2019年天津市河东区中考一模数学试卷

这是一份2019年天津市河东区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 (−6)+2 的结果等于 ( )
A. −8B. −4C. 4D. 8

2. tan60∘ 的值为 ( )
A. 33B. 23C. 3D. 2

3. 下面图形中，是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

4. 2016 年西峡香菇年出口值达到 4380000000 亿元，成为国内最大的干香菇出口货源集散中心．其中 4380000000 科学记数法表示为
A. 438×107B. 4.38×108C. 4.38×109D. 4.38×1010

5. 如图，是由七个相同的小正方体组成的立体图形，其俯视图是 ( )
A. B.
C. D.

6. 15 介于两个相邻整数之间，这两个整数是 ( )
A. 2∼3B. 3∼4C. 4∼5D. 5∼6

7. 化简 21−a−1a−1 的结果是 ( )
A. 31−aB. 3a−1C. 11−aD. 1a−1

8. 二元一次方程组 2x−y=−2,x+y=5 的解为 ( )
A. x=−1,y=6B. x=73,y=83C. x=3,y=2D. x=1,y=4

9. 如图，E，F 分别是矩形 ABCD 边 AB，CD 上的点，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使 A，D 分别落在 Aʹ 和 Dʹ 处，若 ∠1=50∘，则 ∠2 的度数是 ( )
A. 65∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘

10. 已知点 A(x1,y1)，(x2,y2) 是反比例函数 y=2x 图象上的点，若 x1>0>x2 ，则一定成立的是 ( )
A. y1>y2>0B. y1>0>y2C. 0>y1>y2D. y2>0>y1

11. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为 ( )
A. 6B. 8C. 12D. 10

12. 已知：抛物线 y=ax2+bx+ca<0 经过点 −1,0，且满足 4a+2b+c>0．以下结论：① a+b>0；② a+c>0；③ −a+b+c>0；④ b2−2ac>5a2．其中正确的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 化简：(−a2)⋅a5= ．

14. 计算：(5+6)(5−6)= ．

15. 箱子里有 7 个白球，3 个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是 ．

16. 若直线 y=−2x+3b+2 经过第一、二、四象限，则 b 的取值范围是 ．

17. 如图，△ABC 是等边三角形．P 是 ∠ABC 的平分线 BD 上一点，PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q．若 BF=2，则 PE 的长为 ．

18. 如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 均为格点，点 P，Q 分别为线段 AB，BC 上的动点，且满足 AP=BQ．
（I）线段 AB 的长度等于 ；
（II）当线段 AQ+CP 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段 AQ 和 CP，并简要说明你是怎么画出点 Q，P 的．（不要求证明）

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2x（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来．
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思维活力，让人得到智慧的启发，让人漱养浩然正气．”倡导读书活动，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图．
（1）这次一共调查的学生人数是 人．
（2）所调查学生读书本数的众数是 本，中位数是 本．
（3）若该校有 800 名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本?

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC=40∘．
（1）如图 1，若 D 为弧 AB 的中点，求 ∠ABC 和 ∠ABD 的度数；
（2）如图 2，过点 D 作 ⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DP∥AC，求 ∠OCD 的度数．

22. 综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点 B 垂直起飞到达点 A 处，测得学校 1 号楼顶部 E 的俯角为 60∘，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为 45∘，此时航拍无人机的高度为 50 米，已知 1 号楼的高度为 20 米．且 EC 和 FD 分别垂直地面于点 C 和 D，B 为 CD 的中点，求 2 号楼的高度．

23. 某单位要印刷“市民文明出行，遵守交通安全”的宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印刷费，另收 150 元的制版费；乙印刷厂提出：每份材料收 2.5 元印刷费，不收制版费．设在同一家印刷厂一次印制数量为 x 份（x 为正整数）．
（1）根据题意，填写下表：
一次印刷数量51020⋯x甲印刷厂收费(元)155 ⋯ 乙印刷厂收费(元)12.5 ⋯
（2）在印刷品数量大于 800 份的情况下选哪家印刷厂印制省钱?

24. 如图（1），在平面直角坐标系中，已知 △AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是 (0,4)，点 B 在第一象限，点 P(t,0) 是 x 轴上的一个动点，连接 AP，并把 △AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合．连接 OD，PD，得 △ABD．
（1）当 t=3 时，求 DP 的长；
（2）在点 P 运动过程中，依照条件所形成的 △OPD 面积为 S．
① 求 t>0 时，求 S 与 t 之间的函数关系式；
② 当 t≤0 时，要使 S=34，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+52 过点 A1,0，B5,0，与 y 轴相交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点 O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长．已知点 E 为抛物线对称轴上的一点，且在 x 轴上方，点 F 为平面内一点，当以 A，B，E，F 为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时，请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离；
（3）在（2）中，当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时，在以 A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否存在点 Q，使得 AQ，BQ，FQ 之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】(−6)+2=−4．
2. C【解析】tan60∘=3 .
3. B【解析】A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、是中心对称图形，本选项正确；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
4. C【解析】将 4380000000 用科学记数法表示为 4.38×109．
5. D
【解析】这个立体图形的俯视图是：
6. B【解析】∵3<15<4，
∴ 这两个整数是：3∼4．
7. A【解析】原式=−2a−1−1a−1=−3a−1=31−a．
8. D【解析】2x−y=−2, ⋯⋯①x+y=5. ⋯⋯②
①+②，得：3x=3，
解得：x=1，
将 x=1 代入 ②，得：1+y=5，
解得：y=4，
∴ 方程组的解为 x=1,y=4.
9. A【解析】由折叠的性质得，∠AEF=∠AʹEF，
∵∠1=50∘，
∴∠AEF=∠AʹEF=180∘−∠12=65∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠2=∠AEF=65∘．
10. B
【解析】∵k=2>0，
∴ 函数为减函数，
又 ∵x1>0>x2，
∴A，B 两点不在同一象限内，
∴y2<011. D【解析】如图，连接 BM，
∵ 点 B 和点 D 关于直线 AC 对称，
∴NB=ND，
则 BM 就是 DN+MN 的最小值，
∵ 正方形 ABCD 的边长是 8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM=62+82=10，
∴DN+MN 的最小值是 10．
12. D【解析】① ∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca<0 经过点 −1,0，
∴ 把点 −1,0 代入解析式，结合 4a+2b+c>0，即可整理出 a+b>0；①正确；
②由 4a+2b+c+2a−b+c 可得，6a+3c>0，结合 a<0，可求出 a+c>0，②正确；
③画草图可知 c>0，结合 a−b+c=0，可得出 −a+b+c=2c>0，从而求出 −a+b+c>0，③正确；
④把 −1,0 代入解析式得 a−b+c=0，可得出 2a+c>0，
再由 a<0，可知 c>0 则 c−2a>0，
可得出 c+2ac−2a>0，即 b2−2ac−5a2>0，④正确．
第二部分
13. −a7
【解析】原式=−a2⋅a5=−a7.
14. −1
【解析】(5+6)(5−6)=(5)2−(6)2=5−6=−1．
15. 710
【解析】∵ 箱子里有 7 个白球，3 个红球，
∴ 从中随机摸出一球是白球的概率是 77+3=710．
16. b>−23
【解析】∵ 直线 y=−2x+3b+2 经过第一、二、四象限，
∴3b+2>0，
∴b>−23．
17. 3
【解析】∵△ABC 是等边三角形．P 是 ∠ABC 的平分线 BD 上一点，
∴∠FBQ=∠EBP=30∘，
∴ 在直角 △BFQ 中，BQ=BF⋅cs∠FBQ=2×32=3，
又 ∵QF 是 BP 的垂直平分线，
∴BP=2BQ=23，
∵ 直角 △BPE 中，∠EBP=30∘，
∴PE=12BP=3．
18. 5，取格点 J，S，连接 JS 得到交点 T，作射线 BT，取格点 W，R，连接 WR 交射线 BT 于 H，此时 BH=3，连接 AH 交 BC 于点 Q，取格点 K，使得 AK=5，连接 CK 交 AB 于 P，点 P，Q 即为所求．
【解析】（I）线段 AB 的长度 =32+42=5．
（II）如图 1 中，作 BH⊥AB，使得 BH=AC=3，
易证 △CAP≌△HBQ，推出 HQ=PC，
∴PC+AQ=AQ+HQ，
∵AQ+QH≤AH，
∴ 当 A，Q，H 共线时，AQ+QH 的值最小．
如图 2 中，取格点 J，S，连接 JS 得到交点 T，作射线 BT，取格点 W，R，连接 WR 交射线 BT 于 H，
此时 BH=3，连接 AH 交 BC 于点 Q，取格点 K，使得 AK=5，连接 CK 交 AB 于 P，点 P，Q 即为所求．
第三部分
19. （1） x<4
【解析】解不等式 ①，得 x<4．
（2） x≥−2
【解析】解不等式 ②，得 x≥−2．
（3） 把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4） −2≤x<4
【解析】原不等式组的解集为 −2≤x<4．
20. （1） 20
【解析】1+1+3+4+6+2+2+1=20．
（2） 4；4
【解析】众数是 4，中位数是 4．
（3） 每个人读书本数的平均数是：
x=120(1+2×1+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8)=4.5．
∴ 总数是：800×4.5=3600．
答：估计该校学生这学期读书总数约 3600 本．
21. （1） 如图 1，连接 OD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC=40∘，
∴∠ACB=90∘．
∴∠ABC=∠ACB−∠BAC=90∘−40∘=50∘．
∵D 为弧 AB 的中点，∠AOB=180∘，
∴∠AOD=90∘，
∴∠ABD=45∘．
（2） 如图 2，连接 OD，
∵DP 切 ⊙O 于点 D，
∴OD⊥DP，即 ∠ODP=90∘．
由 DP∥AC，又 ∠BAC=40∘，
∴∠P=∠BAC=40∘．
∵∠AOD 是 △ODP 的一个外角，
∴∠AOD=∠P+∠ODP=130∘．
∴∠ACD=65∘．
∵OC=OA，∠BAC=40∘，
∴∠OCA=∠BAC=40∘．
∴∠OCD=∠ACD−∠OCA=65∘−40∘=25∘．
22. 过点 E 作 EG⊥AB 于点 G，过点 F 作 FH⊥AB 于点 H，
可得四边形 ECBG，HBDF 是矩形，
∴EC=GB=20，HB=FD．
∵ 点 B 为 CD 中点，
∴EG=CB=BD=HF．
由已知得：∠EAG=90∘−60∘=30∘，∠AFH=45∘，
在 Rt△AFG 中，AG=AB−GB=50−20=30．
∴EG=AGtan30∘=30×33=103．
在 Rt△AHF 中，AH=HFtan45∘=103．
∴FD=HB=AB−AH=50−103．
答：2 号楼的高度为 50−103 米．
23. （1） 160；170；150+x；25；50；2.5x
【解析】甲每份材料收 1 元印刷费，另收 150 元的制版费；
乙每份材料收 2.5 元印刷费．
（2） 对甲来说，印刷大于 800 份时花费大于 150+800，即花费大于 950 元；
对乙来说，印刷大于 800 份时花费大于 2.5×800，即花费大于 2000 元；
故去甲更省钱．
24. （1） ∵A(0,4)，
∴OA=4，
∵P(t,0)，
∴OP=t，
∵△ABD 是由 △AOP 旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60∘，
∴△ADP 是等边三角形，
∴DP=AP，
∵t=3，
∴OP=3，
∴DP=AP=AO2+OP2=19．
（2） ① 当 t>0 时，如图 1，
BD=OP=t，
过点 B，D 分别作 x 轴的垂线，垂足于 F，H，过点 B 作 x 轴的平行线，
分别交 y 轴于点 P，交 DH 于点 G，
∵△OAB 为等边三角形，BE⊥y 轴，
∴∠ABP=30∘，AP=OP=2，
∵∠ABD=90∘，
∴∠DBG=60∘，
∴DG=BD⋅sin60∘=32t，
∵GH=OP=2，
∴DH=2+32t，
∴S=12t2+32t=34t2+t(t>0)；
② 当 t≤0 时，分两种情况：
∵ 点 D 在 x 轴上时，如图 2
在 Rt△ABD 中，BD=OP=433，
i 、当 −433 BD=OP=t，BG=−32t，
∴DH=GF=BF−BG=2−−32t=2+32t，
∴−12t2+32t=34，
∴t=−33 或 t=−3，
∴P−33,0或(−3,0)，
ii 、当 t≤−433 时，如图 4，
BD=OP=−t，DG=−32t，
∴DH=−32t−2，
∴12(−t)−2−32t=34，
∴t=−21−233 或 t=21−233（舍），
∴P−21−233,0．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+52 过点 A1,0，B5,0，
∴0=a+b+52，0=25a+5b+52，
∴a=12，b=−3，
∴ 解析式 y=12x2−3x+52．
（2） 当 y=0，则 0=12x2−3x+52，
∴x1=5，x2=1，
∴A1,0，B5,0，
∴ 对称轴直线 x=3，顶点坐标 3,−2，AB=4，
∵ 抛物线与 y 轴相交于点 C，
∴C0,52，
如图 1．
①如 AB 为菱形的边，则 EF∥AB，EF=AB=4，且 E 的横坐标为 3，
∴F 的横坐标为 7 或 −1，
∵AE=AB=4，AM=2，EM⊥AB，
∴EM=23，
∴F7,23或−1,23，
∴ 当 x=7，y=12×49−7×3+52=6，
∴ 点 F 到二次函数图象的垂直距离 6−23；
②如 AB 为对角线，如图 2，
∵AEBF 是菱形，AF=BF=4，
∴AB⊥EF，EM=MF=23，
∴F3,−23，
∴ 点 F 到二次函数图象的垂直距离 −2+23．
（3） 当 F3,−23 时，点 F 到二次函数图象的垂直距离最小．
如图 3，以 BQ 为边作等边三角形 BQD，将 △BQF 绕 B 逆时针旋转 60∘ 到 △BDN 位置，连接 AN，作 PN⊥AB 于 P．
∵ 等边三角形 BQD，
∴QD=QB=BD，
∵ 将 △BQF 绕 B 逆时针旋转 60∘ 到 △BDN 位置，
∴NB=BF=4，∠FBN=60∘，DN=FQ，
∵AQ+BQ+FQ=AQ+QD+DN，
∴ 当 AQ，QD，DN 共线时 AQ+BQ+FQ 的和最短，即最短值为 AN 的长．
∵AF=BF=4=AB，
∴∠ABF=60∘，
∴∠NBP=60∘ 且 BN=4，
∴BP=2，PN=23，
∴AP=6．
在 Rt△ANP 中，AN=36+12=43，
∴AQ+BQ+FQ 的和最短值为 43．