2019年天津市津南区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市津南区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −5+−7 的值是
A. −12B. −2C. 2D. 12

2. sin60∘ 的值是
A. 12B. 33C. 32D. 3

3. 下列图形中，可以看作中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 天津市委市政府决定在滨海新区和中心城区中间地带实施规划管控建设绿色生态屏障．全市绿色生态屏障规划面积约 736000000 平方米，将 736000000 用科学记数法可表示为
A. 0.736×109B. 7.36×108C. 73.6×108D. 736×106

5. 如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 38 的值在
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间

7. 计算 aa2−b2−1a−b 的结果为
A. bB. −bC. ba−bD. −ba2−b2

8. 方程组 x+2y=3,3x−2y=5 的解是
A. x=1,y=1B. x=1,y=−1C. x=2,y=12D. x=2,y=32

9. 已知反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象经过点 3,−4，则当 −3A. −6
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC=2，将 △ABC 绕点 C 逆时针转 60∘，得到 △MNC，则 BM 的长是
A. 1B. 3C. 2D. 1+3

11. 如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，则 EP+PF 的最小值是
A. 12B. 1C. 3D. 2

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于点 A−1,0，与 y 轴的交点 B 在 0,−2 与 0,−3 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2．
下列结论：①abc>0；②9a+3b+c<0；③ 若点 M12,y1，点 N52,y2 是函数图象上的两点，则 y1A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算：28x4y2÷7x3y= ．

14. 计算 5−22 的结果等于 ．

15. 现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字 1，2，3，4，5，6．同时投掷这两枚骰子，两枚骰子点数的和为 9 的概率是 ．

16. 一次函数 y=kx−1k≠0 的图象经过第二、三、四象限，则 k 的值可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，Rt△ABC，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，将边 BC 沿 CE 翻折，使点 B 落在 AB 上的点 D 处；再将边 AC 沿 CF 翻折，使点 A 落在 CD 的延长线上的点 Aʹ 处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E，F，则线段 AʹF 的长为 ．

18. 如图，在每个边长都为 1 的小正方形组成的网格中，A 为格点，B，P 为小正方形的中点．
（Ⅰ）线段 AB 的长为 ；
（Ⅱ）在线段 AB 上存在一个点 Q，使得点 Q 满足 ∠PQB=45∘，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺作出 ∠PQB，并简要说明你是怎么找到点 Q 的 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 4x≥3x−2, ⋯⋯①2x−1≥3x−1, ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ．
（2）解不等式 ②，得 ．
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 交警大队为了考察在一个路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机抽取了 40 辆车的车速（单位：km/h），得到如下的统计图 ① 和图 ②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图中 m 的值为 ；
（2）求这 40 个样本数据的平均数、众数和中位数．

21. 已知 △ABC 内接于 ⊙O，AB=AC，∠ABC=75∘，D 是 ⊙O 上的点．
（1）如图 ①，求 ∠ADC 和 ∠BDC 的大小；
（2）如图 ②，OD⊥AC，垂足为 E，求 ∠ODC 的大小．

22. 某地区对 A，B 两地间的公路进行改建．如图，A，B 两地之间有一座山．汽车原来从 A 地到 B 地需途经 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已知 BC=89 km，∠A=58∘，∠B=37∘．求开通隧道后的路程 AB 大约是多少 km?（结果精确到 1 km）
参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin58∘≈0.85，cs58∘≈0.53，tan58∘≈1.60．

23. 已知 A 城有化肥 200 t，B 城有化肥 300 t，现要把这些化肥全部运往 C，D 两乡，从 A 城往 C，D 两乡运化肥的费用分别为 20 元/t 和 25 元/t；从 B 城往 C，D 两乡运化肥的费用分别为 15 元/t 和 30 元/t．现 C 乡需要化肥 240 t，D 乡需要化肥 260 t，设从 A 城运往 C 乡的化肥为 x t．
（1）用含 x 的式子填写下表：
C乡所需D乡所需合计t化肥t化肥tA城运出的化肥tx200B城运出的化肥t300总计t240260500
（2）设 A，B 两城的总运费为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）怎样调运可使总运费最少?请说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，点 A4,0，B 为第一象限内一点，且 OB⊥AB，OB=2．
（1）如图 ①，求点 B 的坐标；
（2）如图 ②，将 △OAB 沿 x 轴向右平移得到 △OʹAʹBʹ，设 OOʹ=m，其中 0（i）试用含 m 的式子表示 △ABʹC 的面积 S，并求出 S 的最大值；
（ii）当 △ABʹC 为等腰三角形时，求点 C 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 抛物线 C1:y1=x2+2x+c 的顶点为 P，交 y 轴于点 C，对称轴交 x 轴于点 D，点 D 与点 P 不重合，平移 C1 使其经过点 C，点 D，得抛物线 C2，顶点为 M，对称轴交 x 轴于点 Dʹ．
（1）当 c=−5 时，求点 P 和点 C 的坐标；
（2）当 PM 与 x 轴的夹角为 45∘ 时，求抛物线 C2 的解析式；
（3）设点 C 关于 Dʹ 的对称点为 Q，当 D 与 Q 不重合时，求 D，Q 两点所在直线的解析式．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. A
4. B
5. C
6. C【解析】∵36<38<49，
∴6<38<7，
∴38 的值在整数 6 和 7 之间．
7. D【解析】aa2−b2−1a−b=aa−ba+b−a+ba−ba+b=a−a−ba−ba+b=−ba2−b2.
8. C【解析】x+2y=3, ⋯⋯①3x−2y=5, ⋯⋯②
由 ①+② 得 4x=8，解得 x=2，
把 x=2 代入 ① 得 2+2y=3，解得：y=12，
所以方程组的解为：x=2,y=12.
9. D【解析】∵ 反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象经过点 3,−4，
∴−4=k3，
∴k=−12，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−12x，
∴ 当 x=−3 时，y=4，当 x=−2 时，y=6，
∴ 当 −310. D
【解析】连接 AM，
设 BM 与 AC 交于点 D，
∵AB=BC=2，∠ABC=90∘，
∴AC=22+22=2，∠BAC=45∘，
∵△ABC 绕点 C 逆时针转 60∘，得到 △MNC，
∴CM=AC=2，∠ACM=60∘，
∴△ACM 是等边三角形，
∴AM=CM，
又 ∵AB=BC，BM=BM，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠ABD=∠CBD=45∘，∠AMD=∠CMD=30∘，
∴∠ADB=180∘−45∘−45∘=90∘，∠ADM=180∘−30∘−60∘=90∘，
∴BD=ABsin45∘=1，DM=AMcs30∘=3，
∴BM=BD+DM=1+3．
11. B【解析】作点 E 关于 AC 的对称点 Eʹ，连接 EʹF 交 AC 于点 P，
由对称性得 PE=PEʹ，
∴EP+PF=EʹF 有最小值，
∵ 菱形 ABCD 关于 AC 对称，E 为 AB 的中点，
∴Eʹ 是 AD 的中点，
∵F 是 BC 的中点，AD=BC，
∴AEʹ=BF，
∵AD∥BC，
∴ 四边形 ABFEʹ 是平行四边形，
∴EʹF=AB=1．
12. B【解析】∵ 对称轴为直线 x=2，抛物线与 x 轴的一个交点为 A−1,0，且与 y 轴交点在 0,−2 与 0,−3 之间，
∴ 抛物线的开口向上，与 x 轴的另一个交点为 5,0，且 −3 ∴a>0，
∵−b2a=2>0，
∴b<0，b=−4a，
∴abc>0，故 ① 正确；
∵ 抛物线与 x 轴的交点为 −1,0 和 5,0，
∴ 当 x=3 时，9a+3b+c<0，故 ② 正确，
∵ 对称轴为直线 x=2，
∴M12,y1 关于对称轴的对称点的坐标为 72,y1，
∵72>52，当 x>2 时 y 随 x 的增大而增大，
∴y1>y2，故 ③ 错误，
∵ 抛物线与 x 轴的交点为 −1,0 和 5,0，
∴ca=−5，即 a=−c5，
∴a+b+c=a−4a+c=85c，
∵−3 ∴−245综上所述：正确的结论有 ①②④，共 3 个．
第二部分
13. 4xy
14. 7−210
15. 19
16. −1（答案不唯一，k<0 即可）
17. 45
【解析】∵AC=4，BC=3，∠ACB=90∘，
∴AB=32+42=5，
∵ 将边 BC 沿 CE 翻折，使点 B 落在 AB 上的点 D 处，
∴CE⊥BD，∠DCE=12∠DCB，
∵ 将边 AC 沿 CF 翻折，使点 A 落在 CD 的延长线上的点 Aʹ 处，
∴∠FCD=12∠ACD，
∴∠DCE+∠FCD=12∠DCB+∠ACD=12∠ACB=45∘,
即 ∠ECF=45∘，
∴△FCE 是等腰直角三角形，
∴CE=EF，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，
∴EF=CE=AC⋅BCAB=125，
∴AE=AC2−CE2=42−1252=165，
∴AʹF=AF=AE−EF=165−125=45．
18. 852，如图，取格点 E，F，连接 EF 交网格线于点 C，连接 PC，交线段 AB 于点 Q，则点 Q 即为所求
【解析】（Ⅰ）AB=12+922=852．
（Ⅱ）按照题意可以做一个等腰直角三角形，即取格点 D，连接 PD，PD 为 1×4.5 的网格的对角线，
∴PD⊥AB，
接着作过 D 点垂直于 PD 的线段 DC，且使 DC=PD，只需 DC 为 4.5×1 的网格的对角线即可，
故需找到网格的中点 C，则需取格点 E，F，连接 EF，交网格线于点 C，连接 CD，可知 CD⊥PD，CD=PD，
则 CD∥AB，
因此 △PCD 是等腰直角三角形，连接 PC，交线段 AB 于点 Q，则点 Q 即为所求．
第三部分
19. （1） x≥−2
（2） x≤2
（3）
（4） −2≤x≤2
20. （1） 35
【解析】1440×100%=35%，m=35．
（2） 平均数：x=50×4+51×6+52×12+53×14+54×440=52.2，
∵ 在这组样本数据中，53 出现了 14 次，出现的次数最多，
∴ 这组样本数据的众数为 53，
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 52，52+522=52，
∴ 这组样本数据的中位数为 52．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，
∴∠ADC=180∘−∠ABC=105∘，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=75∘，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=30∘，
∵BC=BC，
∴∠BDC=∠BAC=30∘．
（2） 如图 ②，连接 BD，
∵OD⊥AC，OD 为半径，
∴AD=CD，∠DEC=90∘．
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=37.5∘，
∵AD=AD，
∴∠ACD=∠ABD=37.5∘，
在 Rt△CED 中，∠ODC=90∘−∠ACD=52.5∘．
22. 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
则 ∠ADC=∠BDC=90∘，
由题意可知 ∠A=58∘，∠B=37∘，
在 Rt△CDB 中，BD=BC⋅cs37∘≈89×0.80=71.2，CD=BC⋅sin37∘，
在 Rt△CDA 中，tanA=CDAD，
∴AD=CDtan58∘≈89×，
∴AB=AD+DB≈89×+71.2≈105．
答：路程 AB 约为 105 km．
23. （1） 200−x；240−x；60+x
（2） y=20x+25200−x+15240−x+3060+x，
即 y=10x+104000≤x≤200．
（3） ∵ 10>0，
∴ y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=0 时，y 有最小值，
∴ 200−x=200，240−x=240，60+x=60，
答：最佳方案为：从 A 往 D 运 200 t，从 B 往 C 运 240 t，从 B 往 D 运 60 t．
24. （1） 如图，过点 B 作 BD⊥OA，垂足为 D，
∵OB⊥AB，OA=4，OB=2，
∴△ABO 为 Rt△，∠OAB=30∘，
∴AB=OAcs30∘=23，
∴BD=12AB=3，OD=OB2−BD2=1，
∴ 点 B 的坐标为 1,3．
（2） （i）∵△OʹAʹBʹ 是 △OAB 平移得到的，
∴∠AʹOʹBʹ=∠AOB=60∘，OʹBʹ⊥AB，△ABʹC 为 Rt△，
∵OOʹ=m，
∴AOʹ=4−m，
∴OʹC=12AOʹ=124−m，AC=32AOʹ=324−m，
∴BʹC=OʹBʹ−OʹC=2−124−m=12m，
∴S=12BʹC⋅AC=38m4−m=−38m−22+32，
当 m=2 时，S 取得最大值为 32．
（ii）点 C 坐标为 11−332,3−32．
【解析】（ii）如图，过点 C 作 CE⊥AOʹ 于 E，
则 ∠OʹCE=30∘，
由（i）AC=324−m，BʹC=12m，△ABʹC 为 Rt△，
∵△ABʹC 是等腰三角形，
∴AC=BʹC，即 324−m=12m，
解得 m=6−23，即 OOʹ=6−23，
∴OʹC=124−m=3−1，
∴CE=32OʹC=3−32，OʹE=12OʹC=3−12，
∴OE=OOʹ+OʹE=6−23+3−12=11−332，
∴ 点 C 坐标为 11−332,3−32．
25. （1） 把 c=−5 代入 y1=x2+2x+c，有 y1=x2+2x−5，
∵y1=x2+2x−5=x+12−6，
∴P−1,−6，
令 x=0，则 y=−5，
∴C0,−5．
（2） 由 y1=x2+2x+c=x+12+c−1，有 D−1,0，C0,c，P−1,c−1，
设抛物线 C2 为：y2=ax2+bx+cʹ，
∵ 抛物线 C2 是由抛物线 C1 平移得到的，
∴a=1，
又 ∵C2 经过点 C0,c，
∴cʹ=c，
把点 D−1,0 代入 y2=x2+bx+c，得 b=c+1，
∴y2=x2+c+1x+c=x+c+122−c−124，
∴ 点 M−c+12,−c−124，
当点 M 在点 P 的左边时：
∵PM 与 x 轴的夹角为 45∘，
∴c−1+c−124=−1+c+12，
解得 c=1 或 c=−1；
当点 M 在点 P 的右边时：
c−1+c−124=1−c+12，
解得 c=1 或 c=−5，
当 c=1 时，有 P−1,0 与点 D 重合，C2 与 C1 重合，不合题意，
∴ 当 c=−1 时，抛物线 C2 的解析式为 y1=x2−1，
∴ 当 c=−5 时，抛物线 C2 的解析式为 y1=x2−4x−5．
（3） 由（Ⅱ）知：y2=x2+c+1x+c，对称轴是 x=−c+12，
∴ 点 Dʹ−c+12,0，
∵ 点 C0,c 与点 Q 关于 Dʹ−c+12,0 对称，
∴Q−c−1,−c，
∵D−1,0 与 Q 不重合，
∴c≠0，
设经过点 D，Q 的直线为 yʹ=kx+d，
把点 Q−c−1,−c，D−1,0 代入 yʹ=kx+d，得 c1−k=0，
∵c≠0，
∴k=1，
∴d=1，
∴D，Q 两点所在直线的解析式为：yʹ=x+1．