2019年天津市红桥区中考三模数学试卷

这是一份2019年天津市红桥区中考三模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −6−−3 的结果等于
A. −9B. 9C. −3D. 3

2. cs60∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 据 2019 年 5 月 12 日《天津日报》报道，我市已建设服务，各级各类教育教学的信息化应用服务与资源服务体系，其中，基础教育公共资源服务平台已注册 1750000 人，将 1750000 用科学记数法表示应为
A. 0.175×107B. 1.75×106C. 17.5×105D. 175×104

5. 下图是由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 26 的值在
A. 3 和 4 之间B. 4 和 5 之间C. 5 和 6 之间D. 6 和 7 之间

7. 正六边形的边心距为 3，则该正六边形的边长是
A. 3B. 2C. 3D. 23

8. 计算 aa+12+1a+12 的结果为
A. 1B. 1aC. a+1D. 1a+1

9. 若点 A−3,y1，B1,y2，C2,y3 在反比例函数 y=−m2+m+1x（m 为常数）的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y2
10. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME=MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为
A. 3−1B. 5−1C. 5+1D. 3−5

11. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点 P，Q 在边 BC 上（P 在 Q 的左边），且 PQ=2，则 AP+AQ 的最小值为
A. 8B. 213C. 9D. 217

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca>0 的图象经过点 A−1,0，B3,0．有下列结论：
① 2a+b+c<0；
②当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大；
③当 y>0 时，−1④当 m其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 x7÷x3 的结果等于 ．

14. 计算 11+211−2 的结果等于 ．

15. 将直线 y=−x+1 向上平移 3 个单位长度，平移后直线的解析式为 ．

16. 一个不透明的袋子中装有 4 个球，这些球除颜色外无其他差别．把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于 4 的概率是 ．

17. 如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，EC=2，∠AEP=90∘，且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P，则 PC 的长为 ．

18. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 C 均落在格点上．
（Ⅰ）计算 AC2+BC2 的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以 AB 为一边、面积等于 AC2+BC2 的矩形，并简要说明画图方法（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x+3≥4, ⋯⋯①3x−4≤11. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 为了了解八年级学生参加社会实践活动情况，某区教育部门随机调查了本区部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的 m 的值为 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）若该区八年级学生有 3000 人，估计参加社会实践活动时间大于 7 天的学生人数．

21. 在 △ABC 中，∠C=90∘，以边 AB 上一点 O 为圆心，OA 为半径的圆与 BC 相切于点 D，分别交 AB，AC 于点 E，F．
（1）如图①，连接 AD，若 ∠CAD=25∘，求 ∠B 的大小；
（2）如图②，若点 F 为 AD 的中点，⊙O 的半径为 2，求 AB 的长．

22. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 处测得教学楼顶部 D 处的仰角为 18∘，教学楼底部 B 处的俯角为 20∘，教学楼的高 BD=21 m．求实验楼与教学楼之间的距离 AB（结果保留整数）．
参考数据：tan18∘≈0.32，tan20∘≈0.36．

23. 小明和小强为买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有 200 元，以后每月存 50 元；小强原有 150 元，以后每月存 60 元．设两人攒钱的月数为 x（个）（x 为正整数）．
（1）根据题意，填写下表：
攒钱的月数/个36⋯x小明攒钱的总数/元350 ⋯ 小强攒钱的总数/元 510⋯
（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同?此时他们各有多少钱?
（3）若这种火车模型的价格为 780 元，他们谁能够先买到该模型?

24. 在平面直角坐标系中，点 A4,0，B 为第一象限内一点，且 △OAB 为等边三角形，C 为 OB 的中点，连接 AC．
（1）如图①，求点 C 的坐标；
（2）如图②，将 △OAC 沿 x 轴向右平移得到 △DEF，设 OD=m，其中 0（ⅰ）设 △OAB 与 △DEF 重叠部分的面积为 S，用含 m 的式子表示 S；
（ⅱ）连接 BD，BE，当 BD+BE 取最小值时，求点 E 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=−x2+6x+c．
（1）若该抛物线与 x 轴有公共点，求 c 的取值范围；
（2）设该抛物线与直线 y=2x+1 交于 M，N 两点，若 MN=25，求 c 的值；
（3）点 P，点 Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB 都垂直于 x 轴，垂足分别为 A，B，若 △OPA≌△OQB，求 c 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. D
4. B
5. A
6. C【解析】因为 25<26<36，
所以 25<26<36，
所以 5<26<6．
7. B【解析】如图：
因为正六边形的边心距为 3，
所以 OB=3，AB=12OA，
因为 OA2=AB2+OB2，
所以 OA2=12OA2+32，
解得 OA=2，
所以正六边形边长 =OA=2．
8. D【解析】aa+12+1a+12=a+1a+12=1a+1.
9. A【解析】因为 m2+m+1=m+122+34>0，
所以 y=−m2+m+1x 在第二、四象限，分别有 y 随着 x 的增大而增大，
因为x1=−3<0,所以y1>0;因为x3=2>x2=1>0,所以y2所以 y210. B
【解析】因为 M 是 AD 的中点，
所以 DM=1，CD=2，
所以 CM=5，
所以 DE=5−1，
所以 DG=DE=5−1．
11. D【解析】过点 A 作 AE⊥BC，作 AD∥BC，Pʹ 是点 P 关于 AD 的对称点，
当 Pʹ，A，Q 共线时，AP+AQ=APʹ+AQ=PʹQ 最短，
因为 AB=AC=5，BC=6，
所以 BE=3，
所以 AE=4，
所以 PPʹ=8，
又因为 PQ=2，
所以 PʹQ=82+22=217，
则 AP+AQ 的最小值为 217．
12. C【解析】因为二次函数的图象经过 A−1,0，B3,0，
所以对称轴为：x=1，即 −b2a=1，b=−2a，
又因为 a−b+c=0，则有 c=−3a，
因为 a>0，
所以 2a+b+c=−3a<0，故①正确；
因为二次函数的对称轴为 x=1，且开口向上，
所以当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大，故②正确；
因为二次函数的图象经过 A−1,0，B3,0，且开口向上，
所以当 y>0 时，x<−1 或 x>3，故③错误；
由题意可得，二次函数的顶点坐标为 1,−4a，
所以当 m所以 m<1第二部分
13. x4
14. 9
15. y=−x+4
16. 316
17. 2
【解析】在 AB 上取 BN=BE，连接 EN，作 PM⊥BC 于点 M，
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB=BC，∠B=∠DCB=∠DCM=90∘，
因为 BE=BN，∠B=90∘，
所以 ∠BNE=45∘，∠ANE=135∘，
因为 PC 平分 ∠DCM，
所以 ∠PCM=12×90∘=45∘，
所以 ∠ECP=135∘，
因为 AB=BC，BN=BE，
所以 AN=EC，
因为 ∠AEP=90∘，
所以 ∠AEB+∠PEC=90∘，
因为 ∠AEB+∠NAE=90∘，
所以 ∠NAE=∠PEC，
所以 △ANE≌△ECPASA，
所以 NE=CP，
因为 BC=3，EC=2，
所以 NB=BE=1，
所以 NE=12+12=2，
所以 PC=2．
18. 13，如图，取格点 D，E，连接 AD，BE；取格点 F，G，连接 FG，交 AD 于点 H，交 BE 于点 I，则四边形 AHIB 即为所求
【解析】（Ⅰ）由图可知 AC=5，BC=22，
所以 AC2+BC2=13．
（Ⅱ）首先作垂直于 AB 的两条边，取格点 D，E，连接 AD，BE，因为 AB=17，则矩形的另一边长为 131717，构造与 △BPE 相似的 △EIG，且其中 BI=131717，由对应边成比例可求出 EG=1，所以可找到格点 G，并过 G 作平行于 AB 的线段 FG 即可，再用同样的方法找到格点 F，连接 FG，交 AD 于点 H，交 BE 于点 I，则四边形 AHIB 即为所求．
第三部分
19. （Ⅰ）x≥1
（Ⅱ）x≤5
（Ⅲ）
（Ⅳ）1≤x≤5
20. （1） 80；20
【解析】20÷25%=80，m%1680×100%=20%，则 m=20．
（2） 因为在这组样本数据中，5 出现了 28 次，出现的次数最多，
所以这组样本数据的众数为 5．
因为将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6，有 6+62=6，
所以这组样本数据的中位数为 6．
观察条形统计图，x=5×28+6×16+7×20+8×8+9×880=6.4．
所以这组数据的平均数是 6.4．
（3） 因为在 80 名学生中，参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数比例为 20%，
所以由样本数据，估计该区 3000 名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数比例约为 20%，于是，有 3000×20%=600（人）．
所以该区 3000 名八年级学生中参加社会实践活动的时间大于 7 天的人数约为 600 人．
21. （1） 如图①，连接 OD，
因为 BC 切 ⊙O 于点 D，
所以 ∠ODB=90∘，
因为 ∠C=90∘，
所以 AC∥OD，
所以 ∠CAD=∠ADO，
因为 OA=OD，
所以 ∠DAO=∠ADO=∠CAD=25∘，
所以 ∠DOB=∠CAO=∠CAD+∠DAO=50∘，
因为 ∠ODB=90∘，
所以 ∠B=90∘−∠DOB=90∘−50∘=40∘．
（2） 如图②，连接 OF，OD，
由（Ⅰ）知 AC∥OD，
所以 ∠OFA=∠FOD，
因为点 F 为弧 AD 的中点，AF=FD，
所以 ∠AOF=∠FOD，
所以 ∠OFA=∠AOF，
所以 AF=OA，
因为 OA=OF，
所以 △AOF 为等边三角形，
所以 ∠FAO=60∘，则 ∠DOB=60∘，
所以 ∠B=30∘，
因为在 Rt△ODB 中，OD=2，
所以 OB=ODsin30∘=4，
所以 AB=AO+OB=2+4=6．
22. 过点 C 作 CM⊥BD 于点 M，则 CM∥AB，
又因为 AC∥BD，
所以四边形 ABMC 是平行四边形，AB=CM，
在 Rt△CDM 中，
因为 tan∠DCM=DMCM，
所以 DM=CMtan∠DCM=CMtan18∘；
在 Rt△BCM 中，
因为 tan∠BCM=BMCM，
所以 BM=CMtan∠BCM=CMtan20∘，
因为 DM+BM=BD，
所以 CMtan18∘+CMtan20∘=21m，
解得：CM=21tan18∘+tan20∘≈31m，
则 AB=CM=31 m．
答：AB 的长约为 31 m．
23. （1） 500；200+50x；330；150+60x
【解析】6 个月时，小明攒钱的总数为 500 元；
x 个月时，小明攒钱的总数为：200+50x；
3 个月时，小强攒钱的总数为：150+60×3=330（元）；
x 个月时，小强攒钱的总数为：150+60x．
（2） 根据题意，得
200+50x=150+60x,
解得：
x=5.
所以 150+60x=450．
答：在 5 个月后小明和小强攒钱的总数相同，此时每人有 450 元钱．
（3） 由 200+50x≥780，解得：x≥11.6，
所以小明在 12 个月后攒钱的总数不低于 780 元．
由 150+60x≥780，解得：x≥10.5，
所以小强在 11 个月后攒钱的总数不低于 780 元．
因为 12>11，
所以小强能够先买到该模型．
24. （1） 如图，过 C 作 CH⊥OA，垂足为 H，
∠CHO=90∘，
因为 OA=4，△OAB 为等边三角形，
所以 ∠BOA=60∘，OB=4，
因为 C 为 OB 的中点，
所以 OC=12OB=2，AC⊥OB，∠OCA=90∘，
所以 OH=1，CH=3，
所以点 C 的坐标为 1,3．
（2） （ⅰ）因为 △DEF 是 △OCA 平移得到的，
所以 AF=OD=m，
当 0因为 ∠BAF=120∘，∠DFE=30∘，
所以 ∠AGF=30∘，
所以 AI=12m，GF=2FI=3m，
所以 S=S△DEF−S△AGF=23−34m2，
当 2因为 ∠KDA=∠KAD=60∘，
所以 △KAD 为等边三角形，
因为 DA=4−m，
所以 S=S△KAD=344−m2，
综上所述，S=348−m2,0（ⅱ）E73,3．
【解析】（ⅱ）过点 B 作 BG 平行于 x 轴，作 D 点关于 BG 的对称点 Dʹ，连接 DʹB，
当 Dʹ，B，E 三点共线时，线段和最小，Dm,0，B2,23，Dʹm,43，Em+1,3，
设三点共线的直线方程为 y=kx+b，
代入得 2k+b=23,mk+b=43,m+1k+b=3, 解得 k=−33,b=83,m=43,
所以 E73,3．
25. （1） 因为抛物线 y=−x2+6x+c 与 x 轴有交点，
所以一元二次方程 −x2+6x+c=0 有实根，
所以 Δ=b2−4ac≥0，即 62−4×−1×c≥0，解得 c≥−9．
（2） 根据题意，设 Mx1,2x1+1，Nx2,2x2+1，
由 y=−x2+6x+c,y=2x+1 消去 y，得 x2−4x+1−c=0. ⋯⋯①
由 Δ=−42−41−c=12+4c>0，得 c>−3，
所以方程 ① 的解为 x1=2−3+c，x2=2+3+c，
所以 MN2=x1−x22+2x1+1−2x2+12=5x1−x22=203+c，
所以 203+c=20，解得 c=−2．
（3） 因为 PA⊥x 轴，QB⊥x 轴，
所以 ∠PAO=∠QBO=90∘，
所以若满足 △OPA≌△OQB，
由全等条件 SAS 得：AP=BQ，OA=OB 或 AP=OB，OA=BQ，
当 AP=BQ，OA=OB 时，两点完全重合，与题意不符，
所以 AP=OB，OA=BQ，即 P 点横坐标与 Q 点纵坐标相同，P 点纵坐标与 Q 点横坐标相同，
设点 P 的坐标为 m,n，则点 Q 的坐标为 n,m，且 m>0，n>0，m≠n，
所以 −m2+6m+c=n,−n2+6n+c=m,
两式相减，得 n2−m2+7m−n=0，即 n−mm+n−7=0，
所以 m+n=7，即 n=7−m，
所以 m2−7m+7−c=0，其中 0由 Δ≥0，即 72−4×−1×c−7≥0，得 c≥−214，
当 c=−214 时，m=n=72，不合题意，
又 7−c>0，得 c<7，
所以 c 的取值范围是 −214