2020年天津市河西区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市河西区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 9×−5 的结果等于
A. 45B. −45C. 4D. −14

2. cs45∘ 的值等于
A. 2B. 1C. 32D. 22

3. 下列图形中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 据北京市通信管理局披露，截至 3 月 30 日，北京市已建设了 5G 基站数量超过 17000 个．将 17000 用科学计数法表示为
A. 1.7×104B. 1.7×105C. 1.7×106D. 0.17×106

5. 如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 23 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 计算 x+1x−1 的结果为
A. 1xB. xC. 1D. x+2x

8. 直线 y=2x 与直线 y=−3x+15 的交点为
A. 3,6B. 4,3C. 4,8D. 2,3

9. 若点 A−1,y1，B2,y2，C3,y3 在反比例函数 y=6x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y3
10. 如图，平行四边形 ABCO 中的顶点 O，A，C 的坐标分别为 0,0，2,3，m,0，则顶点 B 的坐标为
A. 3,2+mB. 3+m,2C. 2,3+mD. 2+m,3

11. 如图，△ABC 中，∠BCA=90∘，∠ABC=22.5∘，将 △ABC 沿直线 BC 折叠，得到点 A 的对称点 Aʹ，连接 BAʹ，过点 A 作 AH⊥BAʹ 于 H，AH 与 BC 交于点 E．下列结论一定正确的是
A. AʹC=AʹHB. 2AC=EBC. AE=EHD. AE=AʹH

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+3（a，b 为常数，a≠0），且 b=a+3，其对称轴在 y 轴右侧．有下列结论：
① −3②方程 ax2+bx+3=2 有两个不相等的实数根；
③该抛物线经过定点 −1,0 和 0,3．
其中，正确结论的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算：a5÷a3= ．

14. 计算 3+13−1 的结果等于 ．

15. 九年一班共 35 名同学，其中女生有 17 人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为 ．

16. 若一次函数 y=kx+b（b 为常数）的图象过点 3,4，且与 y=x 的图象平行，这个一次函数的解析式为 ．

17. 如图，已知正方形 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，过点 O 的直线 EF 与直线 GH 分别交 AD，BC，AB，CD 于点 E，F，G，H．若 EF⊥GH，OC 与 FH 相交于点 M，当 CF=4，AG=2 时，则 OM 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B，C 均在格点上．
（1）△ABC 的面积为 ；
（2）若有一个边长为 6 的正方形，且满足点 A 为该正方形的一个顶点，且点 B 、点 C 分别在该正方形的两条边上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这个正方形，并简要说明其它顶点的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 解不等式组 2x+5≤−1, ⋯⋯①2x+1<3. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中 a 的值为 ；
（2）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据这组初赛成绩，由高到低确定 9 人能进入复赛，请直接写出初赛成绩为 1.65 m 的运动员能否进入复赛．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的切线，∠ABC=52∘，BC 交 ⊙O 于点 D，E 是 AB 上一点，延长 DE 交 ⊙O 于点 F．
（1）如图①，连接 BF，求 ∠C 和 ∠DFB 的大小；
（2）如图②，当 DB=DE 时，求 ∠OFD 的大小．

22. 小明上学途中要经过 A，B 两地，由于 A，B 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 AC，CB．如图，在 △ABC 中，AB=63 m，∠A=45∘，∠B=37∘，求 AC，CB 的长．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，2 取 1.414．

23. 某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为 15 万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5 万元，平均每周多售出 1 辆．
（1）当售价为 22 万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是 90 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．

24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A3,0，点 B0,1，点 E 是边 AB 中点，把 △ABO 绕点 A 顺时针旋转，得 △ADC，点 O，B 旋转后的对应点分别为 D，C．记旋转角为 α．
（1）如图①，当点 D 恰好在 AB 上时，求点 D 的坐标；
（2）如图②，若 α=60∘ 时，求证：四边形 OECD 是平行四边形；
（3）连接 OC，在旋转的过程中，求 △OEC 面积的最大值（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 C：y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关于直线 x=1 对称，点 A 的坐标为 −1,0．
（1）求抛物线 C 的解析式和顶点坐标；
（2）将抛物线 C 绕点 O 顺时针旋转 180∘ 得抛物线 Cʹ，且有点 Pm,t 既在抛物线 C 上，也在抛物线 Cʹ 上，求 m 的值；
（3）当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y=x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. C
4. A
5. B
6. C
7. A
8. A
9. C
10. D
11. B
12. D
第二部分
13. a2
14. 2
15. 1735
16. y=x+1
17. 523
第三部分
18. （1） 15
（2） 如图，取格点 O，L，M，N，连接 OL，MN，交于点 D；同样地，取格点 K，P，Q，连接 OK，PQ，交于点 F；作射线 DB 和 FC，交于点 E，连接 AD，AF，四边形 ADEF 即为所求
19. x≤−3；x<1；略；x≤−3
20. （1） 25
（2） 观察条形统计图，
∵x=1.50×2+1.55×4+1.60×5+1.65×6+1.70×32+4+5+6+3=1.61，
∴ 这组数据的平均数是 1.61．
∵ 在这组数据中，1.65 出现了 6 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 1.65．
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 1.60，
有 1.60+1.602=1.60，
∴ 这组数据的中位数为 1.60．
（3） 能．
21. （1） 如图，连接 AD．
∵AC 是 ⊙O 的切线，AB 是 ⊙O 的直径，
∴AB⊥AC，即 ∠BAC=90∘．
∵∠ABC=52∘，
∴∠C=90∘−∠ABC=90∘−52∘=38∘．
由 AB 是 ⊙O 的直径，得 ∠ADB=90∘．
∴∠DAB=90∘−∠ABC=90∘−52∘=38∘．
∵BD=BD，
∴∠DFB=∠DAB=38∘．
（2） 如图，连接 OD．
在 △BDE 中，DB=DE，∠B=52∘，
∴∠BED=∠B=52∘，
∴∠BDE=180∘−∠BED−∠B=76∘．
又在 △BOD 中，OB=OD，
∴∠BDO=∠B=52∘，
∴∠ODF=76∘−52∘=24∘．
∵OD=OF，
∴∠F=∠ODF=24∘．
22. 如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D．
在 Rt△ACD 中，tanA=CDAD，sinA=CDAC，∠A=45∘，
∴AD=CDtan45∘=CD，AC=CDsin45∘=2CD．
在 Rt△BCD 中，tanB=CDBD，sinB=CDCB，∠B=37∘．
∴BD=CDtan37∘，CB=CDsin37∘．
∵AD+BD=AB，AB=63，
∴CD+CDtan37∘=63．
解得 CD=63⋅tan37∘1+tan37∘≈63×0.751+0.75=27.00．
∴AC≈1.414×27.00=38.178≈38.2，CB≈．
答：AC 的长约等于 38.2 m，CB 的长约等于 45.0 m．
23. （1） 由题意，可得当售价为 22 万元/辆时，
平均每周的销售量是：25−220.5×1+8=14，
则此时，平均每周的销售利润是：22−15×14=98（万元）．
（2） 设每辆汽车降价 x 万元，根据题意得：
25−x−158+2x=90.
解得
x1=1,x2=5.
当 x=1 时，销售数量为 8+2×1=10（辆）；
当 x=5 时，销售数量为 8+2×5=18（辆），
为了尽快减少库存，则 x=5，
此时每辆汽车的售价为 25−5=20（万元）．
答：每辆汽车的售价为 20 万元．
24. （1） 由题意：OA=3，OB=1，
∴ 在 △AOB 中，∠AOB=90∘，tan∠BAO=33，
∴∠BAO=30∘．
由旋转性质得，DA=OA=3，
过 D 作 DM⊥OA 于 M，
则在 Rt△DAM 中，DM=12AD=32，AM=3DM=32，
∴OM=AO−OM=3−32，
∴D3−32,32．
（2） 延长 OE 交 AC 于 F，
在 Rt△AOB 中，点 E 为 AB 的中点，∠BAO=30∘，
∴OE=BE=AE．
又 ∠ABO=60∘，
∴△BOE 是等边三角形，
∴OE=OB，
∴∠BOE=60∘，
∴∠EOA=30∘，
由旋转性质，DC=OB，
∴OE=DC．
∵α=60∘，
∴∠OAD=60∘，
由旋转性质知，∠DAC=∠OAB=30∘，∠DCA=∠OBA=60∘，
∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=90∘，
∴∠OFA=90∘−∠EOA=90∘−30∘=60∘，
∴∠DCA=∠OFA，
∴OE∥DC．
∴ 四边形 OECD 是平行四边形．
（3） 4+34．
25. （1） ∵ 点 A−1,0 与点 B 关于直线 x=1 对称，
∴ 点 B 的坐标为 3,0，则 y=x+1x−3，
即抛物线 C 的表达式为 y=x2−2x−3；
∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 顶点坐标为 1,−4．
（2） 由抛物线 C 解析式知 B3,0，点 A 的坐标为 −1,0，
∴ 点 A 、点 B 关于原点的对称点为 1,0 和 −3,0，都在抛物线 Cʹ 上，
且抛物线 Cʹ 开口向下，形状与由抛物线 C 相同，
于是可得抛物线 Cʹ 的解析式为 y=−x−1x+3，即 y=−x2−2x+3；
由点 Pm,t 在抛物线 y=x2−2x−3 上，有 t=m2−2m−3；
由点 Pm,t 也在抛物线 Cʹ 上，有 t=−m2−2m+3，
∴m2−2m−3=−m2−2m+3，解得 m1=3，m2=−3．
（3） ①当 a+1<1 时，即 a<0，
则函数的最小值为 a+12−2a+1−3=2a，
解得 a=1−5（正值舍去）；
②当 a<1≤a+1 时，即 0≤a<1，
则函数的最小值为 1−2−3=2a，解得：a=−2（舍去）；
③当 a≥1 时，
则函数的最小值为 a2−2a−3=2a，解得 a=2+7（负值舍去）．
综上，a 的值为 1−5 或 2+7．