2020年上海市崇明区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市崇明区中考一模数学试卷（期末），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各组图形一定相似的是
A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个直角梯形D. 两个正方形

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 AC=8，BC=6，那么 ∠B 的余切值为
A. 34B. 43C. 35D. 45

3. 抛物线 y=−3x+12+2 的顶点坐标是
A. 1,2B. 1,−2C. −1,2D. −1,−2

4. 已知 c 为非零向量，a=3c，b=−2c，那么下列结论中错误的是
A. a∥bB. a=32b
C. a 与 b 方向相同D. a 与 b 方向相反

5. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的
A. MB. PC. QD. R

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 边上且 DE∥BC，点 M 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），连接 AM 交 DE 于点 N，下列比例式一定成立的是
A. ADAN=ANAEB. DNNE=BMCMC. DNBM=AEECD. DNMC=NEBM

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=23，那么 x+yx= ．

8. 已知线段 AB=8 cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2=BC⋅AB，那么线段 AC 的长 cm．

9. 如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为 50∘ 和 60∘，那么另一个三角形的最大角为 度．

10. 小杰沿坡比为 1:2.4 的山坡向上走了 130 米．那么他沿着垂直方向升高了 米．

11. 在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，同时同地测得一栋楼的影长为 90 m，则这栋楼的高度为 m．

12. 如果将抛物线 y=x2+2x−1 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为 ．

13. 如果二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 ．
x⋯−1012⋯y⋯0343⋯

14. 正五边形的中心角的度数是 ．

15. 两圆的半径之比为 3:1，当它们外切时，圆心距为 4，那么当它们内切时，圆心距为 ．

16. 如果梯形两底分别为 4 和 6，高为 2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是 ．

17. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 上，且 BD=BA，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，点 F 是 AC 的中点，连接 EF．若四边形 DCFE 和 △BDE 的面积都为 3，则 △ABC 的面积为 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，点 D 是 AC 的中点，点 E 在边 AB 上，将 △ADE 沿 DE 翻折，使得点 A 落在点 Aʹ 处，当 AʹE⊥AB 时，那么 AʹA 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：tan260∘+ct60∘+2tan30∘2sin30∘−sin245∘．

20. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，对角线 AC，BD 相交于点 O，设 AD=a，AB=b．试用 a，b 的式子表示向量 AO．

21. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于 F，若 BD=8 cm，AE=2 cm．
（1）求 ⊙O 的半径；
（2）求 O 到弦 BC 的距离．

22. 如图 1，为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高 AB 为 5 cm．长度均为 20 cm 的连杆 BC，CD 与 AB 始终在同一水平面上．
（1）旋转连杆 BC，CD，使 ∠BCD 成平角，∠ABC=150∘，如图 2，求连杆端点 D 离桌面 l 的高度 DE．
（2）将（1）中的连杆 CD 绕点 C 逆时针旋转，使 ∠BCD=165∘，如图 3，问此时连杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加了还是减少?增加或减少了多少?（精确到 0.1 cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．

23. 如图，△ABC 中，AD⊥BC，E 是 AD 边上一点，连接 BE，过点 D 作 DF⊥BE，垂足为 F，且 AE⋅DF=EF⋅CD，连接 AF，CF，CF 与边 AD 交于点 O．求证：
（1）∠EAF=∠DCF；
（2）AF⋅BD=AC⋅DF．

24. 如图，抛物线与 x 轴相交于点 A−3,0 、点 B1,0，与 y 轴交于点 C0,3，点 D 是抛物线上一动点，连接 OD 交线段 AC 于点 E．
（1）求这条抛物线解析式，并写出顶点坐标；
（2）求 ∠ACB 的正切值；
（3）当 △AOE 与 △ABC 相似时，求点 D 的坐标．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点 D 为 BC 边上一个动点（点 D 不与点 B 、点 C 重合）．以 D 为顶点作 ∠ADE=∠B，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF⊥AD 交射线 DE 于点 F．
（1）求证：AB⋅CE=BD⋅CD；
（2）当 DF 平分 ∠ADC 时，求 AE 的长；
（3）当 △AEF 是等腰三角形时，求 BD 的长．
答案
第一部分
1. D【解析】A.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意．
2. A【解析】如图，
在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴ctB=BCAC=68=34．
3. C【解析】∵y=−3x+12+2，
∴ 顶点为 −1,2．
4. C【解析】∵a=3c，b=−2c，
∴a=−32b，
∴a∥b，a=−32b，a 与 b 方向相反，
∴ A，B，D正确，C错误．
5. C
【解析】作 AB 的垂直平分线，作 BC 的垂直平分线，如图．
它们都经过 Q，
∴ 点 Q 为这条圆弧所在圆的圆心．
6. B【解析】∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴DNBM=ANAM，NEMC=ANAM，
∴DNBM=NECM，即 DNNE=BMCM．
第二部分
7. 52
【解析】∵xy=23，
∴x=23y，
∴x+yx=23y+y23y=52．
8. 45−4
【解析】∵AC2=BC⋅AB，
∴ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC>BC．
∴AC=5−12AB=5−12×8=45−4．
9. 70
【解析】∵ 三角形的两个内角分别为 50∘ 和 60∘，
∴ 这个三角形的第三个内角为 180∘−50∘−60∘=70∘，
根据相似三角形的性质可知，另一个三角形的最大角为 70∘．
10. 50
【解析】设他沿着垂直方向升高了 x 米，
因为坡比为 1:2.4，
所以他行走的水平宽度为 2.4x 米，
由勾股定理得，x2+2.4x2=1302，
解得，x=50，即他沿着垂直方向升高了 50 米，
11. 54
【解析】设这栋楼的高度为 h m．
∵ 在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，同时测得一栋楼的影长为 60 m，
∴1.83=h90，解得 h=54m．
12. 1,1
【解析】∵y=x2+2x−1=x+12−2，
∴ 抛物线 y=x2+2x−1 的顶点坐标为 −1,−2，
∴ 把点 −1,−2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点的坐标为 1,1，
即新抛物线的顶点坐标为 1,1．
13. 3,0
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 0,3，2,3 两点，
∴ 对称轴 x=0+22=1；
点 −1,0 关于对称轴对称点为 3,0，
因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 3,0．
14. 72∘
【解析】正五边形的中心角为：360∘5=72∘．
15. 2
【解析】设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r，
则有 r:R=1:3；
又 R+r=4，
解得 R=3，r=1，
∴ 当它们内切时，圆心距 =3−1=2．
16. 6
【解析】在梯形 BCED 中，作 AG⊥BC 于 G，交 DE 于 F，如图所示．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AFAG=AFAF+2=DEBC=46，解得 AF=4．
∴AG=AF+GF=4+2=6．
17. 10
【解析】∵BE 平分 ∠ABC，BD=BA，
∴BE 是 △ABD 的中线，
∴ 点 E 是 AD 的中点，
又 ∵F 是 AC 的中点，
∴EF 是 △ADC 的中位线，
∴EF∥CD，EF=12CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴S△AEF:S△ADC=1:4，
∴S△AEF:S四边形DCFE=1:3，
∵ 四边形 DCFE 的面积为 3，
∴S△AEF=1，
∴S△ADC=S△AEF+S四边形DCFE=1+3=4，
∵ 点 E 是 AD 的中点，△BDE 的面积为 3，
∴S△BDE=S△BAE=3，
∴S△ABC=S△BDE+S△BAE+S△ADC=3+3+4=10．
18. 2852 或 452
【解析】如图，作 DF⊥AB 于 F，连接 AAʹ．
在 Rt△ACB 中，BC=AB2−AC2=6，
∵∠DAF=∠BAC，∠AFD=∠C=90∘，
∴△AFD∽△ACB，
∴DFBC=ADAB=AFAC，
∴DF6=410=AF8，
∴DF=125，AF=165，
∵AʹE⊥AB，
∴∠AEAʹ=90∘，
由翻折不变性可知：∠AED=45∘，
∴EF=DF=125，
∴AE=AʹE=125+165=285，
∴AAʹ=2852，
如图，作 DF⊥AB 于 F，
当 EAʹ⊥AB 时，同法可得 AE=165−125=45，AAʹ=2AE=452．
第三部分
19. 原式=32+33+2×332×12−222=3+3−12=52+3.
20. ∵AD∥BC，BC=2AD，
∴AOOC=ADBC=12．
∴AOAC=13，即 AO=13AC．
∵AD=a，
BC 与 AD 同向，
∴BC=2a．
∵AC=AB+BC=b+2a，
∴AO=13b+23a．
21. （1） 连接 OB，设半径为 r，则 OE=r−2．
∵AC 是 ⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，BD=8 cm，
∴BE=DE=4．
在 Rt△OBE 中，
∵OE2+BE2=OB2，
∴r−22+42=r2，
∴r=5．
（2） ∵r=5，
∴AC=10，EC=8，
∴BC=45；
∵OF⊥BC，
∴S△BCO=12BC⋅OF=12OC⋅BE，
∴45⋅OF=5×4，
∴OF=5．
22. （1） 过点 B 作 BO⊥DE，垂足为 O，如图 2，
则四边形 ABOE 是矩形，∠OBD=150∘−90∘=60∘，
∴DO=BO⋅sin60∘=40×sin60∘=203，
∴DE=DO+OE=DO+AB=203+5≈39.6 cm．
（2） 下降了
如图 3，过点 D 作 DF⊥l 于点 F，过点 C 作 CP⊥DF 于点 P，过点 B 作 BG⊥DF 于点 G，过点 C 作 CH⊥BG 于点 H，则四边形 PCHG 为矩形，

∵∠CBH=60∘，
∴∠BCH=30∘，
又 ∵∠BCD=165∘，
∴∠DCP=45∘，
∴CH=BCsin60∘=103，DP=CDsin45∘=102，
∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=102+103+5．
∴ 下降高度：DE−DF=203+5−102−103−5=103−102≈3.2 cm．
23. （1） ∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠ADB=∠DFE=90∘，
∴∠DBE+∠BED=90∘，∠DBE+∠BDF=90∘，
∴∠BED=∠BDF，
∴∠AEF=∠CDF，
∵AE⋅DF=CD⋅EF，
∴AECD=EFDF，
∴△AEF∽△CDF，
∴∠EAF=∠DCF．
（2） ∵△AEF∽△CDF，
∴∠EFA=∠DFC，
∴∠AFO=∠EFD=90∘，
∵∠DFB=90∘，
∴∠BFD=∠AFC．
∵∠EAF=∠DCF，∠AOF=∠COD，
∴△AOF∽△COD，
∴AOOC=OFOD，
∴AOOF=OCOD，
又 ∵∠AOC=∠FOD，
∴△AOC∽△FOD，
∴∠ACF=∠EDF，
∵∠DBE+∠BED=∠FDE+∠BED=90∘，
∴∠DBE=∠EDF，
∴∠ACF=∠DBE，
又 ∵∠BFD=∠AFO，
∴△BFD∽△CFA，
∴AFDF=ACBD，
∴AF⋅BD=AC⋅DF．
24. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+ca≠0，
因为抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A−3,0，B1,0，C0,3，
所以 9a−3b+c=0,a+b+c=0,c=3,
解得 a=−1,b=−2,c=3,
所以这条抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3，顶点坐标为 −1,4．
（2） 过点 B 作 BH⊥AC，垂足为 H，
因为 ∠AOC=90∘，OA=OC=3，
所以 ∠OAC=∠OCA=45∘，AC=32，
因为 ∠BHA=90∘，
所以 ∠HAB+∠HBA=90∘，
所以 ∠HAB=∠HBA=45∘，
因为在 Rt△AHB 中，AH2+BH2=AB2，AB=4，
所以 AH=BH=22，
所以 CH=32−22=2，
因为 ∠BHC=90∘，
所以 tan∠ACB=BHCH=222=2．
（3） 过点 D 作 DK⊥x轴，垂足为 K，
设 Dx,−x2−2x+3，则 Kx,0，并由题意可得点 D 在第二象限，
所以 DK=−x2−2x+3，OK=−x，
因为 ∠BAC 是公共角，
所以当 △AOE 与 △ABC 相似时，
存在以下两种可能：
① ∠AOD=∠ABC，
所以 tan∠AOD=tan∠ABC=3，
所以 −x2−2x+3−x=3，
解得 x1=1−132，x2=1+132（舍去），
所以 D1−132,313−32．
② ∠AOD=∠ACB，
所以 tan∠AOD=tan∠ACB=2，
所以 −x2−2x+3−x=2，
解得 x1=−3，x2=3（舍去），
所以 D−3,23，
综上所述：当 △AOE 与 △ABC 相似时，
点 D 的坐标为 1−132,313−32 或 −3,23．
25. （1） ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
即 ∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△BDA∽△CED，
∴ABCD=BDCE，
∴AB⋅CE=BD⋅CD．
（2） ∵OF 平分 ∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵∠CDE=∠BAD，
∴∠ADE=∠BAD，
∴DF∥AB，
∴AEAC=BDBC，
∵∠ADE=∠B=∠C，
∴∠BAD=∠C，
又 ∵∠B 是公共角，
∴△BDA∽△BAC，
∴BDBA=BABC，
∴BD10=1016，
∴BD=254，
∴AE10=25416，
∴AE=12532．
（3） 过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=12BC=8，
由勾股定理得出 AH=6，
∴tanB=34，
∵∠ADE=∠B，AF⊥AD，
∴tan∠ADF=AFAD=34，
设 AF=3k，则 AD=4k，DF=5k，
∵△BDA∽△CED，
∴ADDE=ABCD．
①当 F 在线段 DE 的延长线上，当 △AEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：
1．FA=FE=3k，则 DE=2k，
∴10CD=4k2k，
∴CD=5，
∴BD=16−5=11．
2．EA=EF，则 ED=2.5k，
∴10CD=4k2.5k，
∴CD=254，
∴BD=16−254=394．
3．AE=AF=3k，则 DE=75k，
∴10CD=4k75k，
∴CD=72，
∴BD=16−72=252．
②点 F 在线段 DE 上，当 △AEF 是等腰三角形时，
∵∠AFE=90∘+∠ADF，
∴∠AFE 是一个钝角，
∴ 只存在 FA=FE=3k 这种可能，则 DE=8k，
∴10CD=4k8k，
∴CD=20>16，不符合题意，舍去．
综上所述，当 △AEF 是等腰三角形时，BD 的长 11 或 394 或 252．