2020年天津市和平区中考二模数学试卷

这是一份2020年天津市和平区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −23−−22 的结果等于
A. −4B. 4C. 12D. −12

2. 2sin60∘ 的值等于
A. 22B. 2C. 12D. 3

3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 2016 年某市用于资助贫困学生的助学金总额是 9680000 元，将 9680000 用科学记数法表示为
A. 96.8×105B. 9.68×106C. 9.68×107D. 0.968×108

5. 如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒，其主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 35 的值在
A. 5 和 6 之间B. 6 和 7 之间C. 7 和 8 之间D. 8 和 9 之间

7. 化简 x2x−1+11−x 的结果是
A. x+1B. 1x+1C. x−1D. xx−1

8. 已知 x=3,y=−2 是方程组 ax+by=2,bx+ay=−3 的解，则 a+b 的值是
A. −1B. 1C. −5D. 5

9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，点 E 在边 BC 上，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若 ∠EAC=∠ECA，则 AC 的长是
A. 33B. 6C. 4D. 5

10. 反比例函数 y=k2+1x 图象上有三个点 x1,y1，x2,y2，x3,y2，其中 x1A. y3
11. 如图，正方形 ABCD 边长为 2，点 E 是 BC 边上的一点，以 AB 为直径在正方形内作半圆 O，将 △DCE 沿着 DE 翻折，点 C 恰好落在半圆 O 上的点 F 处，则 CE 的长为
A. 13B. 12C. 34D. 23

12. 已知二次函数 y1=mx2+4mx−5mm≠0，一次函数 y2=2x−2，有下列结论：
① 当 x>−2 时，y1 随 x 的增大而减小；
② 二次函数 y1=mx2+4mx−5mm≠0 的图象与 x 轴交点的坐标为 −5,0 和 1,0；
③ 当 m=1 时，y1≤y2；
④ 在实数范围内，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值 y2≤y1 均成立，则 m=13．
其中，正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 −5a2⋅2a3 的结果等于 ．

14. 计算 22−33+22 的结果等于 ．

15. 一枚质地均匀的骰子的 6 个面上分别刻有 1∼6 的点数，抛掷这枚骰子 1 次，向上一面的点数大于 2 且小于 5 的概率是 ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 坐标为 −4,0，点 D 的坐标为 −1,4，反比例函数 y=kxx>0 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 ．

17. 如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，点 E 在 AC 上，AE=23AC，D 是 BC 延长线上一点，将线段 DE 绕点 E 逆时针旋转 90∘ 得到线段 FE，当 AF∥BD 时，线段 AF 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B，C 为格点，D 为小正方形边的中点．
（1）AC 的长等于 ；
（2）点 P，Q 分别为线段 BC，AC 上的动点，当 PD+PQ 取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 PD，PQ，并简要说明点 P 和点 Q 的位置是如何找到的（不要求证明）．

19. 解不等式组 x−3x−2≥−4, ⋯⋯①3x−3<2x+1. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某校对九年一班 50 名学生进行长跑项目的测试，根据测试成绩制作了两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次测试的学生中，得 3 分的学生有 人，得 4 分的学生有 人；
（2）求这 50 个数据的平均数、众数和中位数．

21. 已知，AC 是 ⊙O 的直径，PA，PB 是 ⊙O 的切线，切点分别是点 A，B．
（1）如图①，若 ∠BAC=25∘，求 P 的度数：
（2）如图②，若 M 是劣弧 AB 上一点，∠AMB=∠AOB，求 P 的度数．

22. 如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 60 m，从 C 点测得 A 点的仰角 α 为 53∘，从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 37∘，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37∘≈35，cs37∘≈45，tan37∘≈34，sin53∘≈4，cs53∘≈35，tan53∘≈43）．

23. 某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费 30 元；
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元．
设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为 x 次（x 为正整数）．
（1）根据题意，填写下表：
游泳次数51015⋯x方式一的总费用元350650⋯方式二的总费用元200400⋯
（2）若小亮计划今年游泳的总费用为 2000 元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多；
（3）当 x>12 时，小亮选择哪种付费方式更合算．并说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90∘，∠CAB=60∘，点 O0,0，点 A1,0，点 B−1,0，点 C 在第二象限，点 P−2,3．
（1）如图 ①，求 C 点坐标及 ∠PCB 的大小；
（2）将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转得到 △MNC，点 A，B 的对应点分别为点 M，N，S 为 △PMN 的面积．
① 如图 ②，当点 N 落在边 CA 上时，求 S 的值；
② 求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．

25. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A2,0 和点 −1,2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）Pm,t 为抛物线上的一个动点，点 P 关于原点的对称点为 Pʹ．当点 Pʹ 落在该抛物线上时，求 m 的值；
（3）Pm,tm<2 是抛物线上一动点，连接 PA，以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG，随着点 P 的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，求对应的 P 点坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】−23−−22=−8−4=−12．
2. D【解析】2sin60∘=2×32=3．
3. B【解析】A．是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意．
4. B【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤a<10，n 为整数．
确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 >1 时，n 是正数；当原数的绝对值 <1 时，n 是负数．
∴ 将 9680000 用科学记数法表示为：9.68×106．
5. A
【解析】A项，是正视图，故符合题意．
B项，不是三视图，故不符合题意．
C项，是左视图，故不符合题意．
D项，是俯视图，故不符合题意．
故选A．
6. B【解析】∵35=45，且 36<45<49，
∴36<45<49，
∴6<35<7．
7. A【解析】原式=x2x−1−1x−1=x2−1x−1=x+1x−1x−1=x+1.
8. A【解析】将 x=3,y=−2 代入 ax+by=2,bx+ay=−3,
可得：3a−2b=2,3b−2a=−3, 两式相加：a+b=−1．
9. B【解析】∵ 将 △ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上点 F 处，
∴AF=AB，∠AFE=∠B=90∘，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∴AF=CF，
∴AC=2AB=6．
10. C
【解析】∵ 反比例函数 y=k2+1x 的比例系数 k2+1>0，
∴ 图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
又 ∵x1 ∴y20，
∴y211. D【解析】如图，连接 OD，OF．
由 AO=FO=1，AD=FD，DO=DO，可得 △AOD≌△FOD．
∴∠DAO=∠DFO=90∘．
又 ∵∠DFE=∠C=90∘，
∴O，F，E 在同一直线上，
设 CE=EF=x，则 BE=2−x，OE=1+x．
在 Rt△BOE 中，BO2+BE2=OE2，
∴12+2−x2=1+x2，解得 x=23．
∴CE=23．
12. C【解析】① 二次函数 y1=mx2+4mx−5mm≠0 的对称轴为 x=−2，
因为 m 的正负性不确定，
所以 y1 与 x 的关系无法确定，故 ① 错误；
② 把 y1=0 代入 y1=mx2+4mx−5m，解得 x1=−5，x2=1，
所以图象与 x 轴交点的坐标为 −5,0 和 1,0，故 ② 正确；
③ 当 m=1 时，二次函数为 y1=x2+4x−5，将一次函数与二次函数列方程 x2+4x−5=2x−2，解得 x1=−3，x2=1，
所以当 −3≤x≤1，y1≤y2，故 ③ 错误；
④y2≤y1 对于任意 x 都成立，即 m>0，mx2+4mx−5m=2x−2 有且仅有一个解，则 4m−22−4−5m2+2m=0，m=13，故 ④ 正确．
第二部分
13. −10a5
【解析】−5a2⋅2a3=−10a2+3=−10a5．
14. −1
【解析】22−33+22=22×3+22×22−3×3−3×22=62+8−9−62=−1.
15. 13
【解析】抛掷这枚骰子 1 次，向上一面的点数大于 2 且小于 5 的有：3，4 两种情况，
∴ 所求概率 26=13．
16. 16
【解析】过点 D 作 DH⊥x 轴，垂足为 H，则 ∠AHD=90∘，
又 ∵D−1,4，
∴H−1,0，DH=4，
∵A−4,0，
∴AH=3，
∴AD=AH2+DH2=5，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴DC=AD=5，DC∥AB，
∴C4,4，
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象恰好经过点 C，
∴4=k4，
∴k=16．
17. 1+32
【解析】如图所示，过 E 作 EG⊥BC 于 G，过 A 作 AP⊥EG 于 P，过 F 作 FH⊥EG 于 H．
则 ∠DGE=∠EHF=90∘．
∵∠DEF=90∘，
∴∠EDG+∠DEG=90∘=∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG=∠FEH，
又 ∵EF=DE，
∴△DEG≌△EFHAAS，
∴HF=EG，
∵△ABC 是等边三角形，AB=3，AE=23AC，
∴AE=2，CE=1，∠AEH=∠CEG=30∘，
∴CG=12CE=12，AP=12AE=1，
∴EG=3CG=123，
∴HF=123，
∴ 当点 D 运动时，点 F 与直线 GH 的距离始终为 123 个单位．
∴ 当 AF∥BD 时，AF=AP+HF=1+123．
第三部分
18. （1） 5
【解析】由图可得：AC=32+42=5，
故答案为：5．
（2） 如图，BC 与网格线相交，得点 P；取格点 E，F，连接 EF，与网格线相交，得点 G，取格点 M，N，连接 MN，与网格线相交，得点 H，连接 GH，与 AC 相交，得点 Q．连接 PD，PQ．线段 PD，PQ 即为所求．
如图，延长 DP，交网格线于点 T，连接 AB，GH 与 DP 交于点 S，
由计算可得：AB=20，BC=5，AC=5，
∴△ABC 为直角三角形，∠ABC=90∘，
∴tan∠ACB=2，
\（\because \tan{\angle BCT}=PT\mathbin{：}TC=2\），
∴∠ACB=∠BCT，即 BC 平分 ∠ACT，
根据画图可知：GH∥BC，
∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，
∵∠BCT=∠BCA，
∴∠CQH=∠GHC，
∴CQ=CH，
由题意可得：BS=CH，
∴BS=CQ，
又 ∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，
∴△BPS≌△CPQ，
∴∠PSB=∠PHC=90∘，
即 PQ⊥AC，
∴PD+PQ 的最小值即为 PD+PT，
∴ 所画图形符合要求．
19. （1）x≤5
（2）x<4
（3）
（4）x<4
【解析】（1）解不等式 ①，x−3x+6≥−4，
化简，得 −2x≥−10，解得：x≤5；
（2）解不等式 ②，得 x<4；
（3）不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示如图所示：
（4）原不等式组的解集为 x<4．
20. （1） 5；25
【解析】得 3 分的学生有 50×10%=5 人，得 4 分的学生有 50×50%=25 人．
（2） ∵x=2×10+3×5+4×25+5×1050=3.7，
∴ 这组数据的平均数是 3.7 分；
∵ 在这组数据中，4 出现了 25 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 4 分；
∵ 将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数都是 4，
∴ 这组数据的中位数是 4 分．
21. （1） ∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵PA 为切线，
∴CA⊥PA，
∴∠CAP=90∘，
∵∠BAC=25∘，
∴∠PAB=90∘−∠BAC=65∘，
∴∠P=180∘−2∠PAB=50∘，
（2） 如图，连接 BC，
∴∠AOB=2∠C，
∵∠C+∠AMB=180∘，∠AMB=∠AOB，
∴∠C+2∠C=180∘，
∴∠C=60∘，
∴∠AOB=120∘，
∵PA，PB 是 ⊙O 的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90∘，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360∘，
∴∠P=360∘−∠PAO−∠PBO−∠AOB=360∘−90∘−90∘−120∘=60∘．
22. 过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E，
则 DE=BC=60 m．
∵α=53∘，tan53∘≈43．
在 Rt△ABC 中，tanα=ABBC．
∴ABBC=43，即 AB60=43．
解得：AB=80 m．
又 ∵∠ADE=β=37∘，tan37∘≈34．
在 Rt△ADE 中，tan∠ADE=ADDE．
∴ADDE=34，即 AE60=34．
解得：AE=45 m．
∵BE=AB−AE．
∴BE=35 m，
∵BE=CD．
∴CD=35 m．
答：建筑物 AB 的高度为 80 m．建筑物 CD 的高度为 35 m．
23. （1） 500；30x+200；600；40x
【解析】方式一游泳十次：200+10×30=500；
方式一游泳 x 次：200+10x；
方式二游泳 15 次：40×15=600；
方式二游泳 x 次：40x．
（2） 方式一：30x+200=2000，解得 x=60；
方式二：40x=2000，解得 x=50．
∵60>50，
∴ 小亮选择方式一游泳次数比较多．
（3） 设方式一与方式二的总费用的差为 y 元．
则 y=30x+200−40x，即 y=−10x+200．
当 y=0 时，即 −10x+200=0，得 x=20．
∴ 当 x=20 时，小亮选择这两种方式一样合算．
∵−10<0，
∴y 随 x 的增大而减小．
∴ 当 120，小亮选择方式二更合算；
当 x>20 时，有 y<0，小亮选择方式一更合算．
24. （1） ∵ 点 A1,0，点 B−1,0，
∴OA=1，OB=1，
∴AB=2，
在 Rt△ABC 中，∠CAB=60∘，
∵tan∠CAB=BCAB，
∴BC=AB⋅tan60∘=2×3=23，
∴C−1,23，
过点 P 作 PE⊥CB，垂足为点 E，过点 P 作 PF⊥x轴，垂足为点 F，
可证得四边形 PFBE 是矩形，
∵P−2,3，
∴OF=2，PF=3，
∴FB=OF−OB=1，
∴BE=PF=3，PE=FB=1，
∴CE=CB−BE=23−3=3，
在 Rt△CPE 中，
∵tan∠PCE=PECE=33，
∴∠PCB=30∘．
（2） ① 过点 P 作 PH⊥直线MN，垂足为点 H，过点 P 作 PG⊥AC，垂足为点 G，
可证得四边形 PHNG 是矩形．
∴PH=GN，
∵△MNC 是由 △ABC 旋转得到，
∴CN=CB=23，MN=AB=2，
∵∠ABC=90∘，∠CAB=60∘，
∴∠BCA=30∘，
由（1）得 ∠PCB=30∘，PE=1，
∴PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60∘，
在 Rt△PCG 中，∠CPG=30∘，
∴CG=12PC=1，
∴PH=GN=CN−CG=CB−CG=23−1，
∴S=12MN⋅PH=12×2×PH=PH=23−1，
②23−2≤S≤23+2．
【解析】② 当 P，C，N 共线，PN=PC+CN 时，S 最大；
S=12MN⋅PN=12×2×PN=PN=23+2；
当 P，C，N 共线，PN=PC−CN 时，S 最小；
S=12MN⋅PN=12×2×PN=PN=23−2；
即 23−2≤S≤23+2．
25. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A2,0 和点 −1,2，
得 −4+2b+c=0,−1−b+c=2, 解得 b=13,c=103,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+13x+103．
（2） ∵Pʹ 与 Pm,t 关于原点对称，
∴Pʹ 的坐标为 −m,−t．
∵Pm,t，Pʹ−m,−t 都在抛物线 y=−x2+13x+103 上，
∴t=−m2+13m+103，−t=−m2−13m+103．
∴−m2+13m+103+−m2−13m+103=0．
解得 m=303 或 m=−303．
（3） 当点 G 落在 y 轴上时，
如图 1，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M．
∵ 四边形 APFG 是正方形，
∴AP=GA，∠PAG=90∘．
∴∠PAM+∠GAO=90∘．
∵∠AOG=90∘，
∴∠AGO+∠GAO=90∘．
∴∠PAM=∠AGO．
又 ∠PMA=∠AOG=90∘，
∴△PMA≌△AOG．
∴PM=AO=2．
∴t=2，有 −m2+13m+103=2，
解得 m=43 或 m=−1（舍去）．
∴P 点坐标为 43,2．
如图 2，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，
同理可以证得 △APM≌△GAO，
∴PM=AO=2．
∴t=2，有 −m2+13m+103=2，
解得 m=−1 或 m=43（舍去）．
∴P 点坐标为 −1,2．
当点 F 落在 y 轴上时，
如图 3，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥PM 于点 N，
同理可以证得 △PFN≌△APM，
∴FN=PM，
∴t=m，有 −m2+13m+103=m，
解得 m=−1+313 或 m=−1−313（舍去）．
∴P 点坐标为 −1+313,−1+313．
如图 4，过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N，过点 A 作 AM⊥PN，交 PN 的延长线于点 M，
同理可以证得 △PAM≌△FPN，
∴AM=PN，
∴t=m，有 −m2+13m+103=m，
解得 m=−1−313 或 m=−1+313（舍去）．
∴P 点坐标为 −1−313,−1−313．
综上所述，P 点的坐标为 43,2，−1,2，−1+313,−1+313，−1−313,−1−313．