2020年云南省昆明市五华区中考一模数学试卷

这是一份2020年云南省昆明市五华区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. 规定：→2 表示向右移动 2 记作 +2，则 ←3 表示向左移动 3 记作： ．

2. 中新网昆明 2 月 26 日电：1 月 24 日至 2 月 25 日，云南铁路累计抢运支援湖北疫情防控保障物资 2616 批，约 4169 吨．4169 这个数用科学记数法表示为 ．

3. 代数式 1x−8 有意义时，x 应满足的条件是 ．

4. 如图所示，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN，PQ 相交于点 A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；
②分别以 C，D 为圆心，以大于 12CD 长为半径作弧，两弧在 ∠NAB 内交于点 E；
③作射线 AE 交 PQ 于点 F．
若 ∠ABP=60∘，则 ∠NAF 的度数为 ．

5. 如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为 a，则勒洛三角形的周长为 ．

6. 在直角三角形 ABC 中，若 2AB=AC，则 csC= ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 面积为 4 的正方形的边长是
A. 4 的平方根B. 4 的算术平方根
C. 4 开平方的结果D. 4 的立方根

8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是
A. 长方体B. 正方体C. 圆柱D. 球

9. 下列运算正确的是
A. a3+−a3=−a6B. a+b2=a2+b2
C. π−30+12−1=3D. ab23=a3b5

10. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表；
正确统计步骤的顺序是
A. ② → ③ → ① → ④B. ③ → ④ → ① → ②
C. ① → ② → ④ → ③D. ② → ④ → ③ → ①

11. 不等式组 2x+6>0,2−x≥0 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

12. 能说明命题“关于 x 的方程 x2−4x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例为
A. m=−1B. m=0C. m=4D. m=5

13. 一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走 3 km，平路每小时走 4 km，下坡每小时走 5 km，那么从甲地到乙地需 54 min，从乙地到甲地需 42 min．甲地到乙地全程是多少?
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数 x，y，已经列出一个方程 x3+y4=5460，则另一个方程正确的是
A. x4+y3=4260B. x5+y4=4260C. x4+y5=4260D. x3+y4=4260

14. 如图所示，Rt△AOB 中，∠AOB=90∘，顶点 A，B 分别在反比例函数 y=1xx>0 与 y=−5xx<0 的图象上，则 tan∠BAO 的值为
A. 55B. 5C. 255D. 10

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 化简：4xx2−4−2x−2−1．
圆圆的解答如下：4xx2−4−2x−2−1=4x−2x+2−x2−4=−x2+2x．
圆圆的解答正确吗?如果不正确，写出正确的解答，并求出当 x=3−2 时，代数式的值．

16. 如图，△ABC 中，点 E 在 BC 边上，AE=AB，将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置，使得 ∠CAF=∠BAE，连接 EF，EF 与 AC 交于点 G．
（1）求证：EF=BC；
（2）若 ∠ABC=65∘，∠ACB=28∘，求 ∠FGC 的度数．

17. 红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共 10 题，每题 10 分．现分别从三个班中各随机取 10 名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：
1 班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2 班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3 班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数 人数 班级607080901001班016212班113a13班11422
分析数据：
平均数中位数众数1 班8380802 班83cd3 班b8080
根据以上信息回答下列问题．
（1）请直接写出表格中 a，b，c，d 的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好?请说明理由；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共 570 人，试估计需要准备多少张奖状?

18. 如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将 △BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG．
（1）求证：四边形 CEFG 是菱形；
（2）若 AB=6，AD=10，求四边形 CEFG 的面积．

19. 现有 A，B 两个不透明袋子，分别装有 3 个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有 2 个白球，1 个红球；B 袋装有 2 个红球，1 个白球．
（1）将 A 袋摇匀，然后从 A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的 A，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

20. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用 3000 元购进A，B两种粽子 1100 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的 1.2 倍．
（1）求A，B两种粽子的单价各是多少；
（2）若计划用不超过 7000 元的资金再次购进A，B 两种粽子共 2600 个，已知A，B两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个．

21. 某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住的国间数为 60 间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在 170∼240 元之间（含 170 元，240 元）浮动时，每天人住的房间数 y（间）与每间标准房的价格 x（元）的数据如表：
x元⋯⋯190200210220⋯⋯y元⋯⋯65605550⋯⋯
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象；
（2）猜想（1）中的图象是什么函数的图象，求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）设客房日营业额为 W（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大?最大为多少元?

22. 如图所示，在平面内，给定不在同一直线上的点 A，B，C，射线 BP 是 ∠ABC 的平分线，点 O 到点 A，B，C 的距离均等于 a（a 为常数），到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G，图形 G 交射线 BP 于点 D，连接 AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点 D 作直线 AB 的垂线 DE，垂足为 E，作 DF⊥BC 于点 F，延长 DF 交图形 G 于点 M，连接 CM．若 AD=CM，求直线 DE 与图形 G 的公共点个数．

23. 如图，抛物线 y=−12x2+bx+c 过点 A3,2，且与直线 y=−x+72 交于 B，C 两点，点 B 的坐标为 4,m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 D 为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点 D 作 DE⊥x 轴交直线 BC 于点 E，点 P 为对称轴上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值；
（3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 Q，使 ∠AQM=45∘?若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. −3
【解析】“正”和“负”相对，
∴ 如果 →2 表示向右移动 2 记作 +2，则 ←3 表示向左移动 3 记作 −3．
2. 4.169×103
【解析】将 4169 用科学记数法表示为 4.169×103．
3. x>8
【解析】代数式 1x−8 有意义时，x−8>0，解得：x>8．
4. 30∘
【解析】∵MN∥PQ，∠ABP=60∘，
∴∠ABP=∠BAN=60∘．
由题意得：AF 平分 ∠NAB，
∴∠NAF=∠BAF=12∠BAN=30∘．
5. πa
6. 32 或 255
【解析】若 ∠B=90∘，设 AB=x，则 AC=2x，
∴BC=2x2−x2=3x，
∴csC=BCAC=3x2x=32；
若 ∠A=90∘，设 AB=x，则 AC=2x
∴BC=2x2+x2=5x，
∴csC=ACBC=2x5x=255．
综上所述，csC 的值为 32 或 255．
第二部分
7. B【解析】面积为 4 的正方形的边长是 4，即为 4 的算术平方根．
8. C【解析】∵ 几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，
又 ∵ 俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱，故选：C．
9. C【解析】A．a3+−a3=0，故本选项不合题意；
B．a+b2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
C．π−30+12−1=1+2=3，正确；
D．ab23=a3b6，故本选项不合题意．
故选：C．
10. D
【解析】要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，要依次经过数据的收集，数据的整理，数据的描述三个环节，则“去图书馆收集学生借阅图书的记录”为第一步；“整理借阅图书记录并绘制频数分布表”为第二步；“绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比”为第三步；最后才能“从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类”，由此顺序可判断D正确．
11. C【解析】2x+6>0, ⋯⋯①2−x≥0. ⋯⋯②
由 ① 得：x>−3；
由 ② 得：x≤2，
∴ 不等式组的解集为 −3表示在数轴上，如图所示：
12. D【解析】当 m=5 时，方程变形为 x2−4x+m=5=0，
∵Δ=−42−4×5<0，
∴ 方程没有实数解，
∴m=5 可作为说明命题“关于 x 的方程 x2−4x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例．
13. B【解析】设从甲地到乙地的上坡的距离为 x，平路的距离为 y，已经列出一个方程 x3+y4=5460，则另一个方程正确的是 x5+y4=4260．
14. B【解析】作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，如图．
∵ 顶点 A，B 分别在反比例函数 y=1xx>0 与 y=−5xx<0 的图象上，
∴S△AOC=12×1=12，S△BOD=12×−5=52，
∵∠AOB=90∘，
∴∠BOD+∠AOC=90∘，
∵∠AOC+∠OAC=90∘，
∴∠OAC=∠BOD，而 ∠ACO=∠BDO，
∴△AOC∽△OBD，
∴S△AOCS△OBD=OAOB2=1252=15，
∴OBOA=5，
在 Rt△AOB 中，tan∠BAO=OBOA=5．
第三部分
15. 圆圆的解答错误．
正确解答：
原式=4xx+2x−2−2x+2x−2x+2−x−2x+2x−2x+2=4x−2x−4−x2+4x−2x+2=x2−xx−2x+2=−xx+2.
当 x=3−2 时，
原式=−3−23−2+2=−3−233=−1+233.
16. （1） ∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵ 将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置，
∴AC=AF．
在 △ABC 与 △AEF 中，
AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,
∴△ABC≌△AEFSAS，
∴EF=BC．
（2） ∵AB=AE，∠ABC=65∘，
∴∠BAE=180∘−65∘×2=50∘，
∴∠FAG=∠BAE=50∘．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28∘，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50∘+28∘=78∘．
17. （1） a=4，b=83，c=85，d=90．
【解析】由题意知 a=4，b=110×90+60+70+80+80+80+80+90+100+100=83．
2 班成绩重新排列为 60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，
∴c=80+902=85，d=90．
（2） 从平均数上看三个班都一样；
从中位数看，1 班和 3 班一样是 80，2 班最高是 85；
从众数上看，1 班和 3 班都是 80，2 班是 90；
综上所述，2 班成绩比较好．
（3） 570×430=76（张）．
答：估计需要准备 76 张奖状．
18. （1） 由题意可得，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴ 四边形 CEFG 是平行四边形，
又 ∵CE=FE，
∴ 四边形 CEFG 是菱形．
（2） ∵ 矩形 ABCD 中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴∠BAF=90∘，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设 EF=x，则 CE=x，DE=6−x，
∵∠FDE=90∘，
∴22+6−x2=x2，解得 x=103，
∴CE=103，
∴ 四边形 CEFG 的面积是 CE⋅DF=103×2=203．
19. （1） 共有 3 种等可能结果，而摸出白球的结果有 2 种，
∴P摸出白球=23 .
（2） 根据题意，列表如下：
A B红1红2白白1白1,红1白1,红2白1,白白2白2,红1白2,红2白2,白红红,红1红,红2红,白
由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不相同的结果有 5 种，颜色相同的结果有 4 种，
∴P颜色不相同=59，P颜色相同=49，
∵49<59，
∴ 这个游戏规则对双方不公平．
20. （1） 设B种粽子的单价为 x 元，则A种粽子的单价为 1.2x 元，
根据题意，得
15001.2x+1500x=1100,
解得
x=2.5.
经检验，x=2.5 是原方程的根，
1.2x=1.2×2.5=3，
所以A种粽子的单价是 3 元，B种粽子的单价是 2.5 元．
（2） 设购进A种粽子 m 个，则购进B种粽子 2600−m 个．
根据题意，得
3m+2.52600−m≤7000,
解得
m≤1000.
所以，A种粽子最多能购进 1000 个．
21. （1） 如图所示．
（2） 由图象可猜想：（1）中的图象是一次函数图象，
设 y=kx+b，将 200,60，220,50 代入，
得：200k+b=60,220k+b=50, 解得：k=−12,b=160,
∴y=−12x+160170≤x≤240．
（3） W=xy=x−12x+160=−12x2+160x，
∴ 对称轴为直线 x=−b2a=160．
∵a=−12<0，
∴ 在 170≤x≤240 范围内，W 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=170 时，W 有最大值，最大值为 12750 元．
∴ 宾馆标准房的价格定为 170 元时，客房的日营业额最大为 12750 元．
22. （1） ∵ 到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G，
∴ 图形 G 为 △ABC 的外接圆 ⊙O．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∴AD=CD．
∴AD=CD．
（2） 如图．
∵AD=CM，AD=CD，
∴CD=CM，
∵DM⊥BC，
∴BC 垂直平分 DM，
∴BC 为直径，
∴∠BAC=90∘，
∵AD=CD，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE 为 ⊙O 的切线，
∴ 直线 DE 与图形 G 的公共点个数为 1．
23. （1） 将点 B 的坐标为 4,m 代入 y=−x+72，m=−4+72=−12，
∴B 的坐标为 4,−12．
将 A3,2，B4,−12 代入 y=−12x2+bx+c，
−12×32+3b+c=2,−12×42+4b+c=−12, 解得 b=1，c=72．
∴ 抛物线的解析式 y=−12x2+x+72．
（2） 设 Dm,−12m2+m+72，则 Em,−m+72．
DE=−12m2+m+72−−m+72=−12m2+2m=−12m−22+2．
∴ 当 m=2 时，DE 有最大值为 2，此时 D2,72．
作点 A 关于对称轴的对称点 Aʹ，连接 AʹD，与对称轴交于点 P．
PD+PA=PD+PAʹ=AʹD, 此时 PD+PA 最小．
∵A3,2，
∴Aʹ−1,2，
AʹD=−1−22+2−722=325，即 PD+PA 的最小值为 325．
（3） 作 AH⊥ 对称轴于点 H，连接 AM，AQ，MQ，HA，HQ．
∵ 抛物线的解析式 y=−12x2+x+72，
∴M1,4．
∵A3,2，
∴AH=MH=2，H1,2．
∵∠AQM=45∘，∠AHM=90∘，
∴∠AQM=12∠AHM，
可知 △AQM 外接圆的圆心为 H．
∴QH=HA=HM=2．
设 Q0,t，则 0−12+t−22=2，t=2+3 或 2−3．
∴ 符合题意的点 Q 的坐标：Q10,2−3，Q20,2+3．