2019年天津市红桥区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市红桥区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 4+(−3) 的结果等于 ( )
A. −7B. 7C. −1D. 1

2. sin30∘ 的值等于
A. 1B. 32C. 22D. 12

3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 天津西站在 2019 年春运的首日运输旅客达 42000 人次，将 42000 用科学记数法表示应为 ( )
A. 42×103B. 4.2×104C. 4.2×103D. 0.42×105

5. 如图是由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 41 的值在
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间

7. 方程组 x+y=6,3x−y=2 的解为 ( )
A. x=4,y=2B. x=2,y=4C. x=1,y=5D. x=3,y=3

8. 计算 2x+13x−1−2−x3x−1 的结果为 ( )
A. 1B. −1C. 33x−1D. x+33x−1

9. 若点 A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3) 在反比例函数 y=6x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( )
A. y1
10. 如图，将 △ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC=5 cm，△ADC 的周长为 17 cm，则 BC 的长为 ( )
A. 7 cmB. 10 cmC. 12 cmD. 22 cm

11. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，P 为 AB 上的一个动点，若 AB=2．则 PE+PC 的最小值为 ( )
A. 1+22B. 23C. 2+5D. 13

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(−1,0)，点 B(3,0)，点 C(4,y1)，点 D(x2,y2) 是抛物线上任意一点，有下列结论：① 二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为 −4a；② 若 −1≤x2≤4，则 −4a≤y2≤5a；③ 若 x2>4，则 y2>y1；④ 一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为 1 和 −13．其中正确结论的个数是 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 x7÷x3 的结果等于 ．

14. 计算 (7+2)(7−2) 的结果等于 ．

15. 一个不透明的袋子中装有 8 个球，其中 3 个红球，5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现在从袋子中随机提出一个球，则它是黑球的概率是 ．

16. 若一条直线经过点 (0,2)，则这条直线的解析式可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=4，将 △ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △DEC．若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF= ．

18. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 C 均落在格点上，P 为 BC 与网格线的交点，连接 AP．
（I）BC 的长等于 ；
（II）Q 为边 BC 上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 AQ，使 ∠PAQ＝45∘，并简要说明点 Q 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 3x+1≥x−1, ⋯⋯①x−1≤2. ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某足球队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据足球运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次接受调查的足球队员人数为 ，图①中 m 的值为 ；
（2）求统计的这组足球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．

21. 已知 AB 为 ⊙O 的直径，EF 切 ⊙O 于点 D，过点 B 作 BH⊥EF 于点 H，交 ⊙O 于点 C，连接 BD．
（1）如图 ①，若 ∠BDH=65∘，求 ∠ABH 的大小；
（2）如图 ②，若 C 为弧 BD 的中点，求 ∠ABH 的大小．

22. 如图，两根竹竿 AB 和 AC 斜靠在墙 BD 上，量得 ∠ABD=37∘，∠ACD=45∘，BC=50 cm，求竹竿 AB 和 AC 的长（结果精确到 0.1 cm）．
参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，2≈1.41．

23. 某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为 2 元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过 20 时，每本价格为 2.4 元；一次购买数量超过 20 时，超过部分每本价格为 1.8 元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为 x（x 为非负整数）．
（1）根据题意，填写下表：
一次购买(本)10203040⋯甲文具店付款金额(元)20 60 ⋯乙文具店付款金额(元)24 66 ⋯
（2）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为 y1 元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为 y2 元，分别写出 y1，y2 关于 x 的函数关系式；
（3）当 x≥50 时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少?请说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A(4,0)，点 B(0,3)，把 △ABO 绕点 A 顺时针旋转，得 △ABʹOʹ，点 B，O 旋转后的对应点为 Bʹ，Oʹ．记旋转角为 α．
（1）如图 1，若 α=90∘，求 BBʹ 的长；
（2）如图 2，若 α=120∘，求点 Oʹ 的坐标；
（3）记 K 为 AB 的中点，S 为 △KOʹBʹ 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．

25. 如图，抛物线 y=12x2+bx+c 与 y 轴交于点 C(0,−4)，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为 (2,0)．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于 E，连接 CP，求 △PCE 面积的最大值．
（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且 △OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】4+(−3)=4−3=1．
2. D【解析】sin30∘=12．
3. A【解析】A．是中心对称图形，故本选项正确；
B．不是中心对称图形，故本选项错误；
C．不是中心对称图形，故本选项错误；
D．不是中心对称图形，故本选项错误．
4. B【解析】42000=4.2×104．
5. B
【解析】从正面看所得到的图形为B．
6. C【解析】∵36<41<49，
∴6<41<7，
∴41 的值在 6 和 7 之间．
7. B【解析】x+y=6, ⋯⋯①3x−y=2. ⋯⋯②
①+② 得：4x=8，
解得 x=2，
将 x=2 代入 ① 可解得：y=4，
∴ 原方程组的解为：x=2,y=4.
8. A【解析】原式=2x+1−2+x3x−1=3x−13x−1=1．
9. D【解析】∵k=−6，
∴ 双曲线在二、四象限，且每个象限内，y 随 x 的增大而增大．
∵ 点 A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3) 在反比例函数 y=6x 的图象上，
∴A(−1,y1) 分布在第二象限，B(1,y2)，C(3,y3) 在第四象限．
∴y210. C
【解析】根据折叠可得：AD=BD，
∵△ADC 的周长为 17 cm，AC=5 cm，
∴AD+DC=17−5=12(cm)．
∵AD=BD，
∴BD+CD=12 cm．
11. D【解析】作点 C 关于 AB 的对称点 Q，连接 EQ 交 AB 于 P，
则此时，PE+PC 的值最小，PE+PC 的最小值 =EQ，
过 E 作 EF⊥BC 于 F，则四边形 ABFE 是矩形，
∴EF=AB=2，BF=AE=12AD=1，
∴QF=3，
∴EQ=EF2+FQ2=22+32=13．
12. C【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A(−1,0)，点 B(3,0)，
∴y=a(x+1)(x−3)，
①∵ 对称轴是 x=1，
∴ 当 x=1 时函数有最小值 −4a；
故 ① 正确；
② 当 −1≤x2≤4 时，结合图象，有最小值 −4a，
当 x=4 时有最大值 5a，
∴−4a≤y2≤5a，
故 ② 正确；
③ 当 x2>4 时，y 随 x 的增大而增大，
∴y2>y1，故 ③ 正确；
④ 由函数 y=ax2−2ax−3a=a(x+1)(x−3)，
∴b=−2a，c=−3a，
∴cx2+bx+a=0 化为 −3ax2−2ax+a=0，
∴a(3x2+2x−1)=0，
∴x=−1 或 x=13，故 ④ 不正确．
第二部分
13. x4
【解析】x7÷x3=x4．
14. 3
【解析】原式=7−4=3．
15. 58
【解析】∵ 袋子中共有 8 个球，有 5 个黑球，
∴ 从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为 58．
16. y=x+2（答案不唯一）
【解析】∵ 直线经过点 (0,2)，
∴ 设 y=kx+2，只要 k≠0 即可．
17. 5
【解析】作 FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90∘，
∵ 点 F 是 DE 的中点，
∴FG∥CD．
∴GF=12CD=12AC=3，
EG=12EC=12BC=2．
∵AC=6，EC=BC=4，
∴AE=2．
∴AG=4．
根据勾股定理，AF=5．
18. 213，
点 Q 的位置：AO 与 BC 的交点
找到的方法：
根据题目的要求，每个小正方形的边长为 1，可以构建出 2 个直角三角形 AEP 和直角三角形 PFH，连接 FC，
通过求出三角形的各边长，从而证明出 △AEP∽△PFH，
从而知道：∠EAP+∠EPA=∠EPA+∠FPH=90∘，
∴∠APH=90∘，
∴PH 与 FC 交于点 O，然后连接 AO，AO 与 BC 的交点是点 Q
【解析】（I）在网格中，每个小正方形的边长为 1，可以构建出直角三角形 BDC，
∵DB=4，DC=6，∠BDC=90∘，
∴BC=42+62=52=213．
（II）点 Q 的位置：AO 与 BC 的交点．
找到的方法：
根据题目的要求，每个小正方形的边长为 1，可以构建出 2 个直角三角形 AEP 和直角三角形 PFH，连接 FC，
通过求出三角形的各边长，从而证明出 △AEP∽△PFH，
从而知道：∠EAP+∠EPA=∠EPA+∠FPH=90∘，
∴∠APH=90∘，
∴PH 与 FC 交于点 O，然后连接 AO，AO 与 BC 的交点是点 Q．
第三部分
19. （1） x≥−1
（2） x≤3
（3）
（4） −1≤x≤3
20. （1） 50；24
【解析】本次接受调查的足球队员人数为：9÷18%=50（人），
m%=100%−18%−10%−20%−28%=24%，
则 m=24．
（2） 这组足球运动员年龄数据的平均数年龄是：(13×9+14×12+15×14+16×10+17×5)÷40=14.8（岁），
15 岁出现了 14 次，次数最多，
∴ 众数为 15 岁；
按大小顺序排列，中间两个数都为 15 岁，则中位数为 15 岁．
21. （1） 如图 1，连接 OD．
∵O 为圆心，EF 切 ⊙O 于点 D，
∴OD⊥EF．
又 BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠DBH=∠OBD，
∵∠DBH=90∘−∠BDH=90∘−65∘=25∘，
∴∠ABH=2∠DBH=50∘；
（2） 连接 OD，OC，CD，如图 2，
则 ∠DBH=12∠COD，
∵O 为圆心，EF 切 ⊙O 于点 D，
∴OD⊥EF，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=90∘−12∠COD，
∴∠ODC=90∘−∠DBH，
∵∠ODC=90∘−∠HDC，
∴∠HDC=∠DBH，
∵C 为 BD 的中点，
∴∠DBH=∠BDC，
∴∠DBH=∠BDC=∠HDC，
∵∠DBH+∠BDC+∠HDC=90∘，
∴∠DBH=30∘，
由（1）知，∠ABH=2∠DBH=60∘．
22. 由题意可得：AD=DC=x，故 tan37∘=ADBD=xx+50=0.75，
解得：x=150，故 AD=CD=150，则 AC=1502≈212.1cm，
则 BD=200 cm，故 sin37∘=ADAB=150BA=0.60，解得：AB=250.0．
答：竹竿 AB 的长为 250.0 cm，AC 的长为 212.1 cm．
23. （1） 40；80；48；84；
【解析】由题意可得，当购买 20 本时，甲文具店需要付款：2×20=40（元），
乙文具店需要付款：2.4×20=48（元），
当购买 40 本时，甲文具店需要付款：2×40=80（元），
乙文具店需要付款：2.4×20+1.8×(40−20)=84（元）．
（2） 由题意可得，y1=2x；
y1=2.4x,0≤x≤202.4×20+1.8(x−20),x>20．
（3） 令 2x=2.4×20+1.8(x−20)，
解得，x=60，
∴ 当 50≤x<60 时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少，
当 x=60 时，两家文具店花费一样多，
当 x>60 时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．
24. （1） 如图 1，
∵ 点 A(4,0)，点 B(0,3)，
∴OA=4，OB=3．
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得 AB=5．
根据题意 △ABO 绕点 A 顺时针旋转，得 △ABʹOʹ，
由旋转的性质可得：∠BABʹ=90∘，AʹB=AB=5，
∴BBʹ=52．
（2） 如图 2，过 Oʹ 作 OʹD⊥x 轴于 D，则 ∠OʹDA=90∘．
由旋转的性质可得：∠OʹAO=120∘，OʹA=OA=4，
在 Rt△OʹAD 中，由 ∠OʹAD=60∘，∠AOʹD=30∘．
∴AD=12OʹA=2．
由勾股定理 OʹD=42−22=23，
∴OD=OA+OD=4+2=6．
∴ 点 Oʹ 的坐标为 (6,23)．
（3） 94≤S≤394
【解析】如图 3 所示，
当点 Oʹ 在 AB 上时，△KBʹOʹ 的面积最小，
最小面积 S=12×KOʹ×OʹBʹ=12×3×(4−2.5)=94，
当点 Oʹ 在 BA 的延长线上时，△KBʹOʹ 的面积最大，
最大面积 S=12×KOʹ×BOʹ=12×(4+2.5)×3=394，
综上所述，94≤S≤394．
25. （1） 把点 C(0,−4)，B(2,0) 分别代入 y=12x2+bx+c 中，
得 c=−4,12×22+2b+c=0,
解得 b=1,c=−4,
∴ 该抛物线的解析式为 y=12x2+x−4．
（2） 令 y=0，即 12x2+x−4=0，解得 x1=−4，x2=2，
∴A(−4,0)，S△ABC=12AB⋅OC=12．
设 P 点坐标为 (x,0)，则 PB=2−x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△BAC，
∴S△PBES△ABC=PBAB2，即 S△PBE12=2−x62，
化简得：S△PBE=13(2−x)2．
S△PCE=S△PCB−S△PBE=12PB⋅OC−S△PBE=12×(2−x)×4−13(2−x)2=−13x2−23x+83=−13(x+1)2+3.
∴ 当 x=−1 时，S△PCE 的最大值为 3．
（3） △OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当 DM=DO 时，如答图 ① 所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45∘，
∴∠ADM=90∘，
∴M 点的坐标为 (−2,−2)；
（II）当 MD=MO 时，如答图 ② 所示．
过点 M 作 MN⊥OD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又 △AMN 为等腰直角三角形，
∴MN=AN=3，
∴M 点的坐标为 (−1,−3)；
（III）当 OD=OM 时，
∵△OAC 为等腰直角三角形，
∴ 点 O 到 AC 的距离为 22×4=22，
即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 22．
∵22>2，
∴OD=OM 的情况不存在．
综上所述，点 M 的坐标为 (−2,−2) 或 (−1,−3)．