2019年广州市中考数学一模试卷

这是一份2019年广州市中考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2019 的相反数是
A. 2019B. −2019C. 12019D. −12019

2. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，则该几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 下列运算正确的是
A. a6÷a3=a2B. a4−a=a3
C. 2a⋅3a=6aD. −2x2y3=−8x6y3

5. 使分式 x2x−4 有意义的 x 的取值范围是
A. x=2B. x≠2 且 x≠0
C. x=0D. x≠2

6. 下列说法中，正确的是
A. 一个游戏中奖的概率是 110，则做 10 次这样的游戏一定会中奖
B. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式
C. 一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数是 8
D. 若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则乙组数据比甲组数据波动小

7. 在二次函数 y=−x2+2x+1 的图象中，若 y 随着 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是
A. x<1B. x>1C. x<2D. x>−1

8. 已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2−ax−2=0 的两根，下列结论一定正确的是
A. x1≠x2B. x1+x2>0C. x1⋅x2>0D. x1<0，x2<0

9. 如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为 θ，且 sinθ=13，则该圆锥的侧面积是
A. 242πB. 24πC. 16πD. 12π

10. 如图1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BE→ED→DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1 cm/s，设 P，Q 出发 t 秒时，△BPQ 的面积为 y（cm2），已知 y 与 t 的函数关系的图象如图2（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：
① AD=BE=5 cm；②当 0其中正确结论的个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：a2−2ab+b2= ．

12. 分式方程 1x−2=3x 的解是 ．

13. 要了解全市中考生的数学成绩在某一范围内的学生所占比例的大小，需知道相应样本的 （填“平均数”或“频数分布”）．

14. 如图，小明一家自驾到古镇 C 游玩，到达 A 地后，导航显示车辆应沿北偏东 60∘ 方向行驶 12 千米至 B 地，再沿北偏西 45∘ 方向行驶一段距离到达古镇 C，小明发现古镇 C 恰好在 A 地的正北方向，则 B，C 两地的距离为 千米（结果保留根号）．

15. 等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40∘，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且 BP=BA，则 ∠PBC 的度数为 ．

16. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，DE 平分 ∠ADC 交 AB 于点 E，∠BCD=60∘，AD=12AB，连接 OE．下列结论：① S平行四边形ABCD=AD⋅BD；② DB 平分 ∠CDE；③ AO=DE；④ S△ADE=5S△OFE，其中正确的结论是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解不等式组 −2x≤0,3x−1<5.

18. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=8，tan∠ABD=34，求线段 AB 的长．

19. 某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球B：乒乓球C：羽毛球D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查学生共有 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

20. 如图，已知矩形 OABC 中，OA=2，AB=4，双曲线 y=kxk>0 与矩形两边 AB 、 BC 分别交于 E 、 F．
（1）若 E 是 AB 的中点，求 F 点的坐标；
（2）若将 △BEF 沿直线 EF 对折，B 点落在 x 轴上的 D 点，作 EG⊥OC，垂足为 G，证明 △EGD∽△DCF，并求 k 的值．

21. 荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元（每次两种荔枝的售价都不变）．
（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；
（2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．

22. 已知矩形的面积为 a（a 为常数，a>0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小?最小值是多少?
【数学模型】
设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为 y=2x+axx>0．
（1）【探索研究】
我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 y=x+1xx>0 的图象和性质．
①填写下表，画出函数的图象；
x⋯1413121234⋯y⋯⋯
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数 y=x+1xx>0 的最小值．
（2）【解决问题】
用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

23. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为 △ABC 的准外心．
（1）应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD=12AB，求 ∠APB 的度数；
（2）探究：已知 △ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长．

24. 如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP，BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论；
（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

25. 抛物线 y=ax+22+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴负半轴交于点 C，已知点 A−1,0，OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若把抛物线与直线 y=−x−4 的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为 m,2m，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；
（3）Q 为直线 y=−x−4 上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得 ∠APB=2∠AQB，且这样的 Q 点有且只有一个?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】2019 的相反数是 −2019．
2. B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合.因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
3. A【解析】从上面往下看到的图形是：
4. D【解析】A．a6÷a3=a3，故不正确；
B．a4 与 a 不是同类项，不能合并，故不正确；
C．2a⋅3a=6a2，故不正确；
D．−2x2y3=−8x6y3，正确．
5. D
【解析】由题意得 2x−4≠0，
∴x≠2．
6. C【解析】A．一个游戏中奖的概率是 110，做 10 次这样的游戏不一定会中奖；
B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，
C．一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8，本选项正确．
D．若甲组数据的方差是 0.1，乙组数据的方差是 0.2，则甲组数据比乙组数据波动小，故错误．
7. A【解析】∵a=−1<0，
∴ 二次函数图象开口向下，
∵ 对称轴是直线 x=1，
∴ 当 x<1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大．
8. A【解析】A．∵Δ=−a2−4×1×−2=a2+8>0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B．∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2−ax−2=0 的两根，
∴x1+x2=a，
∵a 的值不确定，
∴ B结论不一定正确；
C．∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2−ax−2=0 的两根，
∴x1⋅x2=−2，结论C错误；
D．∵x1⋅x2=−2，
∴x1<0，x2>0，结论D错误．
9. D【解析】如图，
∵ 圆锥的高与母线所夹角为 θ，
∴∠CAO=θ，
∵ sinθ=13=COAC，AC=6，
∴CO=2，
则圆锥的侧面积 =2π×2×6÷2=12π．
10. B
【解析】①根据图（2）可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C，
∵ 点 P，Q 的运动的速度都是 1 cm/s，
∴BC=BE=5 cm，
∴AD=BE=5（故①正确）；
②如图1，过点 P 作 PF⊥BC 于点 F，
根据面积不变时 △BPQ 的面积为 10，可得 AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=ABBE=45，
∴PF=PBsin∠PBF=45t，
∴ 当 0③根据 5−7 秒面积不变，可得 ED=2，
当点 P 运动到点 C 时，面积变为 0，此时点 P 走过的路程为 BE+ED+DC=11，
故点 H 的坐标为 11,0，
设直线 NH 的解析式为 y=kx+b，
将点 H11,0，点 N7,10 代入可得：11k+b=0,7k+b=10,
解得：k=−52,b=552.．
故直线 NH 的解析式为：y=−52t+552，（故③错误）；
④当 △ABE 与 △QBP 相似时，点 P 在 DC 上，如图2所示：
∵tan∠PBQ=tan∠ABE=34，
∴PQBQ=34，即 11−t5=34，
解得：t=294．（故④正确）；
综上可得①②④正确，共 3 个．
第二部分
11. a−b2
【解析】a2−2ab+b2=a−b2．
12. x=3
13. 频数分布
【解析】频数分布直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小．
14. 66
【解析】作 BD⊥AC 于 D．
在 Rt△ABD 中，sin∠DAB=BDAB，
∴BD=AB⋅sin∠DAB=63，
在 Rt△CBD 中，cs∠CBD=BDBC，
∴BC=BDcs∠CBD=66（千米）．
15. 30∘ 或 110∘
【解析】如图：分两种情况进行讨论.
易证 △ABP≌△ABC，
∴∠ABP=∠BAC=40∘，∠ABC=180∘−40∘2=70∘．
∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=110∘．
同理：△ABPʹ≌△BAC，
∴∠ABPʹ=∠BAC=40∘，∠ABC=180∘−40∘2=70∘．
∴∠PʹBC=∠ABC−∠ABP=30∘．
16. ①②
【解析】∵∠BAD=∠BCD=60∘，∠ADC=120∘，DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60∘=∠AED，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AD=AE=12AB，
∴E 是 AB 的中点，
∴DE=BE，
∴∠BDE=12∠AED=30∘，
∴∠ADB=90∘，即 AD⊥BD，
∴S平行四边形ABCD=AD⋅BD，故①正确；
∵∠CDE=60∘，∠BDE30∘，
∴∠CDB=∠BDE，
∴DB 平分 ∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD 中，AO>AD，
∴AO>DE，故③错误；
∵O 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点，
∴OE 是 △ABD 的中位线，
∴OE∥AD，OE=12AD，
∴△OEF∽△ADF，
∴S△ADF=4S△OEF，且 AF=2OF，
∴S△AEF=2S△OEF，
∴S△ADE=6S△OFE，故④错误．
第三部分
17. 解不等式 ① 得：
x≥0.
解不等式 ② 得：
x<2.∴
不等式组的解集为
0≤x<2.
18. ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴BO=OD，∠BOD=90∘．
∵BD=8，
∴BO=4，
∵tan∠ABD=AOBO，34=AO4，
∴AO=3，
在 Rt△ABC 中，AO=3，OB=4，
则 AB=AD2+OB2=32+42=5．
19. （1） 200
（2） 补全图形，如图所示：
（3） 列表如下：
甲乙丙丁甲−−−乙,甲丙,甲丁,甲乙甲,乙−−−丙,乙丁,乙丙甲,丙乙,丙−−−丁,丙丁甲,丁乙,丁丙,丁−−−∵
所有等可能的结果为 12 种，其中符合要求的只有 2 种，
∴ 恰好选中甲、乙两位同学的概率为 P=212=16．
20. （1） ∵ 点 E 是 AB 的中点，OA=2，AB=4，
∴ 点 E 的坐标为 2,2，
将点 E 的坐标代入 y=kx，可得 k=4，
即反比例函数解析式为 y=4x，
∵ 点 F 的横坐标为 4，
∴ 点 F 的纵坐标 =44=1，
故点 F 的坐标为 4,1．
（2） 由折叠的性质可得 BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90∘，
∵∠CDF+∠EDG=90∘，∠GED+∠EDG=90∘，
∴∠CDF=∠GED，
∵∠EGD=∠DCF=90∘，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点 E 坐标为 k2,2，点 F 坐标为 4,k4，
则 CF=k4，BF=DF=2−k4，ED=BE=AB−AE=4−k2，
在 Rt△CDF 中，CD=DF2−CF2=2−k42−k42=4−k，
∵CDGE=DFED，即 4−k2=2−k44−k2，
∴4−k=1，
解得 k=3．
21. （1） 设桂味售价为每千克 x 元，糯米味售价为每千克 y 元．
根据题意得：
2x+3y=90,x+2y=55.
解得：
x=15,y=20.
答：桂味售价为每千克 15 元，糯米味售价为每千克 20 元．
（2） 设购买桂味 t 千克，总费用为 w 元，则购买糯米味 12−t 千克，
∴12−t≥2t，
∴t≤4，
w=15t+2012−t=−5t+240．
∵k=−5<0，
∴w 随 t 的增大而减小，
∴ 当 t=4 时，wmin=220．
答：购买桂味 4 千克，糯米味 8 千克时，总费用最少．
22. （1） ①174；103；52；2；52；103；174
函数 y=x+1xx>0 的图象如图．
② 本题答案不唯一，下列解法供参考．
当 0当 x>1 时，y 随 x 增大而增大；
当 x=1 时，函数 y=x+1xx>0 的最小值为 2．
③y=x+1x=x2+1x2=x2+1x2−2x⋅1x+2x⋅1x=x−1x2+2,
当 x−1x=0，即 x=1 时，函数 y=x+1xx>0 的最小值为 2．
（2） 当该矩形的长为 a 时，它的周长最小，最小值为 4a．
23. （1） ①若 PB=PC，连接 PB，则 ∠PCB=∠PBC，
∵CD 为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30∘．
∴∠PBD=∠PBC=30∘，
∴PD=33DB=36AB．
与已知 PD=12AB 矛盾，
∴PB≠PC；
②若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC；
③若 PA=PB，由 PD=12AB，得 PD=AD=BD，
∴∠APD=∠BPD=45∘，
∴∠APB=90∘．
（2） ∵BC=5，AB=3，
∴AC=BC2−AB2=52−32=4．
①若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32=4−x2，
∴x=78，即 PA=78；
②若 PA=PC，则 PA=2；
③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能．
∴PA=2 或 78．
24. （1） 如图 1．
∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又 ∵∠EPH=∠EBC=90∘，
∴∠EPH−∠EPB=∠EBC−∠EBP，即 ∠PBC=∠BPH．
又 ∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．
（2） △PHD 的周长不变为定值 8．证明如下：
如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q．
由（1）知 ∠APB=∠BPH，
又 ∵∠A=∠BQP=90∘，BP=BP，
∴△ABP≌△QBPAAS．
∴AP=QP，AB=BQ．
又 ∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又 ∵∠C=∠BQH=90∘，BH=BH，
∴△BCH≌△BQHHL．
∴CH=QH．
∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
（3） 如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB．
又 ∵EF 为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90∘．
∴∠EFM=∠ABP．
又 ∵∠A=∠EMF=90∘，AB=ME，
∴△EFM≌△BPAASA．
∴EM=AP=x．
∴ 在 Rt△APE 中，4−BE2+x2=BE2，即 BE=2+x28，
∴CF=BE−EM=2+x28−x．
又 ∵ 四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，
∴S=12⋅BE+CF⋅BC=12⋅4+x24−x⋅4=12x2−2x+8=12x−22+6.
∵0<12<4，
∴ 当 x=2 时，S 有最小值 6．
25. （1） 由抛物线 y=ax+22+c 可知，其对称轴为 x=−2，
∵ 点 A 坐标为 −1,0，
∴ 点 B 坐标为 −3,0，
∵OB=OC，
∴C 点坐标为 0,−3．
将 A−1,0，C0,−3 分别代入解析式得 a+c=0,4a+c=−3,
解得 a=−1,c=1, 则函数解析式为 y=−x2−4x−3．
（2） 由题意平移后的抛物线的解析式为 y=−x−m2+2m，
由 −x−4=−x−m2+2m，得到：x2−2m+1x+m2−2m−4=0，
∵ 平移后的抛物线总有不动点，
∴Δ≥0，
∴4m2+4m+1−4m2−2m−4≥0，解得 m≥−1712．
（3） 如图，设 P−2,m，以 P 为圆心的圆与直线 y=−x−4 相切，切点为 D，直线 y=−x−4 交抛物线的对称轴于 E，则 E−2,−2．
∴PE=m+2，PD=22PE，
∵PA=PD，
∴m+222=1+m2，解得 m=2±6，
故 P−2,2+6或−2,2−6．