kx 向右平移 2 个单位得：y=kx−2，又其过点 0,4，
∴4=−2k，解得：k=−2，
∴ 不等式 2x>kx+4 可化为：2x>−2x+4，解得 x>1．
15. 2510
第三部分
16. （1） 1212+2−tan60∘−3−π0+−12−2=12×23+2−3−1+1−122=3+2−3−1+4=5.
（2） 3−x2x−4÷5x−2−x−2=3−x2x−2÷5x−2−x+21x−2x−2=3−x2x−2÷5−x2+4x−2=3−x2x−2×x−23+x3−x=123+x.
当 x=3−3 时，
原式=123+3−3=123=36.
17. （1） 50；48.5；48
【解析】抽查的学生人数为：3+2÷10%=50（人）；
由图可知，得分为 45 分的人数为：3+2=5，
得分为 46 分的人数为：2+4=6，
得分为 47 分的人数为：4+3=7，
得分为 48 分的人数为：3+4=7，
得分为 49 分的人数为：9+7=16，
∴，第 25 人的得分为 48 分，第 26 人的得分为 49 分，
中位数为 48+492=48.5，
得分 50 分的女生人数为：50−5−6−7−7−16−4=50−45=5（人）．
∴ 女生成绩的平均数为：45×2+46×4+47×3+48×4+49×7+50×52+4+3+4+7+5=120025=48．
（2） 女生得分 50 分的有 5 人，所以补全图形如图：
（3） 设得分 50 分的男生分别为男 1 、男 2 、男 3 、男 4，其中男 1 、男 2 是体育特长生，
得分 50 分的女生分别为女 1 、女 2 、女 3 、女 4 、女 5，其中女 1 、女 2 是体育特长生，
列表如下：
女1女2女3女4女5男1男1,女1男1,女2男1,女3男1,女4男1,女5男2男2,女1男2,女2男2,女3男2,女4男2,女5男3男3,女1男3,女2男3,女3男3,女4男3,女5男4男4,女1男4,女2男4,女2男4,女2男4,女2
由表可知，一共有 20 种等可能情况，其中都不是体育特长生的有 6 种情况，
∴P都不是体育特长生=620=310．
18. （1） 如图所示：
∵ 平四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=OC，BO=DO，
∴∠DAO=∠BCO，
在 △AOF 和 △CON 中，
∠FAO=∠NCO,AO=CO,∠AOF=∠CON,
∴△AOF≌△CONASA，
∴OF=ON，
∵EF=OF，
∴EF=13EN．
（2） ∵EF⊥BD，
∴∠BON=90∘，
∵∠OBN=30∘，BO=12BD=33，
∴BN=2BO3=6，
∵AF∥BN，
∴△EAF∽△EBN，
∴AFBN=EFEN，
∴AF6=13，
∴AF=2．
19. （1） 根据题意当 x<−1 时，一次函数值大于反比例函数值，
当 x>−1 时，一次函数值小于反比例函数值，
∴ 交点 A 的横坐标为 −1，代入反比例解析式可得 y=−3−1=3，
∴A 的坐标为 −1,3；设一次函数解析式为 y=kx+b，
将点 A−1,3 和点 C2,0 代入得 −k+b=3, ⋯⋯①2k+b=0. ⋯⋯②
② − ①得 3k=−3，k=−1，代入①中得 b=2，
∴ 一次函数的解析式为 y=−x+2．
（2） 函数 y2=axx>0 的图象与 y1=−3xx<0 对称，
∴y2=3xx>0，
设 P 点横坐标为 x，
∴ 纵坐标为 3x，
由（1）中 y=−x+2 可以求得 B0,2，C2,0；
若四边形 BCQP 的面积等于 2，
∴ 梯形 OQPB 的面积为 2+12×2×2=4，
∵S梯形OQPB=12×PQ+OB×OQ=123x+2×x=3+2x2=4，
解得 x=52，将 x=52 代入 y2=3xx>0 得 y=65，
∴P 点坐标为 52,65．
20. （1） 由题意可得，
y 与 x 的函数关系式为：
y=x−50⋅w=x−50⋅−2x+240=−2x2+340x−12000.
∵y=−2x2+340x−12000=−2x−852+2450，
∴ 当 x=85 时，y 的值最大为 2450 元．
（2） ∵ 在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售所获利润 2450 元，
∴ 第 1 个月还有 3000−2450=550 元的投资成本没有收回．
∴ 要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，即 y=2250 才可以，
∴−2x−852+2450=2250，解得 x1=75，x2=95．
根据题意，x2=95 不合题意应舍去．
答：当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2250 元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元．
21. （1） ∵BC 是 ⊙O1 的切线，
∴BC⊥AB，
∵ 直线 AB 的解析式为 y=−12x+4，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=2x+4，
令 y=0，
∴2x+4=0，
∴x=−2，
∴C−2,0．
（2） PM+PN 的值是定值，定值为 20，理由如下：
针对于直线 y=−12x+4，令 x=0，
∴y=4，
∴B0,4，
令 y=0，则 −12x+4=0，
∴x=8，
∴A8,0，
由（1）知，C−2,0，
∵CD=BC，
∴D−4,−4，
∵A8,0，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=13x−83，
∵ 点 P 在线段 BC 上，
设 Pm,2m+4−2 ∵PM∥x 轴，
∴M−4m,2m+4，N6m+20,2m+4，
∴PM+PN=−4m−m+6m+20−m=20，
即：PM+PN 的值是定值，定值为 20．
22. （1） 由题意抛物线 y=ax−12+3a 过点 D0,4，
∴a+3a=4，解得 a=1，
∴y=x−12+3，即 y2=x2−2x+4．
（2） 如图，连 DE 作 BS⊥y 轴于 S，
由题知 E1,3，A0,8，D0,4，
由 y=x2−2x+4,y=−13x+8, 解得 B3,7，
∴BD=7−42+32=32，DE=12+12=2，BE=3−12+7−32=25，
由 BD2+DE2=BE2 得 ∠BDE=90∘，且 BDDE=3，
又 ∵BDDE=BSAS，∠BDE=∠BSA=90∘，
∴△BSA∽△EBD，
∴∠ABS=∠EBD，
∴∠ABD−∠DBE=∠ABS+∠SBD−∠DBE=∠SBD，
∵SD=7−4=3，
∴△BSD 为等腰直角三角形，
∴∠SBD=45∘，即 ∠ABD−∠DBE=45∘．
（3） 设 kx,y，作 DT⊥x 轴于 T，则
KF=x−12+y−1342=y−32+y−1342=y−1142=y−114=KT−114,
∴C△AFK=AK+KF+FA=AK+KT−114+0−12+8−1342=AK+KT−114+3774,
则当 A，K，T 三点共线时，
C△AFKmin=AO−114+3774=8−114+3774=21+3774,
此时 K 在 D0,4 外．