2020年天津市河东区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市河东区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −3×5 的结果等于
A. −15B. 15C. −2D. 2

2. 13cs30∘ 的值为
A. 36B. 33C. 16D. 26

3. 下面图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 我国最长的河流长江全长约为 6400 千米，用科学记数法表示为
A. 64×102 米B. 6.4×103 米C. 6.4×106 米D. 6.4×105 米

5. 下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中左视图与主视图相同的是
A. B.
C. D.

6. 下列整数中，与 10−13 最接近的是
A. 4B. 5C. 6D. 7

7. 化简 a2a−1+11−a 的结果是
A. aB. a+1C. a−1D. a2−1

8. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，其中点 B 坐标是 8,2，D 点坐标是 0,2，点 A 在 x 轴上，则菱形 ABCD 的周长是
A. 25B. 8C. 85D. 12

9. 关于 x，y 的方程组 2x+y=m,x+y=3 的解为 x=2,y=n, 则
A. m=1，n=2B. m=1，n=5C. m=5，n=1D. m=2，n=4

10. 已知点 −2,y1，−1,y2，1,y3 都在反比例函数 y=−6x 的图象上，那么 y1，y2 与 y3 的大小关系是
A. y3
11. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG，AE，FG 分别交射线 CD 于点 PH，连接 AH，若 P 是 CH 的中点，则 △APH 的周长为
A. 15B. 18C. 20D. 24

12. 如图所示已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ， OA=OC ，对称轴为直线 x=1 ，则下列结论：
① abc<0 ；
② a+12b+14c=0 ；
③ ac+b+1=0 ；
④ 2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根．
其中正确的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 若 a7⋅−a4= ．

14. 计算 5+6−5−6= ．

15. 为庆祝新中国成立 70 周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“合唱”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．

16. 若直线 y=−2x+3b 经过点 −1,5，则该直线不经过第 象限．

17. 如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上一点，CF=4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 Aʹ，Dʹ 处，当点 Dʹ 落在线段 BC 上时，线段 AE 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 均为格点，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，D 为 BC 中点，P 为 AC 上的一个动点．
（1）当点 P 为线段 AC 中点时，DP 的长度等于 ；
（2）将 P 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 得到点 Pʹ，连 BPʹ，当线段 BPʹ+DPʹ 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点 P，点 Pʹ，并简要说明你是怎么画出点 P，点 Pʹ 的： ．

19. 解不等式组 x−12请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ① 得 ；
（Ⅱ）解不等式 ② 得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上分别表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 某校为了解全校学生假期主题阅读的情况（要求每名学生的文章阅读篇数，最少 3 篇最多 7 篇），随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．
某校抽査的学生文章阅读的篇数统计表
文章阅读的篇数篇34567人数人2028m1612
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数和 m 的值；
（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；
（3）若该校共有 800 名学生，根据抽查结果，估计该校学生读书总数．

21. 如图，在 ⊙O 中，点 A 为弧 CD 的中点，过点 B 作 ⊙O 的切线 BF，交弦 CD 的延长线于点 F．
（1）如图①，连接 AB，若 ∠F=50∘，求 ∠ABF 的大小；
（2）如图②，连接 CB，若 ∠F=35∘，AC∥BF，求 ∠CBF 的度数．

22. 如图，某办公楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22∘ 时，办公楼在建筑物的墙上留下高 2 米的影子 CE，而当光线与地面夹角是 45∘ 时，办公楼顶 A 在地面上的影子 F 与墙角 C 有 25 米的距离（B，F，C 在一条直线上）．
（参考数据：sin22∘≈38，cs22∘≈1516，tan22∘≈25）
（1）求办公楼 AB 的高度；
（2）若要在 A，E 之间挂一些彩旗，请你求出 A，E 之间的距离．

23. 如表中给出 A ， B ， C 三种手机通话的收费方式．
收费方式月通话费/元包时通话时间/h超时费/(元/min)不限时
（1）设月通话时间为 x 小时，则方案 A ， B ， C 的收费金额 y1 ， y2 ， y3 都是 x 的函数，请分别求出这三个函数解析式．
（2）填空：
若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ；
若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ；
若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ；
（3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．

24. 平面直角坐标系中，△OAB 是等边三角形、点 O0,0，点 A8,0，点 P 是 OB 边上的一个动点（与点 A，B 不重合），直线 l 是经过点 P 的一条直线，把 △OAB 沿直线 l 折叠，点 O 的对应点是点 Oʹ．
（1）如图①，当 OP=5 时，若直线 l∥AB，求点 Oʹ 的坐标；
（2）如图②，当点 P 在边 OB 上运动时，若直线 l⊥AB，求 △ABOʹ 的面积；
（3）当 OP=6 时，在直线 l 变化过程中，求 △ABOʹ 面积的最大值（直接写出结果即可）．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴分别交于点 A−1,0，B3,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 D2,m 在第一象限的抛物线上，连接 BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点 P，满足 ∠PBC=∠DBC?如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）存在正实数 m，nm答案
第一部分
1. A
2. A
3. B
4. C
5. B
6. C
7. B
8. C
9. C
10. A
11. C【解析】∵P 是 CH 的中点，PH=PC，
∵AH=AH，AG=AD，且 AGH 与 ADH 都是直角，
∴△AGH≌△ADH，
∴∠GHA=∠AHD，
又 ∵GHA=HAP，
∴∠AHD=∠HAP，
∴△AHP 是等腰三角形，
∴PH=PA=PC，
∴∠HAC 是直角，
在 Rt△ABC 中，AC=AB2+BC2=10，
∵△HAC∽△ADC，
∴ACAH=CDDA，
∴AH=AC⋅DACD=10×68=7.5，
又 ∵△HAC∽△HAD，
ACAH=DADH，
∴DH=4.5，
∴HP=DH+CD2=6.25，AP=HP=6.25，
∴△APH 的周长 =AP+PH+AH=6.25+6.25+7.5=20．
12. B【解析】∵ 抛物线开口向下，
∴a<0 ．
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1 ，
∴b=−2a>0 ．
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c>0 ．
∴abc<0 ．
∴ ①正确；
∵−b2a=1 ，
∴b=−2a ．
∴a+1b=a−a=0 ．
∵c>0 ，
∴a+12b+14c>0 ．
∴ ②错误；
∵C0,c ， OA=OC ，
∴A−c,0 ．
把 A−c,0 代入 y=ax2+bx+c ，得 ac2−bc+c=0 ，
∴ac−b+1=0 ．
∴ ③错误；
∵A−c,0 ，对称轴为直线 x=1 ，
∴B2+c,0 ．
∴2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根，
∴ ④正确．
综上，正确的个数有 2 个．
第二部分
13. −a11
14. −31
15. 35
16. 三
17. 2
第三部分
18. （1） 52
（2） 取格点 E，F，G，H．连接 EF，GH，它们分别与网格线相交于点 I，J．取格点 K，连接 IJ，KD，它们相交于点 Pʹ，则点 Pʹ 即为所求．取格点 M，N，连接 MN，与网格线相交于点 L，连接 DL，与网格线相交于点 P，则点 P 即为所求
19. （Ⅰ）x<3
（Ⅱ）x>−1
（Ⅲ）不等式组的解集在数轴上表示如下：
（Ⅳ）−120. （1） 被调查的总人数为 16÷16%=100 人，
m=100−20+28+16+12=24．
（2） ∵ 由于共有 100 个数据，其中位数为第 50，51 个数据的平均数，而第 50，51 个数据均为 5 篇，
∴ 中位数为 5 篇．
∵ 出现次数最多的是 4 篇，
∴ 众数为 4 篇．
（3） ∵ 每个人读书本数的平均数是：x=11003×20+4×28+5×24+6×16+7×12=4.72，
∴ 由样本数据，估计该校学生读书总数为 800×4.72=3776 本．
答：估计该校学生这学期读书总数约 3776 本．
21. （1） 如图①，连接 OB，OA，
∵BF 为 ⊙O 的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90∘，
∵ 点 A 为弧 CD 的中点，
∴OA⊥CD，
∴∠OED=90∘，
∴∠AOB=180∘−∠F=180∘−50∘=130∘，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=12180∘−130∘=25∘，
∴∠ABF=90∘−∠OBA=65∘．
（2） 如图②，连接 OB，
∵BF 为 ⊙O 的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90∘，
由（1）方法可得到 ∠AOB=180∘−∠F=180∘−35∘=145∘，
∴∠ACB=12∠AOB=72.5∘，
∵MC∥BF，
∴∠ACF=∠F=35∘，
∴∠BCF=∠ACB−∠ACF=72.5∘−35∘=37.5∘，
∴∠CBF=180∘−∠BCF−∠F=107.5∘．
22. （1） 如图，过点 E 作 EM⊥AB，垂足为 M．
设 AB 为 x．
Rt△ABF 中，∠AFB=45∘，
∴ BF=AB=x，
∴ BC=BF+FC=x+25，
在 Rt△AEM 中，∠AEM=22∘，AM=AB−BM=AB−CE=x−2，tan22∘=AMME，
则 x−2x+25=25，
解得：x=20．
即教学楼的高 20 m．
（2） 由（1）可得 ME=BC=x+25=20+25=45．
在 Rt△AME 中，cs22∘=MEAE．
∴ AE=MEcs22∘，
即 A，E 之间的距离约为 48 m．
23. （1） ∵0.1元/min=6元/h ，
∴ 由题意可得，
y1=30,0≤x≤256x−120,x>25 ，
y2=50,0≤x≤506x−250,x>50 ，
y3=100x≥0 ．
（2） 0≤x≤853 ； 853≤x≤1753 ； x>1753
【解析】作出函数图象如图：
结合图象可得：
若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为： 0≤x≤853 ，
若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为： 853≤x≤1753 ，
若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为： x>1753 ．
（3） ∵ 小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，
∴ 结合图象可得：小张选择的是方式 A ，小王选择的是方式 B ，
将 y=80 分别代入 y2=50,0≤x≤506x−250,x>50 ，
可得 6x−250=80 ，
解得： x=55 ，
∴ 小王该月的通话时间为 55 小时．
24. （1） 设直线 l 交 OA 于点 C，连接 OOʹ，交 PC 于 D．
∵PC∥AB，
∴∠OPC=∠B=60∘，∠OCP=∠A=60∘，
∴△PCO 是等边三角形，
∵OP=5，
∵O，Oʹ 关于 PC 对称，
∴OOʹ⊥PC，OOʹ=2OD，
∵OD=OP⋅sin60∘=532，
∴OOʹ=53，
过点 Oʹ 作 O′F⊥OA 于点 F，
在 △OʹOF 中，可得 OF=OOʹ⋅cs30∘=53×32=152，
OʹF=532，
∴ 点 Oʹ 的坐标为 152,532．
（2） 连接 OO′
∵O，O′ 关于直线 l 对称，
∴OO′⊥直线l，
∵直线l⊥AB，
∴AB∥OO′，
∴S△ABOʹ=S△ABO=12×8×32×8=163．
（3） 43+24．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴，y 轴分别交于点 A−1,0，B3,0，点 C 三点，
∴a−b+3=0,9a+36+3=0, 解得 a=−1,b=2,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 存在．理由如下：
y=−x2+2x+3=−x−12+4．
∵ 点 D2,m 在第一象限的抛物线上，
∴m=3，
∴D2,3．
∵C0,3，
∵OC=OB．
∴∠OBC=∠OCB=45∘．
连接 CD．
∴CD∥x 轴．
∴∠DCB=∠OBC=45∘．
∴∠DCB=∠OBC．
在 y 轴上取点 G，使 OG=CD=2．
再延长 BG 交抛物线于点 P，
在 △DCB 和 △GCB 中，
∵CB=CB，∠DCB=∠OCB，CG=CD，
∴△DCB≌△GCBSAS．
∴∠DBC=∠GBC．
设直线 BP 解析式为 yBP=kx+bk≠0，
把 C0,1，B3,0 代入，得 k=−13，b=1．
∴BP 解析式为 yBP=−13x+1，yBP=−13x+1，y=−x2+2x+3．
当 y=yBP 时，−13x+1=−x2+2x+3，解得 x1=−23，x2=3（舍去），
∴y=119．
∴P−23,119．
（3） 由抛物线为 y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴y≤4．
∵0当 m≤x≤n 时，恰好 mm+3≤2y+2≤nn+3．
∴6n≤y≤6m．
∴6m≤4，即 m≥32>1．
∴1≤m ∵ 抛物线的对称轴是 x=1，且开口向下，
∴ 当 m≤x≤n 时，y 随 x 的增大而减小．
∴ 当 x=m 时，y最大值=−m2+2m+3；
当 x=n 时，y最小值=−n2+2n+3．
又 6n≤y≤6m，
∴6n=−n2+2n+3, ⋯⋯①6m=−m2+2m+3. ⋯⋯②
将 ① 整理，得 n3−2n2−3n+6=0，
变形，得 n2n−2−3n−2=0．
∴n−2n2−3=0．
∵n>1，
∴n−2=0，n2−3=0．
解得 n1=2，n2=−3（舍去），n3=3．
同理，由 ② 解得 m1=2（舍去），m2=−3（舍去），m3=3．
综上所述，m=3，n=2．