2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷

这是一份2019年北京市朝阳区中考数学二模试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最小的是
A. aB. bC. cD. d

2. 京津冀一体化是由京津唐工业基地的概念发展而来，涉及到的人口总数约为 90000000 人．将 90000000 用科学记数法表示应为
A. 0.9×108B. 9×107C. 90×106D. 9×106

3. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是
A. 棱柱B. 圆锥C. 球D. 圆柱

4. 如图，直线 l1∥l2，若 ∠1=70∘，∠2=60∘，则 ∠3 的度数为
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 70∘

5. 一个试验室在 0:00∼4:00 的温度 T（单位：∘C）与时间 t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，在 0:00∼2:00 保持恒温，在 2:00∼4:00 匀速升温，则开始升温后试验室每小时升高的温度为
A. 5∘CB. 10∘CC. 20∘CD. 40∘C

6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何?意思是：一根竹子，原高一丈（一丈 =10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，问折断处离地面的高度是多少?设折断后离地面的高度为 x 尺，则可列方程为
A. x2−3=10−x2B. x2−32=10−x2
C. x2+3=10−x2D. x2+32=10−x2

7. 小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：
调查问卷 年 月你平时最喜欢的一项课余活动是 单选A B C D其他
他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是
A. ①②③B. ①④⑤C. ②③④D. ②④⑤

8. 如图，广场中心的菱形花坛 ABCD 的周长是 40 米，∠A=60∘，则 A，C 两点之间的距离为
A. 5 米B. 53 米C. 10 米D. 103 米

9. 某班 25 名同学在一周内做家务劳动时间如图所示，则做家务劳动时间的众数和中位数分别是
A. 2 和 1.5B. 1.5 和 1.5C. 2 和 2.5D. 1.75 和 2

10. 如图 1，在 △ABC 中，AB=BC，AC=m，D，E 分别是 AB，BC 边的中点，点 P 为 AC 边上的一个动点，连接 PD，PB，PE．设 AP=x，图 1 中某条线段长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是
A. PDB. PBC. PED. PC

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：3m2−6m+3= ．

12. 某水果公司购进 10000 kg 苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若干进行统计，部分结果如表：
苹果总质量 nkg1002003004005001000损坏苹果质量 苹果损坏的频率 mn结果保留小数点后三位
估计这批苹果损坏的概率为 （结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有 kg．

13. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，∠ACO=45∘，则 ∠B 的度数为 ．

14. 某同学看了下面的统计图说：“这幅图显示，从 2015 年到 2016 年A市常住人口大幅增加．”你认为这位同学的说法是否合理?答： （填“合理”或“不合理”），你的理由是 ．

15. 如图，图中的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式： ．

16. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段 AB．
求作：线段 AB 的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C；
②再分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点 D，使点 D 与点 C 在直线 AB 的同侧；
③作直线 CD．
所以直线 CD 就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：12−1−π−20+3−2+2sin60∘．

18. 已知 x2−2x−1=0，求代数式 x−12+xx−4+x−2x+2 的值．

19. 解不等式组 3x−1≤2x+1,x−32
20. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，AE，DF 分别是 ∠BAD，∠ADC 的平分线，AE，DF 交于点 O．求证：AE⊥DF．

21. “五·一”假期的某天，小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园，已知小明家到公园的路程为 15 km，小东家到公园的路程为 12 km，小明骑车的平均速度比小东快 3.5 km/h，结果两人同时到达公园．求小东从家骑车到公园的平均速度．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=12x+b 与双曲线 y=4x 的一个交点为 Am,2，与 y 轴分别交于点 B．
（1）求 m 和 b 的值；
（2）若点 C 在 y 轴上，且 △ABC 的面积是 2，请直接写出点 C 的坐标．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边的中线，过点 A 作 BC 的平行线，过点 B 作 AD 的平行线，两线交于点 E．
（1）求证：四边形 ADBE 是矩形；
（2）连接 DE，交 AB 于点 O，若 BC=8，AO=52，求 cs∠AED 的值．

24. 阅读下列材料：
2017 年 3 月 29 日，习主席来到了北京市朝阳区将台乡参加首都义务植树活动，他指出爱绿护绿是每个公民的职责，造林绿化是功在当代、利在千秋的事业．首都北京一直致力于创造绿色低碳的良好生态环境，着力加大城区规划建绿．2013 年，城市绿化覆盖率达到 46.8%，森林覆盖率为 40%，园林绿地面积 67048 公顷．2014 年，城市绿化覆盖率比上年提高 0.6 个百分点，森林覆盖率为 41%．2015 年，城市绿化覆盖率达到 48.4%，森林覆盖率为 41.6%，生态环境进一步提升，园林绿地面积达到 81305 公顷．2016 年，城市绿化覆盖率达到 48.1%，森林覆盖率为 42.3%，园林绿地面积比上年增加 408 公顷．
根据以上材料解答下列问题：
（1）2016 年首都北京园林绿地面积为 公顷；
（2）用统计表将 2013−2016 年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率表示出来．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，点 D 在 AB 上，以 BD 为直径的 ⊙O 切 AC 于点 E，连接 DE 并延长，交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：△BDF 是等边三角形；
（2）连接 AF，DC，若 BC=3，写出求四边形 AFCD 面积的思路．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=6x−22 的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数 y=6x−22 的图象与性质进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=6x−22 的自变量 x 的取值范围是 ；
（2）如表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−3−2−101213724567⋯y⋯625382332836683322338m⋯
求 m 的值；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ．

27. 在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=12x2−mx+12m2+m−2 的顶点在 x 轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 Q 是 x 轴上一点，
①若在抛物线上存在点 P，使得 ∠POQ=45∘，求点 P 的坐标；
②抛物线与直线 y=2 交于点 E，F（点 E 在点 F 的左侧），将此抛物线在点 E，F（包含点 E 和点 F）之间的部分沿 x 轴平移 n 个单位后得到的图象记为 G，若在图象 G 上存在点 P，使得 ∠POQ=45∘，求 n 的取值范围．

28. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC（1）如图 1，连接 AE，DE，当 ∠AEB=110∘ 时，求 ∠DAE 的度数；
（2）在图 2 中，点 D 是 AC 延长线上的一个动点，点 E 在 BC 边上（不与点 C 重合），且 BE=AD，连接 AE，DE，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90∘ 得到线段 EF，连接 BF，DE．
①依题意补全图形；
②求证：BF=DE．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 0,m，且 m≠0，点 B 的坐标为 n,0，将线段 AB 绕点 B 旋转 90∘，分别得到线段 BP1，BP2，称点 P1，P2 为点 A 关于点 B 的“伴随点”，图 1 为点 A 关于点 B 的“伴随点”的示意图．
（1）已知点 A0,4，
① 当点 B 的坐标分别为 1,0，−2,0 时，点 A 关于点 B 的“伴随点”的坐标分别为 ；
② 点 x,y 是点 A 关于点 B 的“伴随点”，直接写出 y 与 x 之间的关系式；
（2）如图 2，点 C 的坐标为 −3,0，以 C 为圆心，2 为半径作圆，若在 ⊙C 上存在点 A 关于点 B 的“伴随点”，直接写出点 A 的纵坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】由图可知：c 到原点 O 的距离最短，
∴ 在这四个数中，绝对值最小的数是 c．
2. B【解析】90000000=9×107．
3. D【解析】根据俯视图和左视图为矩形是柱体，根据主视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．
4. B【解析】∵ 直线 l1∥l2，∴∠4=∠1=70∘，
∴∠3=180∘−∠2−∠4=50∘．
5. B
【解析】由函数图象知 t=2 时，温度 T=20∘C；当 t=4 时，温度 T=40∘C，
∴ 开始升温后试验室每小时升高的温度为 40−204−2=10∘C．
6. D【解析】设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为 10−x 尺，
根据勾股定理得 x2+32=10−x2．
7. A【解析】∵ 看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，
∴ ④⑤的选项重复，故选取合理的是①②③．
8. D【解析】如图，连接 AC，BD，AC 与 BD 交于点 O．
∵ 菱形花坛 ABCD 的周长是 40 米，∠BAD=60∘，
∴AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=12∠BAD=30∘，AD=10 米，
∴OA=AD⋅cs30∘=10×32=53（米），
∴AC=2OA=103 米．
9. A【解析】2 小时出现了 8 次，出现的次数最多，则众数为 2；
因为共有 25 个人，按大小顺序排列在中间的这个同学的做家务时间是 1.5 小时，则中位数为 1.5．
10. C
【解析】A．错误，观察图 2 可知 PD 在 x=m4 取得最小值；
B．错误，观察图 2 可知 PB 在 x=m2 取得最小值；
C．正确，观察图 2 可知 PE 在 x=3m4 取得最小值；
D．错误，观察图 2 可知 PC 在 x=m 取得最小值为 0．
第二部分
11. 3m−12
【解析】3m2−6m+3=3m2−2m+1=3m−12.
12. 0.1，1000
【解析】根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在 0.1 左右，所以可估计苹果损坏率大约是 0.1；
根据题意得 10000×0.1=1000kg．
答：损坏的苹果约有 1000 kg．
13. 45∘
【解析】连接 OA，如图．
∵∠ACO=45∘，OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=45∘，
∴∠AOC=90∘，
∴∠B=45∘．
14. 合理，由函数图象可知函数图象上升的比较陡，从而可知从 2015 年到 2016 年A市常住人口大幅增加．
15. x+ax+b=x2+ax+bx+ab（答案不唯一）
16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【解析】如图，
∵ 由作图可知，AC=BC=AD=BD，
∴ 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线．
第三部分
17. 原式=2−1+2−3+3=3.
18. 原式=x2−2x−1+x2−4x+x2−4=3x2−6x−3.
∵x2−2x−1=0，
∴原式=3x2−2x−1=0.
19.
3x−1≤2x+1, ⋯⋯①x−32解不等式 ①，得
x≤3.
解不等式 ②，得
x>−1.∴
原不等式组的解集为
−120. ∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180∘．
∵AE，DF 分别是 ∠BAD，∠ADC 的角平分线，
∴∠EAD=12∠BAD，∠FDA=12∠ADC．
∴∠EAD+∠FDA=90∘．
∴∠AOD=90∘．
∴AE⊥DF．
21. 设小东从家骑车到公园的平均速度为 x km/h，
15x+3.5=12x.
解得，
x=14.
经检验 x=14 是原分式方程的解，
答：小东从家骑车到公园的平均速度 14 km/h．
22. （1） ∵ 点 Am,2 在双曲线 y=4x 上，
∴2=4m，得 m=2，
∵ 点 A2,2 在直线 y=12x+b 上，
∴2=12×2+b，得 b=1，
由上可得，m 的值是 2，b 的值是 1．
（2） 0,3 或 0,−1．
【解析】∵ 直线 y=12x+1 与 y 轴交于点 B，
∴ 当 x=0 时，y=1，即点 B 的坐标为 0,1，
又 ∵ 点 C 在 y 轴上，且 △ABC 的面积是 2，点 A2,2，
∴BC×22=2，得 BC=2，
∴ 点 C 的纵坐标为 1+2=3 或 1−2=−1，
∴ 点 C 的坐标为 0,3 或 0,−1．
23. （1） ∵AE∥BC，BE∥AD，
∴ 四边形 ADBE 是平行四边形．
∵AB=AC，AD 是 BC 边的中线，
∴AD⊥BC，即 ∠ADB=90∘．
∴ 四边形 ADBE 为矩形．
（2） ∵ 在矩形 ADCE 中，AO=52，
∴DE=AB=5．
∵D 是 BC 的中点，
∴AE=DB=4，
∴ 在 Rt△ADE 中，cs∠AED=AEDE=45．
24. （1） 81713
【解析】2016 年首都北京园林绿地面积为 81305+408=81713 公顷．
（2） 统计表如下：
2013−2016 年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率统计表
年份
项目2013201420152016城市绿化覆盖率46.8%47.4%48.4%48.1%森林覆盖率40%41%41.6%42.3%
25. （1） 连接 OE，如图．
∵AC 切 ⊙O 于点 E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEA=90∘，
∵∠A=30∘，
∴∠AOE=60∘，∠B=60∘，
∵OD=OE，
∴△ODE 为等边三角形，
∴∠ODE=60∘，
∴△BDF 是等边三角形．
（2） 如图，作 DH⊥AC 于点 H．
①由 ∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC=3，可求 AB，AC 的长；
②由 ∠AEO=90∘，∠OAE=30∘，可知 AO=2OE，可求 AD，DB，DH 的长；
③由（1）可知 BF=BD，可求 CF 的长；
④由 AC，DH，CF 的长可求四边形 AFCD 的面积．
26. （1） x≠2
（2） 当 x=7 时，y=6x−22=67−22=625，
∴m=625．
（3） 该函数的图象如图所示：
（4） 函数图象关于直线 x=2 对称（答案不唯一）
27. （1） y=12x2−mx+12m2+m−2=12x−m2+m−2，
由题意，可得 m−2=0．
∴m=2，
∴y=12x−22．
（2） ①由题意得，点 P 是直线 y=x 或 y=−x 与抛物线的交点．
当 P 为直线 y=x 与抛物线的交点时，
x=12x−22，解得 x1=3+5，x2=3−5．
∴P 点坐标为 3+5,3+5 或 3−5,3−5；
当P为y=-x与抛物线的交点时，
−x=12x−22，方程无解；
综上，P 点坐标为 3+5,3+5 或 3−5,3−5．
② ∵∠POQ=45∘，
∴E 点或 F 点的横、纵坐标的绝对值相等，
∴ 当 E 点移动到点 2,2 时，n=2；
当 F 点移动到点 −2,2 时，n=−6．
由图象可知，符合题意的 n 的取值范围是 −6≤n≤2．
28. （1） ∵∠AEB=110∘，∠ACB=90∘，
∴∠DAE=∠AEB−∠ACB=20∘．
（2） ①补全图形，如图所示；
②由题意可知 ∠AEF=90∘，EF=AE．
∵∠ACB=90∘，
∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90∘．
∴∠BEF=∠DAE．
∵ 在 △EBF 和 △ADE 中，
BE=AD,∠BEF=∠DAE,EF=AE,
∴△EBF≌△ADESAS．
∴DE=BF．
29. （1） ①5,1，−3,−1 和 2,−2，−6,2
②y=x−4 或 y=−x−4．
【解析】① 如图 1 中，作 P1M⊥x轴 于 M．
∵AB=BP1，∠AOB=∠P1MB=90∘，易证 ∠ABO=∠P1，
∴△ABO≌△BP1M，
∴OA=BM，OB=P1M，
当 A0,4，B1,0 时，BM=4，P1M=1，OM=5，
∴P15,1，
∵P2 与 P1 关于 B 对称，
∴P2−3,−1，
当 A0,4，B−2,0 时，同法可得 P12,−2，P2−6,2．
② 如图 2 中，取 N4,0，则 OA=ON，作 P1M⊥x轴 于 M．
∵△ABO≌△BP1M，
∴OA=BM=ON，OB=P1M，
∴OB=MN=P1M，
∴△P1MN 是等腰直角三角形，
∴∠P1NM=45∘，
∴ 点 P1 在经过点 N，与 x 轴的夹角为 45∘ 的直线上，
易知这条直线的解析式为 y=x−4，
∴P1x,y 是点 A 关于点 B 的“伴随点”，y 与 x 之间的关系式为 y=x−4，
同法可得 P2x,y，在直线 y=−x−4，
∴y 与 x 之间的关系式：y=x−4 或 y=−x−4．
（2） −5≤m≤−1 或 1≤m≤5．
【解析】如图 3 中，
由（1）可知，A0,m 关于 B 的“伴随点”Px,y，
y 与 x 之间的关系式：y=x−m 或 y=−x−m，
由题意可知，当直线 y=x−m 或 y=−x−m 与 ⊙C 有交点时，在 ⊙C 上存在点 A 关于点 B 的“伴随点”，
易知相切时 m=±1或±5，
观察图象可知，满足条件的 m 的范围为：−5≤m≤−1 或 1≤m≤5．