2020年上海市长宁区、金山区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市长宁区、金山区中考一模数学试卷（期末），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中是二次函数的是
A. y=2x2B. y=x+32−x2
C. y=x2+2x−1D. y=xx−1

2. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 内有一点 A2,3，那么 OA 与 x 轴正半轴的夹角 α 的余切值是
A. 32B. 23C. 31313D. 21313

3. 将抛物线 y=x+12−3 向右平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为
A. y=x−12−3B. y=x+32−3
C. y=x+12−1D. y=x+12−5

4. 下列命题正确的是
A. 如果 a=b，那么 a=b
B. 如果 a，b 都是单位向量，那么 a=b
C. 如果 a=kbk≠0，那么 a∥b
D. 如果 m=0 或 a=0，那么 ma=0

5. 已知在矩形 ABCD 中，AB=5，对角线 AC=13．⊙C 的半径长为 12，下列说法正确的是
A. ⊙C 与直线 AB 相交B. ⊙C 与直线 AD 相切
C. 点 A 在 ⊙C 上D. 点 D 在 ⊙C 内

6. 如果点 D，E，F 分别在 △ABC 的边 AB，BC，AC 上，联结 DE，EF，且 DE∥AC，那么下列说法错误的是
A. 如果 EF∥AB，那么 AF:AC=BD:AB
B. 如果 AD:AB=CF:AC，那么 EF∥AB
C. 如果 △EFC∽△ABC，那么 EF∥AB
D. 如果 EF∥AB，那么 △EFC∽△BDE

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：2a−2b+3a+b= ．

8. 如果 xx−y=32，那么 xy 的值等于 ．

9. 已知点 P 在线段 AB 上，且满足 BP2=AB⋅AP，则 BPAB 的值等于 ．

10. 已知抛物线 y=1+ax2 的开口向上，则 a 的取值范围是 ．

11. 抛物线 y=2x2−1 在 y 轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）

12. 如果一条抛物线经过点 A2,5，B−3,5，那么它的对称轴是直线 ．

13. 如图，传送带把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度 i=1:2.4，那么物体所经过的路程 AB 为 米．

14. 如图，AC 与 BE 交于点 D，∠A=∠E=90∘，若点 D 是线段 AC 的中点，且 AB=AC=10．则 BE 的长等于 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，点 G 是重心，AC=4，tan∠ABG=13，则 BG 的长是 ．

16. 已知相交两圆的半径长分别为 8 与 15，圆心距为 17，则这两圆的公共弦长为 ．

17. 如果直线 l 把 △ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线 l 叫做 △ABC 的“完美分割线”，已知在 △ABC 中，AB=AC，△ABC 的一条“完美分割线”为直线 l，且直线 l 平行于 BC，若 AB=2，则 BC 的长等于 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=2，BC=4，点 P 在边 BC 上，联结 AP，将 △ABP 绕着点 A 旋转，使得点 P 与边 AC 的中点 M 重合，点 B 的对应点是点 Bʹ，则 BBʹ 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin30∘⋅tan260∘−ct45∘+cs60∘cs30∘−sin245∘．

20. 如图，在梯形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，AD∥EF∥BC，EF 与 BD 交于点 G，AD=5，BC=10，AEEB=23．
（1）求 EF 的长；
（2）设 AB=a，BC=b，那么 DB= ，FC= ．（用向量 a，b 表示）

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的弦，点 C 在 ⊙O 上，且 AC=BC，联结 AO，CO，并延长 CO 交弦 AB 于点 D，AB=43，CD=6．
（1）求 ∠OAB 的大小；
（2）若点 E 在 ⊙O 上，BE∥AO，求 BE 的长．

22. 图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 O−A−B−C 表示支架，支架的一部分 O−A−B 是固定的，另一部分 BC 是可旋转的，线段 CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点 O，且 AO=7 cm，∠BAO=160∘，BC∥OM，CD=8 cm．
将图 2 中的 BC 绕点 B 向下旋转 45∘，使得 BCD 落在 BCʹDʹ 的位置（如图 3 所示），此时 CʹDʹ⊥OM，ADʹ∥OM，ADʹ=16 cm，求点 B 到水平桌面 OM 的距离．
（参考数据：sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，ct70∘≈0.36，结果精确到 1 cm）

23. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，AE 与 CD 交于点 F，若 AE 平分 ∠BAC，AB⋅AF=AC⋅AE．
（1）求证：∠AFD=∠AEC；
（2）若 EG∥CD，交边 AC 的延长线于点 G，求证：CD⋅CG=FC⋅BD．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=13x2+mx+n 经过点 B6,1，C5,0，且与 y 轴交于点 A．
（1）求抛物线的表达式及点 A 的坐标；
（2）点 P 是 y 轴右侧抛物线上的一点，过点 P 作 PQ⊥OA，交线段 OA 的延长线于点 Q，如果 ∠PAB=45∘．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点 F 是线段 AB（不包含端点）上的一点，且点 F 关于 AC 的对称点 Fʹ 恰好在上述抛物线上，求 FFʹ 的长．

25. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，点 P，Q 分别在边 AC，射线 CB 上，且 AP=CQ，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为点 M，连接 PQ，以 PM，PQ 为邻边作平行四边形 PQNM，设 AP=x，平行四边形 PQNM 的面积为 y．
（1）当平行四边形 PQNM 为矩形时，求 ∠PQM 的正切值；
（2）当点 N 在 △ABC 内，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 x 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】二次函数的解析式为 y=ax2+bx+ca≠0，
y=xx−1=x2−x．
2. B【解析】过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B，
则 OB=2，AB=3，
在 Rt△OAB 中，ct∠AOB=ctα=OBAB=23．
3. A【解析】∵ 将抛物线 y=x+12−3 向右平移 2 个单位，
∴ 新抛物线的表达式为 y=x+1−22−3=x−12−3．
4. C【解析】A．向量是既有大小又有方向，
a=b 表示有向线段的长度，
a=b 表示长度相等，方向相同，
所以A选项不正确；
B．长度等于 1 的向量是单位向量，
所以B选项不正确；
C. a=kbk≠0⇔a∥b，
所以C选项正确；
D．如果 m=0 或 a=0，那么 ma=0，不正确．
故选：C．
5. D
【解析】∵ 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=13，AB=5，
∴BC=AC2−AB2=132−52=12，
∵⊙C 的半径长为 12，
∴⊙C 与直线 AB 相切，
故A选项不正确．
∵CD=AB=5<12，
∴⊙C 与直线 AD 相交，
故B选项不正确．
∵AC=13>12，
∴ 点 A 在 ⊙C 外，
故C选项不正确．
∵CD=5<12，
∴ 点 D 在 ⊙C 内，
故D选项正确．
6. C【解析】如图所示：
A．∵DE∥AC，EF∥AB，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形，△BDE∽△BAC，
∴DE=AF，DEAC=BDAB，
∴AF:AC=BD:AB；选项A不符合题意；
B．∵DE∥AC，
∴AD:AB=CE:BC，
∵AD:AB=CF:AC，
∴CE:BC=CF:AC，
∴EF∥AB，选项B不符合题意；
C．∵△EFC∽△ABC，
∴∠CFE=∠CBA，
∴EF 与 AB 不平行，选项C符合题意；
D．∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠C=∠BED，∠CEF=∠B，
∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意．
第二部分
7. 5a−b
【解析】2a−2b+3a+b=2a−4b+3a+3b=5a−b,
故答案为：5a−b．
8. 3
【解析】∵xx−y=32，
∴3x−3y=2x，
故 x=3y，
∴xy=3．
故答案为：3．
9. 5−12
【解析】根据黄金分割定义可知：
∵BP2=AB⋅AP，
设 AB 为 1，则 AP=1−BP，
∴BP2=1⋅1−BP，
BP2+BP−1=0，
解得 BP=−1±52（−1−52 舍去），
∴BP=5−12．
10. a>−1
【解析】∵ 抛物线 y=1+ax2 的开口向上，
∴1+a>0，
∴a>−1．
11. 下降
【解析】抛物线 y=2x2−1 的对称轴 x=0，抛物线开口向上，
∴ 在对称轴左侧 y 随 x 的增加而减小，
故答案为下降．
12. x=−12
【解析】因为 A2,5，B−3,5 的纵坐标相同，
∴A，B 关于 x=2−32=−12 对称，
∴ 抛物线的对称轴 x=−12．
13. 13
【解析】∵ 传送带与地面所成的斜坡的坡度 i=1:2.4，
∴BCAC=12.4，即 5AC=12.4，
解得，AC=12，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=122+52=13．
14. 65
【解析】∵AD=DC=5，AB=10，∠A=90∘，
∴BD=AB2+AD2=55，
∵∠ADB=∠CDE，∠A=∠E=90∘，
∴△ABD∽△ECD，
∴ADDE=BDCD，
∴5DE=555，
∴DE=5，
∴BE=BD+DE=65．
15. 4103
【解析】延长 BG 交 AC 于 H，
∵G 是 △ABC 的重心，
∴AH=12AC=12×4=2，
∵∠BAC=90∘，tan∠ABG=13，
∴AHAB=13，
∴AB=6，
由勾股定理得：BH=AB2+AH2=62+22=210，
∵G 是 △ABC 的重心，
∴BG=2GH，
∴BG=23×210=4103 ；
16. 24017
【解析】在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，
其三边分别为 8，15，17，
由于 172=152+82，
∴ 这个三角形是以 17 为斜边的直角三角形，
斜边上的高 =8×1517=12017，
故公共弦长 =2×12017=24017．
17. 42−4
【解析】如图，设直线 l 与 AB，CD 分别交于点 E，D，
则由“完美分割线”的定义可知，S△AED=S四边形BCDE，
∴S△AEDS△ABC=12，
∵l∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=ADAC=12=22，
设 AE=AD=x，
则 x2=22，
∴x=2，
∴BE=CD=2−2，
∴BC=22−22−2=42−4．
18. 2510
【解析】如图，延长 ABʹ 交 BC 于 E，过点 Bʹ 作 BʹD⊥AB 于点 D，
∵∠ABC=90∘，AB=2，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=16+4=25，
∵ 点 M 是 AC 中点，
∴AM=5，
∵ 将 △ABP 绕着点 A 旋转，使得点 P 与边 AC 的中点 M 重合，
∴AP=AM=5，∠PAB=∠CAE，AB=ABʹ=2，
∵AP2=AB2+PB2，
∴PB=1，
∵BAPB=2=BCAB，且 ∠ABP=∠ABC=90∘，
∴△ABP∽△CBA，
∴∠PAB=∠C，
∴∠C=∠CAE，
∴CE=AE，
∵AE2=AB2+BE2，
∴CE2=4+4−CE2，
∴CE=AE=52，
∴BE=32，
∵BʹD∥BC，
∴△ABʹD∽△AEB，
∴ABʹAE=ADAB=BʹDBE，
∴252=AD2=BʹD32，
∴AD=85，BʹD=65，
∴BD=25，
∴BBʹ=BʹD2+BD2=3625+425=2105．
第三部分
19. 原式=12×32−1+1232−222=13−12=3+1.
20. （1） ∵ AEEB=23．
∴ AEAB=25，EBAB=35，
∵ AD∥EF∥BC，
∴ DFDC=AEAB=25，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，
∴ EGAD=EBAB=35，GFBC=DFDC=25，
即 EG5=35，GF10=25，
解得：EG=3，GF=4，
∴ EF=EG+GF=7．
（2） a−12b；35a+310b
【解析】∵ AD=5，BC=10，
∴ AD=12BC，
∵ AD∥EF∥BC，
∴ AD=12BC=12b．
∴ DB=AB+DA=a−12b，
∴ DC=DB+BC=a−12b+b=a+12b，
∵ DFDC=AEAB=25，
∴ FCDC=35，
∴ FC=35DC，
∴ FC=35DC=35a+12b=35a+310b；
故答案为：a−12b；35a+310b．
21. （1） 如图 1，连接 OB，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴180∘−∠AOC=180∘−∠BOC，
∴∠AOD=∠BOD，
∵OA=OB，
∴OD 垂直平分 AB，
∴AD=BD=12AB=23，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OD=6−r，
在 Rt△AOD 中，AO2=AD2+OD2，
∴r2=232+6−r2，
解得，r=4，
∴cs∠OAD=ADAO=234=32，
∴∠OAD=30∘，
即 ∠OAB=30∘．
（2） 如图 2，连接 OE，
由（1）知，∠OAB=30∘，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=30∘，
∵EB∥AO，
∴∠EBD=∠OAB=30∘，
∴∠EBO=∠EBD+∠OBA=60∘，
∵OE=OB，
∴△OEB 是等边三角形，
∴BE=r=4．
22. 过 B 作 BG⊥OM 于 G，
过 Cʹ 作 CʹH⊥BG 于 H，延长 DʹA 交 BG 于 E，
则 CʹH=DʹE，HE=CʹDʹ=8，
设 AE=x，
∴CʹH=DʹE=16+x，
∵∠BCʹH=45∘，
∴BH=CʹH=16+x，
∴BE=16+x+8=24+x，
∵∠BAO=160∘，
∴∠BAE=70∘，
∴tan70∘=BEAE=24+xx=10.36，
解得：x=13.5，
∴BE=37.5，
∴BG=BE+EG=BE+AO=37.5+7=44.5≈45 cm．
答：B 到水平桌面 OM 的距离为 45 cm．
23. （1） ∵AB⋅AF=AC⋅AE，
∴ABAE=ACAF，
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB=∠AFC，
∴180∘−∠AEB=180∘−∠AFC，
∴∠AEC=∠AFD；
（2） ∵∠CFE=∠AFD=∠CEF，
∴CE=CF，
∵DC∥EG，
∴∠DCB=∠CEG，∠G=∠ACF=∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴BDDC=GCCE=GCCF，
∴CD⋅CG=FC⋅BD．
24. （1） 将 B6,1，C5,0 代入抛物线解析式 y=13x2+mx+n，
得 1=12+6m+n,0=253+5m+n,
解得，m=−83，n=5，
则抛物线的解析式为：y=13x2−83x+5，点 A 坐标为 0,5．
（2） AC=52+52=52，BC=6−52+12=2，AB=62+5−12=213，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 为直角三角形，且 ∠ACB=90∘，
当 ∠PAB=45∘ 时，点 P 只能在点 B 右侧，过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，
∴∠QAB+∠OAB=180∘−∠PAB=135∘，
∴∠QAP+∠CAB=135∘−∠OAC=90∘，
∵∠QAP+∠QPA=90∘，
∴∠QPA=∠CAB，
又 ∵∠AQP=∠ACB=90∘，
∴△PQA∽△ACB．
（3） 做点 B 关于 AC 的对称点 Bʹ，
则 A，F，Bʹ 三点共线，由于 AC⊥BC，根据对称性知点 Bʹ4,−1，将 Bʹ4,−1 代入直线 y=kx+5，
∴k=−32，
∴yABʹ=−32x+5，
联立 y=32x+5,y=13x2−83x+5,
解得，x1=72，x2=0（舍去），
则 Fʹ72,−14，
将 B6,1，Bʹ4,−1 代入直线 y=mx+n，
得 6k+b=1,4k+b=−1,
解得，k=1，b=−5，
∴yBBʹ=x−5，
由题意知，kFFʹ=KBBʹ，
∴设yFFʹ=x+b，
将点 Fʹ72,−14 代入，
得 b=−154，
∴yFFʹ=x−154，
联立 y=23x+5,y=x−154,
解得，x=214，y=32，
∴F214,32，
则 FFʹ=214−722+32+142=724．
25. （1） 在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
当四边形 PQMN 是矩形时，PQ∥AB．
∴tan∠PQM=PMPQ=35PA53CQ=925．
（2） 如图 1 中，延长 QN 交 AB 于 K．
由题意 BQ=6−x，QN=PM=35x，AM=45x，KQ=45BQ=24−4x5，BK=35BQ=18−3x5，
∴MK=AB−AM−BK=32−x5，
∵QN ∴35x<24−4x5，
∴x<247，
∴y=PM⋅MK=96x−3x2250≤x<247．
（3） ①如图 3−1 中，当平分 MN 时，D 为 MN 的中点，作 NE∥BC 交 PQ 于 E，作 NH⊥CB 交 CB 的延长线于 H，EG⊥BC 于 G．
∵PD∥BC，EN∥BC，
∴PD∥NE，
∵PE∥DN，
∴ 四边形 PDNE 是平行四边形，
∴PE=DN，
∵DN=DM，PQ=MN，
∴PE=EQ，
∵EG∥PC，
∴CG=GQ，
∴EG=12PC，
∵ 四边形 EGHN 是矩形，
∴NH=EG=35NQ=35PM=925x，PC=8−x，
∴925x=12⋅8−x，
解得 x=20043．
②如图 3−2 中，当平分 NQ 时，D 是 NQ 的中点，作 DH⊥CB 交 CB 的延长线于 H．
∵DH=PC，
∴8−x=12⋅925x，
解得 x=40059，
综上所述，满足条件 x 的值为 20043 或 40059．