2020年天津市南开区中考二模数学试卷

这是一份2020年天津市南开区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 9−−3 的结果是
A. 6B. 12C. −12D. −3

2. 3tan30∘ 的值等于
A. 3B. 33C. 3D. 1

3. 5 月 18 日，我市新一批复课开学共涉及全市 877 所小学、 489 所中学，63 万名中小学生．将“63 万”用科学记数法表示为
A. 630×103B. 63×104C. 6.3×105D. 0.63×106

4. 下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是
A. B.
C. D.

6. 已知 m=21+2，估计 m 的值在
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间

7. 化简 x2+2xy+y2x2−y2−yx−y 的结果是
A. xx+yB. yx+yC. xx−yD. yx−y

8. 方程组 2x−y=9,x+y=−3 的解是
A. x=−2,y=−1B. x=2,y=5C. x=−2,y=−5D. x=2,y=−5

9. 若点 Ax1,−6，Bx2,−2，Cx3,2 在反比例函数 y=m2+1x（m 为常数）的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是
A. x1
10. 如图，五边形 ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形，AF 是 ⊙O 的直径，则 ∠BDF 的度数是
A. 18∘B. 36∘C. 54∘D. 72∘

11. 如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA=90∘，A4,4，点 C 在边 AB 上，且 ACCB=13，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为
A. 2,2B. 52,52C. 83,83D. 3,3

12. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1．下列结论：
① abc<0；
② 3a+c>0；
③ a+c2−b2<0；
④ a+b≤mam+b（m 为实数）．
其中结论正确的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 把多项式 x3−25x 分解因式的结果是 ．

14. 计算 3+62 的结果等于 ．

15. 已知直线 y=2x+4 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，线段 AB 的长为 ．

16. 在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从 3 篇不同的文章中抽取篇参加比赛，抽签规则是：在 3 个相同的标签上分别标注字母A，B，C，各代表 1 篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．则甲、乙抽中同一篇文章的概率为 ．

17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=3x 经过点 A，作 AB⊥x 轴于点 B，将 △ABO 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △CBD，若点 B 的坐标为 4,0，则点 C 的坐标为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B，D，E 为格点，C 为 AD，BE 的延长线的交点．
（1）sin∠CAB 的结果为 ．
（2）若点 R 在线段 AB 上，点 S 在线段 BC 上，点 T 在线段 AC 上，且满足四边形 ARST 为菱形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出菱形 ARST，并简要说明点 R，S，T 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 解不等式组 −x−1≤3, ⋯⋯①12x−1<13x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 某校 350 名学生参加植树活动，要求每人植 4∼7 棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4 棵；B：5 棵；C：6 棵；D：7 棵，将各类的人数绘制成了图 1 和图 2 两个统计图表．请根据相关信息回答下列问题．
（1）此次共随机抽查了 名学生每人的植树量；图①中 m 的值为 ；
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计这 350 名学生共植树多少棵?

21. 如图 1，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 G，过 C 点的切线与射线 DO 相交于点 E，直线 DB 与 CE 交于点 H，OG=BG，BH=1．
（1）求 ⊙O 的半径；
（2）将射线 DO 绕 D 点逆时针旋转，得射线 DM（如图 2），DM 与 AB 交于点 M，与 ⊙O 及切线 CF 分别相交于点 N，F，当 GM=GD 时，求切线 CF 的长．

22. 某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段 MN 的长），直线 MN 垂直于地面，垂足为点 P．在地面 A 处测得点 M 的仰角为 58∘ 、点 N 的仰角为 45∘，在 B 处测得点 M 的仰角为 31∘，AB=5 米，且 A，B，P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽 MN 的长．
（参考数据：sin58∘=0.85，cs58∘=0.53，tan58∘=1.60，sin31∘=0.52，cs31∘=0.86，tan31∘=0.60．）

23. 某市中心城区居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费办法：
第Ⅰ级：居民每户每月用水不超过 18 吨时，每吨收水费 3 元；
第Ⅱ级：居民每户每月用水超过 18 吨但不超过 25 吨，未超过 18 吨的部分按照第Ⅰ级标准收费，超过的部分每吨收水费 4 元；
第Ⅲ级：居民每户每月用水超过 25 吨，未超过 25 吨的部分按照第Ⅰ，Ⅱ级标准收费，超过的部分每吨收水费 6 元．
现把上述水费阶梯收费办法称为方案①；假设还存在方案②：居民每户月用水一律按照每吨 4 元的标准缴费．
设一户居民月用水 x 吨．
（1）根据题意填表：
户居民月用水量吨102536⋯方案①应缴水费元30⋯方案②应缴水费元40100⋯
（2）设方案①应缴水费为 y1 元，方案②应缴水费为 y2 元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）当 x>25 时，通过计算说明居民选择哪种付费方式更合算．

24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 O0,0，点 A3,0，点 C0,4；D 为 AB 边上的动点．
（1）如图 1，将 △ABC 对折，使得点 B 的对应点 B1 落在对角线 AC 上，折痕为 CD，求此刻点 D 的坐标；
（2）如图 2，将 △ABC 对折，使得点 A 的与点 C 重合，折痕交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，求直线 CD 的解析式；
（3）在坐标平面内，是否存在点 P（除点 B 外），使得 △APC 与 △ABC 全等?若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为 −1,0，且 OA=OC=4OB，抛物线 y=ax2+bc+ca≠0 图象经过 A，B，C 三点．
（1）求 A，C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD⊥AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】9−−3=9+3=12．
2. A【解析】∵tan30∘=33，
∴3tan30∘=33⋅3=3．
3. C【解析】63 万 =630000=6.3×105．
4. D【解析】A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5. B
【解析】由俯视图易得最底层有 3 个正方体，由主视图与左视图可得第二层有 1 个正方体，所以此几何体如图所示：
6. C【解析】∵16<21<25，
∴4<21<5，
∴6<21+2<7，
∴21+2 在 6 到 7 之间．
7. C【解析】x2+2xy+y2x2−y2−yx−y=x+y2x+yx−y−yx−y=x+y2−yx+yx+yx−y=xx−y.
8. D【解析】2x−y=9, ⋯⋯①x+y=−3. ⋯⋯②
①+② 得，3x=6，
解得 x=2，
将 x=2 代入 ② 得，2+y=−3，
解得 y=−5．
∴ 方程组的解为 x=2,y=−5.
9. D【解析】∵ 反比例函数 y=m2+1x（m 为常数），m2+1>0，
∴ 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∵ 点 Ax1,−6，Bx2,−2，Cx3,2 在反比例函数 y=m2+1x（m 为常数）的图象上，
∵−6<−2<0<2，
∴x210. C
【解析】∵ 五边形 ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形，
∴BC=DE，AC=AD，∠BAE=108∘．
又 ∵AF 是 ⊙O 的直径，
∴CF=DF．
∴BF=EF．
∴∠BAF=12∠BAE=54∘．
∴∠BDF=∠BAF=54∘．
11. C【解析】∵ 在 Rt△ABO 中，∠OBA=90∘，A4,4，
∴AB=OB=4，∠AOB=45∘，
∵ACCB=13，点 D 为 OB 的中点，
∴BC=3，OD=BD=2，
∴D0,2，C4,3，
作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P，
则此时，四边形 PDBC 周长最小，E0,2，
∵ 直线 OA 的解析式为 y=x，
设直线 EC 的解析式为 y=kx+b，
∴b=2,4k+b=3, 解得：k=14,b=2,
∴ 直线 EC 的解析式为 y=14x+2，
解 y=x,y=14x+2 得 x=83,y=83,
∴P83,83．
12. C【解析】① ∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线的对称轴在 y 轴右侧，
∴b<0，
∵ 抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，①错误；
②当 x=−1 时，y>0，
∴a−b+c>0，
∵−b2a=1，
∴b=−2a，
把 b=−2a 代入 a−b+c>0 中得 3a+c>0，
∴ ②正确；
③当 x=1 时，y<0，
∴a+b+c<0，
∴a+c<−b，
∵a>0，c>0，−b>0，
∴a+c2<−b2，即 a+c2−b2<0，
∴ ③正确；
④ ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴x=1 时，函数的最小值为 a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即 a+b≤mam+b，
∴ ④正确．
第二部分
13. xx+5x−5
【解析】x3−25x=xx2−25=xx+5x−5.
14. 15+66
【解析】3+62=32+2×3×6+62=9+66+6=15+66.
15. 25
【解析】把 x=0 代入 y=2x+4 得：y=4，
∴ 直线与 y 轴交点坐标为 0,4，
把 y=0 代入 y=2x+4 得：0=2x+4，x=−2，
∴ 直线与 x 轴交点坐标为 −2,0，
∴AB=22+42=25．
16. 13
【解析】画树状图如下：
所有可能的结果有 9 种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有 3 种，
概率为：39=13．
17. −2,23
【解析】作 CH⊥x 轴于 H 点，如图．
当 x=4 时，y=3x=43，则 A4,43．
∴AB=43．
∵△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △CBD，
∴BC=BA=43，∠ABC=60∘．
∴∠CBH=30∘．
在 Rt△CBH 中，CH=12BC=23，BH=BC2−CH2=6．
∴OH=BH−OB=6−4=2．
∴C 点坐标为 −2,23．
第三部分
18. （1） 45
【解析】由题意可知 sin∠CAB=sin∠DAB=45．
（2） 由题意根据菱形的性质即对角线互相垂直平分，作图如下：
19. （Ⅰ）x≥−2
（Ⅱ）x<3
（Ⅲ）在数轴上表示如下：
（Ⅳ）−2≤x<3
【解析】（Ⅰ）−x−1≤3，
去括号：−x+1≤3，
移项：−x≤2，
化系数为 1：x≥−2．
（Ⅱ）12x−1<13x，
去分母：3x−1<2x，
去括号：3x−3<2x，
移项：3x−2x<3，
化系数为 1：x<3．
（Ⅳ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得出不等式的解集为 −2≤x<3．
20. （1） 25；40
【解析】根据条形统计图，得到调查总人数为：5+10+6+4=25（名）．
根据扇形统计图得到 m=100−20−16−24=40．
（2） 观察条形统计图，
∵x=4×5+5×10+6×6+7×45+10+6+4=5.36．
∴ 这组数据的平均数是 5.36．
∵ 在这组样本数据中，5 出现了 10 次，出现的次数最多，
∴ 这组样本数据的众数是 5．
将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是 5．
∴ 这组样本数据的中位数是 5．
（3） ∵ 样本数据的平均数是 5.36，
∴ 可以用样本平均数估计总体平均数为 5.36．
∵350×5.36=1876．
答：这 350 人约共植树 1876 棵．
21. （1） 连接 OC，
∵CE 为 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCH=90∘，
∵CD⊥AB，OG=BG，
∴OC=CB，
又 ∵OB=OC，
∴OB=OC=CB，
∴△BOC 为等边三角形，
∴∠4=∠OCB=60∘，
∴∠BCH=∠OCH−∠OCB=90∘−60∘=30∘，
∵OC=BC，CD⊥OB，
∴∠1=∠3=13∠OCB=30∘，
由同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可知：∠2=12∠4=30∘，
∴∠2=∠3，
∴DH∥OC，
∴∠H=90∘，
在 Rt△BCH 中，∠H=90∘，∠BCH=30∘，BH=1，
∴BC=2BH=2，
∴OB=BC=2，
即 ⊙O 的半径为 2．
（2） 如图 4，过点 F 作 FQ⊥DC．交 DC 延长线于点 Q，
∴∠CFQ+∠FCQ=90∘，
∵OC⊥FC，
∴∠OCG+∠FCQ=90∘，
∴∠CFQ=∠OCG=30∘，
设 CQ=x，则 CF=2x，QF=3x，
∵GM=GD，MG⊥CD，
∴∠MDG=45∘，
∵FQ⊥QD，
∴∠DFQ=90∘−∠MDG=45∘=∠MDG，
∴QF=QD=QC+CD，
∵AB⊥CD，OC=2，OG=GB=1，
又 ∵CD=2CG=2×22−12=23，
∴3x=x+23，
解得 x=3+3，
∴CF=2CQ=6+23．
22. 在 Rt△APN 中，∠NAP=45∘，
∴PA=PN．
在 Rt△APM 中，tan∠MAP=MPAP，设 PA=PN=x，
∵∠MAP=58∘，
∴MP=AP⋅tan∠MAP=1.6x，
在 Rt△BPM 中，tan∠MBP=MPBP，
∵∠MBP=31∘，AB=5，
∴0.6=1.6x5+x，
∴x=3，
∴MN=MP−NP=0.6x=1.8（米）．
答：广告牌的宽 MN 的长为 1.8 米．
23. （1） 82；148；144
【解析】方案①中：居民月用水量 25 吨时，水费 =18×3+25−18×4=82（元），
居民月用水量 36 吨时，水费 =18×3+25−18×4+36−25×6=148（元），
方案②居民月用水量 36 吨时水费 =36×4=144（元）．
（2） 方案①：当 0≤x≤18 时，y1=3x；
当 18当 x>25 时，y1=3×18+4×25−18+6x−25；即 y1=6x−68．
方案②：y2=4xx≥0．
（3） 设方案①与方案②的总费用的差为 w 元．
则 w=6x−68−4x，即 w=2x−68．
当 w=0 时，即 2x−68=0，得 x=34．
∴ 当 x=34 时，居民选择这两种方案一样合算．
∵2>0，
∴y 随 x 的增大而增大．
∴ 当 25当 x>34 时，有 y>0，居民选择方案②更合算．
24. （1） ∵ 在矩形 OABC 中，点 A3,0，点 C0,4．
∴BC=OA=3，OC=AB=4．
在 Rt△AOC 中，AC=OA2+OC2=5．
由翻折可知：△CBD≌△CB1D．
∴B1C=BC=3，BD=B1D，∠CB1D=∠B=90∘．
设 AD=t，则 BD=B1D=AB−AD=4−t．
在 Rt△AB1D 中，AB1=AC−B1C=5−3=2，∠AB1D=90∘．
由勾股定理得：AB12+B1D2=AD2，
即 22+4−t2=t2，解得：t=52．
∵ 点 D 在 AB 边上，
∴D 点坐标为 3,52．
（2） 设 D 点坐标为 3,m，则 AD=m，BD=4−m．
由翻折可知：CD=AD=t，CE=AE=52．
在 Rt△CBD 中，由勾股定理得：BC2+BD2=CD2，
即 32+4−m2=m2，解得：m=258．
∴D3,258．
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，
则 b=4,258=3k+b, 解得 k=−724,b=4,
∴ 直线 CD 的解析式为 y=−724x+4．
（3） 存在，点 P 的坐标为 0,0，9625,7225 或 −2125,2825．
【解析】存在点 P（除点 B 外），使得 △APC 与 △ABC 全等，理由如下：
①当点 P 与点 O 重合时，△APC≌△CBA，此时 P0,0；
②当点 P 在第一象限时，如图作 PH⊥AB 交 AB 于 H．
在 Rt△ADP 中，AD=258，BD=DP=4−258=78，AP=BC=3，
由 AD×PH=DP×AP 得 PH=2125，
有 P 的横轴坐标为 2125+3=9625，
将 x=9625 代入 CD 的解析式 y=−724x+4，
得到 P 的纵轴坐标为 −724×9625+4=7225，
此时点 P 的坐标为 9625,7225；
③当点 P 在第一象限时，如图作 PG⊥OC 交 OC 于 G．
同理可得：PG=PH=2125．
由勾股定理可得：CG2+PG2=CP2，解得 CG=7225，
即有 OG=OC−CG=4−7225=2825，
∴ 此时点 P 的坐标为 −2125,2825．
综上，符合条件的点 P 的坐标为 0,0，9625,7225 或 −2125,2825．
25. （1） OA=OC=4OB=4，
故点 A，C 的坐标分别为 4,0，0,−4．
（2） 抛物线的表达式为：y=ax+1x−4=ax2−3x−4，
即 −4a=−4，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−3x−4．
（3） 直线 CA 过点 C，设其函数表达式为：y=kx−4，
将点 A 坐标代入上式并解得：k=1，
故直线 CA 的表达式为：y=x−4，
过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H，
∵OA=OC=4，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，
∵PH∥y 轴，
∴∠PHD=∠OCA=45∘，
设点 Px,x2−3x−4，则点 Hx,x−4，
PD=22x−4−x2+3x+4=−22x2+22x.
∵−22<0，
∴PD 有最大值，当 x=2 时，其最大值为 22，此时点 P2,−6．