2020年云南省昆明市西山区中考二模数学试卷

这是一份2020年云南省昆明市西山区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（共6小题；共30分）
1. 实数 1，0，−3 中，最小的数是 ．

2. 如图，将木条 a，b 和 c 钉在一起，∠1=50∘，∠2=75∘，要使木条 a 和 b 平行，木条 a 至少要旋转的度数为 ∘．

3. 点 P2,4 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到点 P1 的坐标为 ．

4. 新型冠状病毒也叫 2019−nCV，该病毒比细胞小得多，大小约为 150 nm（纳米），即为 0.00000015 米，约为一根头发丝直径的千分之一．数据 0.00000015 米用科学记数法表示为 ．

5. 已知 x=−1 是一元二次方程 ax2+bx+1=0（其中 a≠0，a，b 是常数）的一个根，则 102+2a−2b= ．

6. 如图，点 A 是双曲线 y=3x 第三象限分支上的一动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边 △ABC，点 C 在第二象限内，则过点 C 的反比例函数的解析式为 ．

二、选择题（共8小题；共40分）
7. 下列几何体中，主视图是
A. B.
C. D.

8. 在科学计算器上依次按键如下：ON/C 200 =，则计算器显示的结果最接近的一个数是
A. 12B. 13C. 14D. 15

9. 某同学进行垫传排球 10 次练习，成绩（个数）如图所示，则该同学 10 次垫传排球成绩的众数和中位数分别为
A. 6，5B. 5.5，6C. 5，6D. 6，5.5

10. 扇形的弧长为 6π，半径为 9，则扇形的圆心角为
A. 100∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘

11. 不等式组 2x+1>−2,3−x2≥0 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

12. 下列运算正确的是
A. −22=±2B. −12−1=−2
C. 3a+2a=5a2D. 20210=0

13. 观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；⋯⋯．
设 250=m，则 250+251+252+⋯⋯+298+299 的值可表示为
A. m2−mB. 2m2−mC. m2−2mD. m2+m

14. 在等腰 △ABC 中，AB=AC，∠ABC=30∘，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且 BP=BA，则 ∠PBC 的度数为
A. 105∘B. 150∘C. 45∘ 或 105∘D. 90∘ 或 150∘

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 先化简，再求值
2xx2−4−1x+2÷x2−2xx2−4x+4，其中 x=−2sin60∘．

16. 如图，点 A，E，F，D 在同一条直线上，BE=CF，∠C=∠B，∠1=∠2．求证：AB=CD．

17. 争创全国文明城市，春城昆明在行动．某学校在七年级开设了创建文明城市知识竞赛，为了了解学生的答题情况，随机抽取 30 名学生的成绩如下：
86 89 92 97 94 90 86 86 83 78
84 82 81 84 86 88 92 89 86 83
82 81 85 86 89 93 93 89 85 93
整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：
成绩分频数78≤x<82a82≤x<86886≤x<901190≤x<94694≤x<98b

（1）表中 a= ，b= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于 90 分为优秀，估计该校七年级 300 名学生中，达到优秀等级的人数．

18. 一个不透明的袋子中有四个小球，上面分别标有数字 −2，−1，0，2．它们除了数字不相同外，其它完全相同．小明和小丽玩游戏：小明先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的横坐标；然后放回搅匀，接着由小丽从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标；
（1）利用列表或画树状图的方法列出所有的结果；
（2）如果点 M 在 x 轴上小明胜，点 M 在第三象限小丽胜，请问这个游戏公平吗?为什么?

19. 为了提高学生“停课不停学”居家网上学习的质量，某校举行“做好自己的首席校长”评比大赛，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买 2 个笔记本和 3 个夹子共需 45 元；购买 1 个笔本记和 2 个夹子共需 25 元．
（1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元?
（2）若学校计划购买这两种文具共 120 个，笔记本不低于 38 个，并且投入资金不多于 1000 元，请问有哪几种购买方案?

20. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，直径 AB=10，AC=8．
（1）尺规作图：作弦 CD=CB（点 D 与点 B 不重合），连接 AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 延长于 E，请判断直线 CE 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由．

21. 小云沿笔直的小路 CD 由西向东行走，发现对面小路 AB 上（AB∥CD）有一个景观池，他在点 C 处发现景观池一端 A 在北偏东 45∘ 的方向上，且 AC=302 m，他再前进 40 m 到 D 处，发现景观池的另一端 B 在北偏东 57∘ 的方向上．求景观池的长 AB（结果保留整数）．
参考数据：sin57∘≈0.84，cs57∘≈0.54，tan57∘≈1.54）

22. 已知抛物线 y=x2+4x+m−1 的顶点 P 在 x 轴上，交 y 轴于点 C，直线 y=n 交抛物线于 A，B（点 A 在点 B 的左侧）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 n=9 时，在抛物线上存在点 D，使 S△DAB=S△APC，求点 D 的坐标．

23. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，点 P 为边 BC 上一个动点，将 △ABP 沿 AP 折叠，点 B 落在 Bʹ 处，过点 Bʹ 作 BʹE∥BC 交 AP 于 E，连接 BE．
（1）判断四边形 BPBʹE 的形状，并说明理由；
（2）点 P 移动过程中，CBʹ 是否有最小值?如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由；
（3）连接 AC，延长 BʹE 交边 AB 于 F，当 △EFB 与 △ABC 相似时，求 BP 的长．
答案
第一部分
1. −3
2. 25
3. −1,2
4. 1.5×10−7
5. 100
6. y=−33x
第二部分
7. A
8. C
9. D
10. B
11. D
12. B
13. A
14. D
第三部分
15. 原式=2xx+2x−2−1x+2÷xx−2x−22=x+2x+2x−2⋅x−22xx−2=1x.
∵x=−2sin60∘=3，
∴原式=13=33．
16. ∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠DFC，
在 △ABE 和 △DCF 中，
∠B=∠C,BE=CF,∠AEB=∠DFC
∴△ABE≌△DCF（ASA）．
∴AB=CD．
17. （1） 3；2
（2）
（3） 300×6+230=80（人）．
答：该校七年级 300 名学生中，达到优秀等级约 80 人．
18. （1） 列表如下：
列树状图（略）
（2） 可能出现的结果共有 16 种，并且它们出现的可能性相同．
设点 M 在 x 轴上为事件 A，有 −2,0，−1,0，0,0，2,0 四种结果，则 PA=412=13；
设点 M 在第三象限为事件 B，有 −2,−2，−1,−2，−2,−1，−1,−1 四种结果，则 PB=412=13．
∵PA=PB，
∴ 这个游戏公平．
19. （1） 设购买一个笔记本的单价为 x 元，一个夹子的单价为 y 元．
由题意得 2x+3y=45,x+2y=25.
解这个方程组得 x=15,y=5.
答：购买一个笔记本的单价为 15 元，一个夹子的单价为 5元．
（2） 设购买笔记本 m 个．
由题意得：15m+5120−m≤1000，
解得：m≤40，
∵m≥38，且 m 取整数，所以 m 取 38，39，40，
∴ 有三种购买方案：
（1）购买笔记本 38 个，夹子 82 个；
（2）购买笔记本 39 个，夹子 81 个；
（3）购买笔记本 40 个，夹子 80 个；
20. （1） 尺规作图：
（2） CE 与 ⊙O 相切，理由如下：
连接 OC．
由作图可知 CB=CD，
∴CB=CD，
∴∠CAB=∠CAE，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠OCE=180∘，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90∘，
∴∠OCE=180∘−90∘=90∘，
即 OC⊥CE，
∵OC 为 ⊙O 的半径，
∴CE 为 ⊙O 的切线．
21. 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F．
由题意得 ∠ACE=45∘，∠FDB=57∘，四边形 ECDF 为矩形，
则 CE=DF，EF=CD=40，
在 Rt△ACE 中，∠AEC=90∘，AC=302，∠ECA=45∘，
∵cs∠ECA=CEAC，
∴CE=ACcs∠ECA=302×22=30．
∴AE=CE=30，
在 Rt△DFB 中，∠DFB=90∘，DF=CE=30，∠FDB=57∘，
∵tan∠FDB=FBDF，
∴BF=DFtan∠FDB≈30×1.54=46.2，
∴AB=EF+FB−AE=46.2+40−30≈56（米）
答：景观池 AB 的长约为 56 米．
22. （1） ∵ 二次函数的图象顶点在 x 轴上，
∴Δ=0，
即 42−4×1×m−1=0，
∴m=5，
∴ 二次函数的解析式为 y=x2+4x+4．
（2） 当 x=0 时，y=4，
x=−b2a=−42×1=−2，
∴ 点 C 为 0,4，点 P 为 −2,0，
当 n=9 时，即 x2+4x+4=9，
解得：x1=−5，x2=1，
∴ 点 A 为 −5,9，点 B 为 1,9，
设直线 y=n 与 y 轴交于点 E，
∴S△APC=S矩形APOE−S△POC−S△ACE=122+5×9−12×2×4−12×5×5=15.
设点 D 为 x,y，
S△DAB=12AB⋅h=15，h=5，
∴y=4或14，
当 y=4 时，即 x2+4x+4=4，
解得：x1=−4，x2=0，
∴ 点 D 为 −4,4 或 0,4，
当 y=14 时，即 x2+4x+4=14，
解得：x1=−2+14，x2=−2−14，
∴ 点 D 为 −2+14,14 或 −2−14,4．
23. （1） 四边形 BPBʹE 为菱形，
理由如下：
∵△ABP 沿 AP 折叠，点 B 落在 Bʹ 处，
∴BP=PBʹ，∠APB=∠APBʹ，
∵BʹE∥BP，
∴∠APB=∠PEBʹ，
∴∠PEBʹ=∠APBʹ，
∴BʹE=BʹP，
∴BP=BʹE，
∵BʹE∥BP，
∴ 四边形 BPBʹE 为平行四边形，
∴BʹE=BʹP，
∴ 四边形 BPBʹE 为菱形．
（2） 如图，
在点 P 移动的过程中，当点 A，Bʹ，C 不在一条直线时，
由三角形三边的关系可得：ABʹ+CBʹ>AC，
当点 A，Bʹ，C 在一条直线时，ABʹ+CBʹ=AC，
∴ 当点 A，Bʹ，C 在一条直线时，ABʹ+CBʹ 最小，
而 ABʹ=8 是定值，
∴ 此时 CBʹ 最小，
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，
∴AC=AB2+BC2=10，
∵AB=ABʹ=8，
则 CBʹ=AC−ABʹ=2．
（3） 分两种情况：
① 当 △EFB∽△ABC 时，∠EFB=∠ABC=90∘，
则 EFBF=ABBC=43，
设 EF=4x，BF=3x，
在 Rt△EFB 中，BE=EF2+FB2=5x，
∴BʹE=BE=5x，
则 BʹF=BʹE+EF=9x，AF=8−3x．
在 Rt△ABʹF 中，∠AFB′=90∘，ABʹ=8，
∴FBʹ2+AF2=ABʹ2，
即 9x2+8−3x2=82，
解得 x=815，
∴BP=BE=5×815=83，
② 当 △EFB∽△CBA 时，∠EFB=∠ABC=90∘，
则 EFBF=BCAB=34，
设 EF=3x，BF=4x，
在 Rt△EFB 中，
∴BE=EF2+FB2=5x，
∴BʹE=BE=5x，
则 B′F=B′E+EF=8x，AF=8−4x，
在 Rt△AB′F 中，∠AFB′=90∘，AB′=8，
∴FBʹ2+AF2=ABʹ2，
即 8x2+8−4x2=82，
解得 x=45，
∴BP=BE=5×45=4，
综上所述，当 △EFB 与 △ABC 相似时，BP 的长为 83 或 4．