2019年广东省深圳市福田区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年广东省深圳市福田区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −3 的绝对值是
A. −3B. −13C. 13D. 3

2. 如图是某体育馆内德颁奖台，其俯视图是
A. B.
C. D.

3. 我国首部国产科幻灾难大片《流浪地球》于 2019 年 2 月 5 日在我国内地上映，自上映以来票房累计突破 46.7 亿元，将 46.7 亿元用科学记数法表示为
A. 0.467×1010B. 46.7×108C. 4.67×109D. 4.67×1010

4. 下列图标不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列运算正确的是
A. a23=a6B. a+22=a2+4
C. a6÷a3=a2D. a+2a=3a

6. 如图，已知 a∥b，点 A 在直线 a 上，点 B，C 在直线 b 上，∠1=120∘，∠2=50∘，则 ∠3 为
A. 70∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘

7. 在一次“爱心义卖活动”中，某校 9 年级的六个班级捐献的义卖金额数据如下：900 元，920 元，960 元，1000 元，920 元，950 元．这组数据的众数和中位数分别是
A. 920 元，960 元B. 920 元，1000 元
C. 1000 元，935 元D. 920 元，935 元

8. 小明在深圳书城会员日当天购买了一本 8 折的图书，节约了 17.2 元，那么这本图书的原价是
A. 86 元B. 68.8 元C. 18 元D. 21.5 元

9. 下列命题中真命题是
A. 有一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一个角为 90∘ 的四边形为矩形
C. 3,−2 关于原点的对称点为 −3,2
D. 有两边和一角相等的两个三角形全等

10. 如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点 C，测得 ∠BCA=45∘，AC=20 米，∠BAC=60∘，则这棵乌稔树的高 AB 约为 （参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
A. 7 米B. 14 米C. 20 米D. 40 米

11. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 和直线 y=kx+b 都经过点 −1,0，抛物线的对称轴为 x=1，那么下列说法正确的是
A. ac>0
B. b2−4ac<0
C. k=2a+c
D. x=4 是 ax2+b−kx+c
12. 如图，正方形 ABCD 边长为 6，E 是 BC 的中点，连接 AE，以 AE 为边在正方形内部作 ∠EAF=45∘，边 AF 交 CD 于 F，连接 EF．则下列说法正确的有
① ∠EAB=30∘；
② BE+DF=EF；
③ tan∠AFE=3；
④ S△CEF=6．
A. ①②③B. ②④C. ①④D. ②③④

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：3x3−27= ．

14. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60∘，90∘，210∘．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是 ．

15. 定义新运算：a*b=2a−b，则不等式 x*4>0 的解集是 ．

16. 如图，△AOB 为等腰直角三角形，AO=AB，顶点 O 为坐标原点，∠A=90∘，点 A 的坐标为 3,−1，点 B 在第一象限，AB 与 x 轴交于点 C，双曲线 y=kxx>0 经过点 B，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：20−2sin45∘+13−2−∣−2∣．

18. 先化简，再求值：1a+1+a2−2a+1a2−1−1，其中 a=4．

19. 某校“心灵信箱”的设立，为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠道．为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况，某课题组对该校九年级全体学生进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．
两年来,你通过"心灵信箱"给老师总共投递过几封信?A.没投过 B.一封 C.两封 D.三封或以上
根据图表，解答以下问题：
（1）该校九年级学生共有 人；
（2）学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是 ；
（3）请你补充条形统计图；
（4）根据调查结果可以推断：两年来，该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出的信件总数至少有 封．

20. 如图，在 △ABC 中， AB=AC ，以点 B 为圆心， BC 为半径作弧（ MCN ），再以点 C 为圆心，任意长为半径作弧，交前弧于 M ， N 两点，射线 BM ， BN 分别交直线 AC 于点 D ， E ．
（1）求证： AC2=AD⋅AE ；
（2）若 BM⊥AC ，且 CD=2 ， AD=3 ，求 △ABE 的面积．

21. 皮特是红树林中学的一个外籍教师，目前，他在电脑上打英语单词的平均速度是打汉字速度的 2 倍．某次，他连续打完一篇 3600 字（单词）的英语文章和一篇 600 字的汉语文章，一共刚好花了 40 分钟．（速度按每分钟打多少个英语单词（或汉字）测算）问：
（1）皮特目前平均每分钟能打多少汉字?
（2）最近，皮特把一篇汉语文章翻译成了英文，原文加上译文总字数恰好为 6000 字，已知他在 1 小时内（含 1 小时）打完了这 6000 字，问原文最多有多少汉字?

22. 如图 1，直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，AC 是圆 O 的直径，D 是圆上一点．DE⊥l 于点 E，连接 AD，且 AD 平分 ∠CAE．
（1）求证：DE 是圆 O 的切线．
（2）若 DE=3，AE=3，求圆 O 的半径．
（3）如图 2，在（2）的条件下，点 P 是弧 AB 上一点，连接 PC，PD，PB，问：线段 PC，PD，PB 之间存在什么数量关系?请说明理由．

23. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A−1,0 和 B3,0 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 为第一象限抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，连接 OP，交 BC 于点 D，当 S△CPD:S△BPD=1:2 时，求出点 P 的坐标．
（3）如图 2，点 E 的坐标为 0,−1，点 G 为 x 轴正半轴上一点，∠OGE=15∘，连接 PE，是否存在点 P，使 ∠PEG=2∠OGE?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】∵−3 的绝对值表示 −3 到原点的距离，
∴∣−3∣=3．
2. B【解析】从物体上面看，是横行并排的三个正方形．
3. C【解析】46.7 亿 =4.67×109．
4. A【解析】A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
5. A
【解析】A、 a23=a6，故本选项正确；
B、 a+22=a2+4a+4，故本选项错误；
C、 a6÷a3=a3，故本选项错误；
D、 a+2a=a+2a，故本选项错误．
6. A【解析】∵a∥b，∠1=120∘，
∴∠ACD=120∘．
∵∠2=50∘，
∴∠3=120∘−50∘=70∘．
7. D【解析】920 出现了 2 次，次数最多，故众数为 920；把这组数据按照从小到大的顺序排列为，900 元，920 元，920 元，950 元，960 元，1000 元，故中位数为 920+950÷2=935．
8. A【解析】设这本图书的原价是 x 元，
依题意得：1−0.8x=17.2，
解得 x=86．
即：这本图书的原价是 86 元．
9. C【解析】A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是假命题；
B．有一个角为 90∘ 的平行四边形为矩形，是假命题；
C．3,−2 关于原点的对称点为 −3,2，是真命题；
D．有两边和其夹角相等的两个三角形全等，是假命题．
10. B
【解析】如图，作 BH⊥AC 于 H．
∵∠BCH=45∘，∠BHC=90∘，
∴∠HCB=∠HBC=45∘，
∴HC=HB，
设 HC=BH=x m，
∵∠A=60∘，
∴AH=33x，
∴x+33x=20，
∴x=103−3，
∴AB=2AH=2×33×103−3≈14m．
11. D【解析】由图象可知 a<0，c>0，
∴ac<0，故A错误；
由图象得知抛物线与 x 轴有两个不同的交点，
∴Δ>0，故B错误；
∵y=ax2+bx+c 过点 −1,0，
∴a−b+c=0．
∵y=kx+b 过点 −1,0，
∴b=k．
∴k=a+c，故C错误；
∵ 对称轴为 x=1，
∴−b2a=1．
∴b=−2a．
∴k=−2a．
当 x=4 时，ax2+b−kx+c=16a+c=15a=15×−12k=−152k，
由图象可知，k>0，
∴−152k12. D【解析】延长 CB 到 G，使 BG=DF，连接 AG．如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠D=90∘，
∴∠ABG=90∘=∠D，
∵△ABG 和 △ADF 中，
AB=AD,∠ABG=∠D,BG=DF,
∴△ABG≌△ADFSAS，
∴AG=AF，∠1=∠2，
又 ∵∠EAF=45∘，∠DAB=90∘，
∴∠2+∠3=45∘，
∴∠1+∠3=45∘，
∴∠GAE=∠EAF=45∘．
在 △AEG 和 △AEF 中，
AG=AF,∠GAE=∠EAF,AE=AE,
∴△AEG≌△AEFSAS，
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE，DF=BG，
∴EF=DF+BF，故②正确，
∵BE=EC=3，AB=6，
∴tan∠3=BEAB=12，
∴∠3≠30∘，故①错误，
设 DF=x，则 EF=x+3，
在 Rt△EFC 中，
∵EF2=CF2+EC2，
∴x+32=32+6−x2，
∴x=2，
∴DF=BG=2，
∴tan∠AFE=tan∠G=ABBG=3，故③正确，
∴S△CEF=12⋅CE⋅CF=12×3×4=6，故④正确．
第二部分
13. 3x+3x−3
【解析】3x2−27=3x2+9=3x+3x−3.
14. 14
【解析】∵ 黄扇形区域的圆心角为 90∘，
∴ 黄区域所占的面积比例为 90360=14，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 14．
15. x>2
【解析】根据题意知 2x−4>0，
解得：x>2．
16. 2
【解析】过点 A 作 AD⊥x轴，过点 B 作 BE⊥DA，如图：
易证 △AOD≌△BOE，
∴AD=BE，OD=AE，
∵ 点 A 的坐标为 3,−1，
∴AD=BE=3,OD=AE=1，
∴B3+1,3−1，
∵ 双曲线 y=kxx>0 经过点 B，
∴k=3+1×3−1=2．
第三部分
17. 20−2sin45∘+13−2−∣−2∣=1−2×22+9−2=1−1+9−2=7.
18. 1a+1+a2−2a+1a2−1−1=1a+1+a−12a+1a−1−1=1a+1+a−1a+1−1=aa+1−1=a−a+1a+1=a−a−1a+1=−1a+1.
当 a=4 时，
原式=−14+1=−15.
19. （1） 500
【解析】225÷45%=500．
（2） 18∘
【解析】学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是：360∘×1−45%−30%−20%=18∘．
（3） C中的人数为：500×20%=100，补充完整的条形统计图如图所示；
（4） 365
【解析】500×30%×1+500×20%×2+500×1−45%−30%−20%×3=365（封）．
20. （1） 由作图作法知： ∠DBC=∠CBE ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABD+∠DBC=∠E+∠CBE ，
∴∠ABD=∠E ，
又 ∠A 公共，
∴△ABD∽△AEB ，
∴ABAE=ADAB ，
∴AB2=AD⋅AE ，
∴AC2=AD⋅AE ．
（2） ∵CD=2 ， AD=3 ，
∴AB=AC=5 ，
在 Rt△ABD 中， BD=52−32=4 ，
由（ 1 ）得， AC2=AD⋅AE ，
∴AE=AC2AD=253 ，
∴S△ABE=12AE⋅BD=12×253×4=503 ．
21. （1） 设皮特目前平均每分钟能打 x 个汉字，则他平均每分钟能打 2x 个英语单词，根据题意，得，
36002x+600x=40.
解这个方程，得，
x=60.
经检验， x=60 是原方程的根．
答：皮特目前平均每分钟能打 60 个汉字．
（2） 设原文有 y 个汉字，则译文字数为 6000−y 个，根据题意，得，
y60+6000−y120≤60.
解这个不等式，得，
y≤1200.
答：原文最多有 1200 个汉字．
22. （1） 如图，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分 ∠CAE，
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD 是半径，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图 1，连接 CD，
∵∠AED=90∘，DE=3，AE=3，
∴AD=DE2+AE2=32+32=23，
∵AC 是 ⊙O 直径，
∴∠ADC=90∘，
而 ∠AED=90∘，
又 ∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴ADAE=ACAD，
∴233=AC23，
解得 AC=43．
∴⊙O 的半径 23．
（3） PC=PD+PB，理由如下：
连接 PB，DB，在 CP 上截取 PB=PF，连接 BF，BC，
∵AE=3，DE=3，
∴tan∠DAE=DEAE=33=3，
∴∠DAE=60∘，
由（2）可知 ∠CAD=60∘，
∴∠CAB=60∘，
∴∠CPB=∠CAB=60∘，
∴△PBF 为等边三角形，
∴PB=BF，∠PFB=60∘，
∴∠DPB=∠DPC+∠BPC=60∘+60∘=120∘，∠CFB=120∘，
在 △PBD 和 △FBC 中，
∠CFB=∠DPB,∠PDB=∠FCB,PB=BF,
∴△PBD≌△FBCAAS，
∴CF=DP，
∴PC=PF+CF=PD+PB．
23. （1） 将点 A，B 坐标代入二次函数表达式得：y=ax+1x−3=ax2−2x−3，
即：−3a=3，解得：a=−1，
故：抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3. ⋯⋯①
（2） 如图 1：S△CPD:S△BPD=1:2，即：CD:BD=1:2，
过点 D 分别作 x，y 轴的垂线交于点 H，G，
则：CGOC=CDBC=13，故 GC=1，
同理可得：DH=2，故点 D1,2，
则直线 OD 的表达式为：y=2x. ⋯⋯②
联立 ①② 并解得：x=±3（舍去负值），
故点 P3,23．
（3） 存在，理由：
∠PEG=2∠OGE=30∘，如图 2，过点 E 作 EF∥x轴，
则 ∠FEG=∠OGE=15∘，
∴∠PEF=45∘，
则直线 EP 的表达式为：y=x−1. ⋯⋯③
联立 ①③ 并解得：x=1+172（负值已舍去），
故点 P1+172,−1+172．