2019年天津市东丽区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市东丽区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算：−2−−3=
A. 1B. −1C. 5D. −5

2. 2cs30∘ 的值等于
A. 1B. 2C. 2D. 3

3. 下列图形中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 据国家统计局公布，2018 年全年国内生产总值约 900000 亿元，900000 这个数字用科学记数法表示应为
A. 90×104B. 9.0×105C. 0.9×106D. 9.0×10−5

5. 如图所示的几何体是由七个小正方体组合而成的，它的左视图是
A. B.
C. D.

6. 3+10 的结果在下列哪两个整数之间
A. 6 和 7B. 5 和 6C. 4 和 5D. 3 和 4

7. 计算 aa+12+1a+12 的结果为
A. 1B. 1aC. a+1D. 1a+1

8. 用加减法解方程组 4x+5y=19,4x−3y=3, 消去未知数 x 得到的方程是
A. 2y=16B. 2y=22C. 8y=16D. 8y=22

9. 如下图，将纸片 △ABC 沿着 DE 折叠压平，则 ．
A. ∠A=∠1+∠2B. ∠A=12∠1+∠2
C. ∠A=13∠1+∠2D. ∠A=14∠1+∠2

10. 下列关于反比例函数 y=−3x 的说法正确的是
A. y 随 x 的增大而增大B. 函数图象过点 2,32
C. 图象位于第一、第三象限D. x>0 时，y 随 x 的增大而增大

11. 如图，MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC+PD 最小时，∠PCD=
A. 75∘B. 90∘C. 45∘D. 60∘

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+cb>a>0 与 x 轴只有一个交点，以下四个结论：① 该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；② 关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 有实数根；③a+b+c>0；④b−ac 的最大值为 1．其中结论正确的为
A. ①②③B. ③④C. ①③D. ①③④

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 x7÷x3 的结果等于 ．

14. 化简：5+2⋅5−2= ．

15. 有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面写着 1，2，3，4，5，现把它们正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽一张，则抽出的数字是偶数的概率是 ．

16. 将直线 y=2x+4 向下平移 3 个单位，得到的新直线的解析式为 ．

17. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，MN∥BC 分别交 AB，CD 于点 M，点 N，在 MN 上任取两点 P，Q，那么图中阴影部分的面积是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C，D 均为格点．
（1）线段 BC 的长度等于 ；
（2）若 K 为线段 CD 上一点，且满足 S△BCK=13S四边形ABCD，请你借助无刻度直尺在给定的网格中画出满足条件的线段 BK，并简要说明你是怎么画出点 K 的 ．

19. 解不等式组：3x+4>x, ⋯⋯①5x−5<4x−2. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答：
（1）解不等式 ①，得： ；
（2）解不等式 ②，得： ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为： ．

20. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有 1800 名学生，估计该校年龄在 15 岁及以上的学生人数．

21. 如图 AB 是 ⊙O 的直径，PA 与 ⊙O 相切于点 A，BP 与 ⊙O 相交于点 D，C 为 ⊙O 上的一点，分别连接 CB，CD，∠BCD=60∘．
（1）求 ∠ABD 的度数；
（2）若 AB=6，求 PD 的长度．

22. 如图，马路的两边 CF，DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马路两侧的 A，B 两点分别表示车站和超市，CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽 20 米，A，B 相距 62 米，∠A=67∘，∠B=37∘，求 CD 与 AB 之间的距离．（参考数据：sin67∘≈1213，cs67∘≈513，tan67∘≈125，sin37∘≈35，cs37∘≈45，tan37∘≈34）

23. 甲、乙两人“五一”放假期间去登盘山挂月峰，甲先开车沿小路开到了距离登山入口 100 米的地方后，开始以 10 米/分钟的登山速度徒步登山；甲开始徒步登山的同时，乙直接从登山入口开始徒步登山，起初乙以 15 米/分钟的登山速度登山，两分钟后得知甲已经在半山腰，于是乙以甲登山速度的 3 倍提速．两人相约只登到距地面高度为 300 米的地方，设两人徒步登山时间为 x（分钟）．
（1）根据题意，填写如表：
徒步登山时间/时间2345⋯甲距地面高度/米120 140 ⋯乙距地面高度/米3060 ⋯
（2）请分别求出甲、乙两人徒步登山全程中，距地面的高度 y （ 米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式；
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米?

24. 如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A0,4 与点 B 关于 x 轴对称，点 Cm,0 为 x 轴的正半轴上一动点．以 AC 为边作等腰直角三角形 ACD，∠ACD=90∘，点 D 在第一象限内．连接 BD，交 x 轴于点 F．
（1）用含 m 的式子表示点 D 的坐标；
（2）在点 C 运动的过程中，判断 OF 的长是否发生变化?若不变求出其值，若变化请说明理由；
（3）过点 C 作 CG⊥BD，垂足为点 G，请直接写出 ∣BF−DF∣ 与 CG 之间的数量关系式．

25. 抛物线 y=−x−m2+2m>0 的顶点为 A，与直线 x=m2 相交于点 B，点 A 关于直线 x=m2 的对称点为点 C．
（1）若抛物线 y=−x−m2+2m>0 经过原点，求 m 的值；
（2）是否存在 m 的值，使得点 B 到 x 轴距离等于点 B 到直线 AC 距离的一半，若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由；
（3）将 y=−x−m2+2（m>0 且 x≥m2）的函数图象记为图象 G，图象 G 关于直线 x=m2 的对称图象记为图象 H，图象 G 与图象 H 组合成的图象记为 M．
（i）当 M 与 x 轴恰好有三个交点时，求 m 的值；
（ii）当 △ABC 为等边三角形时，直接写出 M 所对应的函数值小于 0 时，自变量 x 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C
4. B
5. A
6. A【解析】∵3<10<4，
∴6<3+10<7．
7. D【解析】aa+12+1a+12=a+1a+12=1a+1．
8. C【解析】4x+5y=19, ⋯⋯①4x−3y=3, ⋯⋯②
用 ① 式减 ② 式得 8y=16．
9. B【解析】
从图中可得： ∠A+∠3+∠4=180∘ ， ∠B+∠3+∠1=180∘ ， ∠C+∠4+∠2=180∘ ，由折叠可得 ∠A+∠B+∠C=180∘ ，所以推出∠A=12∠1+∠2 ．
10. D
【解析】A.反比例函数 y=−3x 仅在二、四象限内，y 随 x 的增大而增大，故此选项错误；
B.函数图象过点 2,−32，故此选项错误；
C.函数图象位于第二、第四象限，故此选项错误；
D.当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，正确．
11. C【解析】∵MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，
∴ 点 D 关于直线 MN 对称的点为点 A，
连接 AC 交 MN 于 P 点，此时 PC+PD 的值最小，
∵△ADC 为等腰直角三角形，
∴∠PCD=45∘．
12. D【解析】①∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a，且 b>a>0，
∴−b2a<0，
∴① 正确；
②∵y=ax2+bx+cb>a>0 与 x 轴只有一个交点，
∴Δ=b2−4ac=0，
∴Δ=b2−4ac+2=−8a<0，
∴ 方程 ax2+bx+c+2=0 无实根，
∴② 错误；
③ 由 ① 可知抛物线顶点在 x 负半轴，
∴ 当 x=1 时，可知抛物线在 x 轴上方，
∴a+b+c>0，
∴③ 正确；
④ 由 ① 知，当 x=−1 时，y≥0，则有 0≤a−b+c，
∴b−a≤c，
又 ∵c>0，
∴b−ac≤1 即 b−ac 的最大值为 1，
∴④ 正确．
第二部分
13. x4
14. 1
15. 25
16. y=2x+1
17. 8
【解析】根据题意观察可得：阴影部分的面积即是正方形面积的一半，
∵ 正方形的边长为 4，则正方形的面积是 16，
∴ 阴影部分的面积是 8．
第三部分
18. （1） 17
【解析】BC 在四个小正方形的对角线上，由勾股定理得，BC=42+12=17．
（2）
找到 F，G 点，并连接 FG 交 DC 于点 K，即为所求点
【解析】主要是通过面积计算出 K 点分线段 NC 的比例关系，然后根据格点构成相似三角形，从而得到点 K 的位置．
理由：S△BCK=13S四边形ABCD=134×3−4×1×12−1−2×1×12×3=2，
如图，
设 C 点上方的格点为 G 点，B 点上的格点为 F 点，CD 与 A 点所在的水平线交于 N 点，
则可知 N 为格点的中点，延长 DC 交 B 点所在的水平线于 E 点且为格点的中点，
可知 S△BCE=94，
∴S△BEK=174，S△BEK=BE×hK×12=174，可知 hK=179，
则 △NKG 边上 NG 的高为 19，
利用平行线分线段成比例定理可知，NK:KE=19:179，
∴NK:KC=19:89，
构造 △NKG∽△FCK，且相似比为 1:8，
因此找到 F，G 点，并连接 FG 交 NC 于点 K，即为所求．
19. （1）x>−2；
（2）x<3；
（3）
（4）−220. （1） 样本容量为 6÷12%=50．
（2） 平均数为 14，中位数为 14，众数为 15．
【解析】14 岁的人数为 50×28%=14，
16 岁的人数为 50−6+10+14+18=2，
则这组数据的平均数为 12×6+13×10+14×14+15×18+16×250=14（岁），
中位数为 14+142=14（岁），众数为 15 岁．
（3） 估计该校年龄在 15 岁及以上的学生人数为 1800×18+250=720（人）．
21. （1） 方法一：如图 1，连接 AD．
∵BA 是 ⊙O 直径，
∴∠BDA=90∘．
∵BD=BD，
∴∠BAD=∠C=60∘．
∴∠ABD=90∘−∠BAD=90∘−60∘=30∘．
【解析】方法二：如图 2，连接 DA，OD，
则 ∠BOD=2∠C=2×60∘=120∘．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=12180∘−120∘=30∘．
即 ∠ABD=30∘．
（2） 如图 1，
∵AP 是 ⊙O 的切线，
∴∠BAP=90∘．
在 Rt△BAD 中，
∵∠ABD=30∘，
∴DA=12BA=12×6=3．
∴BD=3DA=33．
在 Rt△BAP 中，
∵cs∠ABD=ABPB，
∴cs30∘=6PB=32．
∴BP=43．
∴PD=BP−BD=43−33=3．
22. 设 CD 与 AB 之间的距离为 x 米，
则在 Rt△BCF 和 Rt△ADE 中，
∵CFBF=tan37∘，DEAE=tan67∘，
∴BF=CFtan37∘≈43x，AE=DEtan67∘≈512x，
又 ∵AB=62，CD=20，
∴43x+512x+20=62，
解得：x=24，
答：CD 与 AB 之间的距离约为 24 米．
23. （1） 根据题意，填写如表：
甲距地面高度/米120130140150⋯乙距地面高度/米306090120⋯
（2） 甲登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式为 y甲=100+10x0≤x≤20，
乙登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式为 y乙=15x,0≤x≤230x−30,2 （3） 当 100+10x−15x=70 时，解得 x=6（舍），
当 10x+100−30x−30=70 时，解得 x=3；
当 30x−30−100−10x=70 时，解得 x=10；
当 300−100−10x=70 时，解得 x=13．
答：登山 3 分钟、 10 分钟或 13 分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米．
24. （1） 如图，过 D 点作 x 轴垂线，垂足为 H 点，
∵∠ACD=90∘，
∴∠ACO+∠DCH=90∘，
∵∠ACO+∠CAO=90∘，
∴∠CAO=∠DCH，
又 ∵∠AOC=∠CHD=90∘，AC=CD，
∴ 在 △OAC 和 △CDH 中，
∠CAO=∠DCH,∠AOC=∠CHD,AC=CD,
∴△ACO≌△CDHAAS，
∴CH=OA，DH=OC=m，
∴OH=OC+CH=4+m，
∴D 的坐标为 4+m,m．
（2） 设 BD 所在直线的解析式为：y=kx+b，
将点 B0,−4 与点 D4+m,m 代入方程，
b=−4,k4+m+b=m, 即 k4+m=m+4，
解得 k=1,b=−4,
∴BD 的直线解析式为 y=x−4，当 y=0 时，x=4，F 点恒为 4,0，OF=4，OF 的长度是不变化的．
（3） ∣BF−DF∣=2CG．
【解析】由题意得 △DFH∽△OBF，
∴DH:OB=DF:BF=m:4，
由 B0,−4 与点 D4+m,m，可以知道 BD=24+m，
∴BF=42，DF=2m，∣BF−DF∣=2∣m−4∣，
CG=BC2−BG2=OB2+OC2−BD24=42+m2−m+422=22∣m−4∣.
∴∣BF−DF∣=2CG．
25. （1） 将原点代入表达式得 0=−m2+2，
∵m>0，
∴m=2．
（2） 当 x=m2 时，y=−m24+2，即点 Bm2,−m24+2，
点 Am,2，则点 C0,2，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=2，
∴ 点 B 到直线 AC 距离为 ∣−m24+2−2∣=m24，
∵ 点 B 到 x 轴距离为 ∣−m24+2∣，且等于点 B 到直线 AC 距离的一半，
∴∣−m24+2∣=12×m24，
∵m=−433（舍），
m=433 或 m=4 或 m=−4（舍），
∴m=433 或 m=4．
（3） （i）∵M 与 x 轴恰好有三个交点，
∴ 抛物线与直线 x=m2 相交于点 B 为 m2,0，将点 B 代入表达式 y=−x−m2+2，得 0=−m24+2，则 m=22 或 m=−22（舍）；
（ii）∵△ABC 为等边三角形，AC=m，AC 边上的高为 B 点到 AC 的距离，且长为 32m，
可列方程 m24=32m，可得 m=23（负值已舍），
当 y=0 时，对图象 H 有 0=−x2+2，解得 x=±2，
当 y=0 时，对图象 G 有 0=−x−232+2，解得 x=23±2，
∵2<23−2，
∴B 点在 x 轴下方，则此时 M 函数的小于 0 的范围为 x<−2 或 223+2．