2020年上海市浦东新区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年上海市浦东新区中考二模数学试卷（期中），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数是无理数的是
A. 5B. 4C. 227D. 0.1

2. 下列二次根式中，与 3 是同类二次根式的是
A. 6B. 9C. 13D. 18

3. 一次函数 y=−2x+3 的图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第二、三、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第一、二、四象限

4. 如果一个正多边形的中心角等于 72∘，那么这个多边形的内角和为
A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘

5. 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是
A. AB=DCB. ∠DAB=∠ABC
C. ∠ABC=∠DCBD. AC=DB

6. 矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以 A，C 为圆心的两圆外切，且点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围是
A. 5
二、填空题（共12小题；共60分）
7. 函数 y=2x−1 的定义域是 ．

8. 方程 3−2x=x 的根是 ．

9. 不等式组 x+5≥−1,2x<5 的解集是 ．

10. 如果关于 x 的方程 x2−23x+k=0 有两个相等的实数根，那么 k 的值是 ．

11. 一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，分别标号为 1，2，3，4，5，从中随机抽取一个小球，其标号是素数的概率是 ．

12. 如果点 A3,y1，B4,y2 在反比例函数 y=2x 的图象上，那么 y1 y2（填“>”、“<”或“=”）．

13. 某校计划在“阳光体育”活动课程中开设乒乓球、羽毛球、篮球、足球四个体育活动项目．为了了解全校学生对这四个活动项目的选择情况，体育老师从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个项目），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计该学校 1500 名学生中选择篮球项目的学生约为 名．

14. 已知向量 a 与单位向量 e 的方向相反，a=3，那么向量 a 用单位向量 e 表示为 ．

15. 如图，AB∥CD，如果 ∠B=50∘，∠D=20∘，那么 ∠E= ．

16. 在地面上离旗杆底部 15 米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 α，如果测角仪的高为 1.5 米，那么旗杆的高为 米．（用含 α 的三角函数表示）

17. 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，点 D，E 分别在边 AB，AC 上．如果 D 为 AB 中点，且 ADAB=DEBC，那么 AE 的长度为 ．

18. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，BC=3，D 是 BC 边上一点，沿直线 AD 翻折 △ABD，点 B 落在点 E 处，如果 ∠ABE=45∘，那么 BD 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2020−10+1−3+13−1+813．

20. 先化简，再求值：2a−1÷2a−4a2−1−aa−2，其中 a=5+2．

21. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=16，点 O 为斜边 AB 的中点，以 O 为圆心，5 为半径的圆与 BC 相交于 E，F 两点，连接 OE，OC．
（1）求 EF 的长；
（2）求 ∠COE 的正弦值．

22. 学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了 10000 元，购买文学类图书花费了 9000 元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵 5 元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少 100 本，科普类图书平均每本的价格是多少元?

23. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，过点 E 作 AC 的垂线交边 BC 于点 F，与 AB 的延长线交于点 M，且 AB⋅AM=AE⋅AC．求证：
（1）四边形 ABCD 矩形；
（2）DE2=EF⋅EM．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C0,3，对称轴是直线 x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线 MN 平行于 x 轴，与抛物线交于 M，N 两点（点 M 在点 N 的左侧），且 MN=34AB，点 C 关于直线 MN 的对称点为 E，求线段 OE 的长；
（3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接 CP，EP，EP 交线段 BC 于点 F，当 S△CPF:S△CEF=1:2 时，求点 P 的坐标．

25. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC=2，∠B=60∘．点 E 为边 BC 上的一个动点（与点 B，C 不重合），∠EAF=60∘，AF 与边 CD 相交于点 F，连接 EF 交对角线 AC 于点 G．设 CE=x，EG=y．
（1）求证：△AEF 是等边三角形；
（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
（3）点 O 是线段 AC 的中点，连接 EO，当 EG=EO 时，求 x 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】A、 5 是无理数，符合题意；
B、 4=2，属于有理数，不符合题意；
C、 227 是有理数，不符合题意；
D、 0.1 是无限循环小数，属于有理数，不符合题意．
2. C【解析】A、 6 与 3 不是同类二次根式，
B、 9=3 与 3 不是同类二次根式，
C、 13=33 与 3 是同类二次根式，
D、 18=32 与 3 不是同类二次根式．
3. D【解析】∵ 一次函数 y=−2x+3 中，k=−2<0，则函数图象 y 随 x 的增大而减小，
b=3>0，则函数图象一定与 y 轴正半轴相交，
∴ 一次函数 y=−2x+3 的图象经过第一、二、四象限．
4. B【解析】根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴ 这个多边形的内角和为：5−2×180∘=540∘．
5. B
【解析】A、 ∵ 四边形 ABCD 为梯形，且 AD∥BC，AB=DC，
∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、 ∠DAB=∠ABC，不能推出四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、 ∵ 四边形 ABCD 为梯形，且 AD∥BC，∠ABC=∠DCB，
∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、 ∵ 四边形 ABCD 为梯形，且 AD∥BC，AC=DB，
∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6. C【解析】∵ 在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，
∴AC=AB2+BC2=13，
∵ 点 D 在 ⊙C 内，点 B 在 ⊙C 外，
∴⊙C 的半径 R 的取值范围为 5 ∴ 当 ⊙A 和 ⊙C 外切时，圆心距为 13 等于两圆半径之和，则 R+r=13，
又 ∵5 ∴1第二部分
7. x≠1
【解析】根据题意，有 x−1≠0，解可得 x≠1．
8. x=1
【解析】∵3−2x=x，
∴3−2x≥0 且 x≥0，解得 0≤x≤32．
原方程两边同时平方，整理得，x2+2x−3=0，
∴x−1x+3=0，
∴x1=1，x2=−3．
又 0≤x≤32，
∴x=1．
9. −6≤x<52
【解析】x+5≥−1, ⋯⋯①2x<5. ⋯⋯②
解不等式 ① 得，x≥−6；
解不等式 ② 得，x<52．
则不等式组的解集为 −6≤x<52．
10. 3
【解析】∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=12−4k=0，
解得：k=3．
11. 35
【解析】∵ 标号为 1，2，3，4，5 的 5 个小球中，标号是素数的有 3 个，
∴ 标号是素数的概率是 35．
12. >
【解析】∵ 反比例函数 y=2x 中 k=2>0，
∴ 该函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，
∵0<3<4，
∴A，B 两点在第一象限，
∴y1>y2．
13. 300
【解析】选择篮球项目学生所占的百分比为：1−16%−28%−36%=20%，
∴ 学校 1500 名学生中选择篮球项目的学生人数约为：1500×20%=300（名）．
14. −3e
【解析】∵ 向量 a 与单位向量 e 的方向相反，a=3，
∴a=−3e．
15. 30∘
【解析】∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=50∘，
又 ∵∠BCD 是 △CDE 的外角，
∴∠E=∠BCD−∠D=50∘−20∘=30∘．
16. 1.5+15tanα
【解析】如图，在 Rt△ABC 中，tanα=ACBC=AC15．
∴AC=15tanα 米，又 CE=BD=1.5 米，
∴ 旗杆的高 AE=1.5+15tanα 米．
17. 5 或 1.4
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得，AC=AB2+BC2=10，
又 D 是 AB 的中点，
∴AD=12AB=4，
∵ADAB=DEBC，
∴12=DE6，
∴DE=3．
分以下两种情况：
①当点 E 在如图①所示的位置时，即点 E 为 AC 的中点时，DE=12BC=3，
故此时 AE=12AC=5；
②点 E 在如图②所示的位置时，DE=3，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，
∵∠AFD=∠B=90∘，∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴ADAC=DFBC，即 410=DF6，
∴DF=2.4．
∴ 在 Rt△ADF 中，AF=AD2−DF2=3.2，
在 Rt△DEF 中，EF=DE2−DF2=1.8，
∴AE=AF−EF=1.4．
综上所述，AE 的长为 5 或 1.4．
18. 23−2
【解析】在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，∠BAC=60∘，BC=3，
∴AC=1，AB=2．
由折叠的性质可得 AF⊥BE，
又 ∠ABF=45∘，
∴∠BAF=90∘−45∘=45∘，
∴AF=BF，
∴2BF=AB，
∴BF=2．
设 CD=x，则 BD=3−x，
∵∠C=∠BFD=90∘，∠ADC=∠BDF，
∴△ACD∽△BFD，
∴ACBF=CDDF，即 12=xDF，
∴DF=2x．
在 Rt△BDF 中，BD2=DF2+BF2，
∴3−x2=2x2+22，
整理得 x2+23x−1=0，解得 x=2−3 或 x=−2−3（舍去），
即 CD=2−3．
∴BD=3−x=23−2．
第三部分
19. 原式=1+3−1+3+2=5+3.
20. 原式=2a−1×a+1a−12a−2−aa−2=a+1a−2−aa−2=1a−2.
将 a=5+2 代入上式得，
原式=15=55．
21. （1） 过点 O 作 OG⊥EF 于点 G，
∴EG=FG，OG∥AC，
又 O 为 AB 的中点，
∴G 为 BC 的中点，即 OG 为 △ABC 的中位线，
∴OG=12AC=4，
在 Rt△OEG 中，由勾股定理得，EG=OE2−OG2=3，
∴EF=2EG=6．
（2） 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=85，
又 O 为 AB 的中点，
∴CO=BO=45，
又 OG⊥BC，
∴CG=BG=12BC=8，
∴CE=CG−EG=8−3=5，
∴CE=EO，
∴∠COE=∠OCE，
∴sin∠OCE=OGCO=445=55．
∴∠COE 的正弦值为 55．
22. 设科普类图书平均每本的价格为 x 元，则文学类图书平均每本的价格为 x−5 元．
根据题意得：
10000x=9000x−5−100.
化简得
x2+5x−500=0.
解得：
x=20 或 x=−25舍去.
经检验，x=20 是所列分式方程的解，且符合题意．
答：科普类图书平均每本的价格为 20 元．
23. （1） ∵AB⋅AM=AE⋅AC，
∴ABAC=AEAM，
又 ∠CAB=∠EAM，
∴△ABC∽△AEM，
∴∠ABC=∠AEM=90∘，
又四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 为矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴AE=BE=DE=CE，
∴∠EAB=∠EBA，
又 ∠EAB+∠M=90∘，∠EBA+∠EBF=90∘，
∴∠M=∠EBF，
又 ∠FEB=∠BEM，
∴△EFB∽△EBM，
∴EBEM=EFEB，
∴EB2=EF⋅EM，
∴DE2=EF⋅EM．
24. （1） 将点 C0,3 代入 y=−x2+bx+c 得 c=3，
又抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴−b−2=1，解得 b=2，
∴ 抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3．
（2） 如图，
令 y=0，则 −x2+2x+3=0，解得 x1=−1，x2=3，
∴ 点 A−1,0，B3,0，
∴AB=3−−1=4，
∵MN=34AB，
∴MN=34×4=3，
根据二次函数的对称性，点 M 的横坐标为 1−32=−12，
代入二次函数表达式得，y=−−122+2×−12+3=74，
∴ 点 M 的坐标为 −12,74，
又点 C 的坐标为 0,3，点 C 与点 E 关于直线 MN 对称，
∴CE=2×3−74=52，
∴OE=OC−CE=12．
（3） 如图，过点 E 作 x 轴的平行线 EH，分别过点 F，P 作 EH 的垂线，垂足分别为 G，Q，则 FG∥PQ．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+bk≠0，
则 3k+b=0,b=3, 解得 k=−1,b=3,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+3，
设点 F 坐标为 a,−a+3，则 EG=a，FG=−a+3−12=−a+52．
∵FG∥PQ，
∴△EGF∽△EQP，
∴EFEP=EGEQ=FGPQ．
∵S△CPF:S△CEF=1:2，
∴FP:EF=1:2，
∴EF:EP=2:3．
∴EFEP=EGEQ=FGPQ=23，
∴EQ=32EG=32a，PQ=32FG=32−a+52=−32a+154，
∴xP=32a，yP=−32a+154+12=−32a+174，
即点 P 的坐标为 32a,−32a+174，
又点 P 在抛物线 y=−x2+2x+3 上，
∴−32a+174=−94a2+3a+3，化简得 9a2−18a+5=0，
解得 a=13 或 a=53，符合题意．
∴ 点 P 的坐标为 12,154 或 52,74．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60∘，
∴△ABC，△ACD 都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACF=60∘，
∵∠BAC=∠EAF=60∘，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAFASA，
∴AE=AF，
又 ∠EAF=60∘，
∴△AEF 为等边三角形．
（2） 过点 E 作 EH⊥AC 于点 H，过点 F 作 FM⊥AC 于点 M，
∵∠ECH=60∘，
∴CH=x2，EH=32x，
∵∠FCM=60∘，
由（1）知，CF=BE=2−x，
∴CM=122−x，FM=322−x，
∴HM=CH−CM=x2−122−x=x−1．
∵∠EHG=∠FMG=90∘，∠EGH=∠FGM，
∴△EGH∽△FGM，
∴GMHG=FMEH=2−xx，
∴HM−HGHG=2−xx，
∴x−1−HGHG=2−xx，
∴HG=xx−12．
在 Rt△EHG 中，EG2=EH2+HG2，
∴y2=32x2+xx−122，
∴y2=x4−2x3+4x24，
∴y=x4−2x3+4x22（舍去负值），
故 y 关于 x 的解析式为 y=x4−2x3+4x220 （3） 如图，
∵O 为 AC 的中点，
∴CO=12AC=1．
∵EO=EG，EH⊥OC，
∴OH=GH，∠EOG=∠EGO，
∴∠CGF=∠EOG．
∵∠ECG=60∘，EC=x，
∴CH=x2，
∴OH=GH=OC−CH=1−x2，
∴OG=2OH=2−x，
∴CG=OC−OG=x−1．
∵∠CGF=∠EOC，∠ECO=∠GCF=60∘，
∴△COE∽△CGF，
∴COCG=CECF，
∴1x−1=x2−x，
整理得 x2=2，
∴x=2（舍去负值），经检验 x 是原方程的解．
故 x 的值为 2．