2020年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市普陀区中考一模数学试卷（期末），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知 xy=35，那么下列等式中，不一定正确的是
A. 5x=3yB. x+y=8C. x+yy=85D. xy=x+3y+5

2. 下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是 y 轴，那么这个函数是
A. y=x2+2xB. y=x2+2x+1C. y=x2+2D. y=x−12

3. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=13，那么下列说法中正确的是
A. csB=13B. ctA=13C. tanA=223D. ctB=223

4. 下列说法中，正确的是
A. 如果 k=0 ， a 是非零向量，那么 ka=0
B. 如果 e 是单位向量，那么 e=1
C. 如果 b=a ，那么 b=a 或 b=−a
D. 已知非零向量 a ，如果向量 b=−5a ，那么 a∥b

5. 如果二次函数 y=x−m2+n 的图象如图所示，那么一次函数 y=mx+n 的图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限

6. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90∘ ， CD⊥AB ，垂足为点 D ，如果 C△ADCC△CDB=32 ， AD=9 ，那么 BC 的长是
A. 4B. 6C. 213D. 310

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 化简：2a+12b−a−b= ．

8. 抛物线 y=a−2x2 在对称轴左侧的部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ．

9. 已知函数 fx=3x2−2x−1，如果 x=2，那么 fx= ．

10. 如果抛物线 y=ax2+2ax+c 与 x 轴的一个交点的坐标是 1,0，那么与 x 轴的另一个交点的坐标是 ．

11. 将二次函数 y=x2−2x+2 的图象向下平移 mm>0 个单位后，它的顶点恰好落在 x 轴上，那么 m 的值等于 ．

12. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，ctB=13，BC=2，那么 AC= ．

13. 如图 △ABC 的中线 AD，CE 交于点 G，点 F 在边 AC 上，GF∥BC，那么 GFBC 的值是 ．

14. 如图，在 △ABC 与 △AED 中，ABAE=BCED，要使 △ABC 与 △AED 相似，还需添一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．

15. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， AD 是三角形的角平分线，如果 AB=35 ， AC=25 ，那么点 D 到直线 AB 的距离等于 ．

16. 如图，斜坡 AB 长为 100 米，坡角 ∠ABC=30∘ ，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡 AB 改造成坡度 i=1:5 的斜坡 BD （ A ， D ， C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点 A 到点 D 下降了 米．（结果保留根号）

17. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，对角线 AC，BD 交于点 O，AO=CO，CD⊥BD，如果 CD=3，BC=5，那么 AB= ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， AC=5 ， sinB=513 ，点 P 为边 BC 上一点， PC=3 ，将 △ABC 绕点 P 旋转得到 △AʹBʹCʹ （点 A ， B ， C 分别与点 Aʹ ， Bʹ ， Cʹ 对应），使 BʹCʹ∥AB ，边 AʹCʹ 与边 AB 交于点 G ，那么 AʹG 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2sin260∘−cs60∘tan260∘−4cs45∘

20. 如图，在 △ABC 中，点 D ， E ， F 分别在边 AB ， AC ， BC 上， DE∥BC ， EF∥AB ， AD:AB=1:3 ．
（1）当 DE=5 时，求 FC 的长；
（2）设 AD=a ， CF=b ，那么 FE= ， EA= （用向量 a ， b 表示）．

21. 如图，在 △ABC 中，点 P ， D 分别在边 BC ， AC 上， PA⊥AB ，垂足为点 A ， DP⊥BC ，垂足为点 P ， APPD=BPCD ．
（1）求证： ∠APD=∠C ；
（2）如果 AB=3 ， DC=2 ，求 AP 的长．

22. 函数 y=mx 与函数 y=xk （ m ， k 为不等于零的常数）的图象有一个公共点 A3,k−2 ，其中正比例函数 y 的值随 x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式．

23. 已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，S△AOD=S△BOC．
（1）求证：DOOB=COOA；
（2）设 △OAB 的面积为 S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD=k+12S．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=ax2+(a+83)x+c(a≠0) 经过点 A(−3,−2) ，与 y 轴交于点 B(0,−2) ，抛物线的顶点为点 C ，对称轴与 x 轴交于点 D ．
（1）求抛物线的表达式及点 C 的坐标；
（2）点 E 是 x 轴正半轴上的一点，如果 ∠AED=∠BCD ，求点 E 的坐标；
（3）在（ 2 ）的条件下，点 P 是位于 y 轴左侧抛物线上的一点，如果 △PAE 是以 AE 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标．

25. 如图，在梯形ABCD中， AD∥BC ， ∠C=90∘ ， AD=2 ， BC=5 ， DC=3 ，点 E 在边 BC 上， tan∠AEC=3 ，点 M 是射线 DC 上一个动点（不与点 D ， C 重合），连接 BM 交射线 AE 于点 N ，设 DM=x ， AN=y ．
（1）求 BE 的长；
（2）当动点 M 在线段 DC 上时，试求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点 M 运动时，直线 BM 与直线 AE 的夹角等于 45∘ ，请直接写出这时线段 DM 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】A、由比例的性质得到 3y=5x，故本选项不符合题意．
B、根据比例的性质得到 x+y=8k（k 是正整数），故本选项符合题意．
C、根据合比性质得到 x+yy=85，故本选项不符合题意．
D、根据等比性质得到 xy=x+3y+5，故本选项不符合题意．
2. C【解析】二次函数的对称轴为 y 轴，
则函数对称轴为 x=0 ，
即函数解析式 y=ax2+bx+c 中， b=0 ，
故选：C．
3. A【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sinA=13，
则 csA=1−sin2A=1−19=223．
A、 csB=sinA=13，故本选项符合题意．
B、 ctA=csAsinA=22313=22．故本选项不符合题意．
C、 tanA=sinAcsA=13223=24．故本选项不符合题意．
D、 ctB=tanA=24．故本选项不符合题意．
故选：A．
4. D【解析】A、如果 k=0 ， a 是非零向量，那么 ka=0 ，错误，应该是 ka=0 ．
B、如果 e 是单位向量，那么 e=1 ，错误．应该是 e=1 ．
C、如果 b=a ，那么 b=a 或 b=−a ，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量 a ，如果向量 b=−5a ，那么 a∥b ，正确．
故选：D．
5. B
【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为 m,n ，且在第四象限，
∴m>0 ， n＜0 ，
则一次函数 y=mx+n 经过第一、三、四象限．
故选：B．
6. C【解析】∵∠ACB=90∘ ，
∴∠ACD+∠BCD=90∘ ，
∵CD⊥AB ，
∴∠A+∠ACD=90∘ ，
∴∠A=∠BCD ，
又 ∠ADC=∠CDB ，
∴△ADC∽△CDB ，
∴ADCD=CDBD ， C△ADCC△CDB=ADCD ，
∴ADCD=32 ，即 9CD=32 ，
解得， CD=6 ，
∴96=6BD ，
解得， BD=4 ，
∴BC=CD2+BD2=62+42=213 ，
故选：C．
第二部分
7. a+2b
【解析】2a+12b−a−b=2a+b−a+b=a+2b．
8. a<2
【解析】∵ 抛物线 y=a−2x2 在对称轴左侧的部分是上升的，
∴ 抛物线开口向下，
∴a−2<0，解得 a<2．
9. 7
【解析】f2=3×22−2×2−1=7．
10. −3,0
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+2ax+c=ax+12−a+c，
∴ 该抛物线的对称轴是直线 x=−1，
∵ 抛物线 y=ax2+2ax+c 与 x 轴的一个交点的坐标是 1,0，
∴ 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是 −3,0．
11. 1
【解析】y=x2−2x+2=x−12+1 ，
∴ 将抛物线 y=x2−2x+2 沿 y 轴向下平移 1 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在 x 轴上，
∴m=1 ．
12. 6
【解析】∵ctB=BCAC，
∴AC=BCctB=BC13=3BC=6．
13. 13
【解析】∵△ABC 的中线 AD，CE 交于点 G，
∴G 是 △ABC 的重心，
∴AGGD=21，
∵GF∥BC，
∴GFDC=AGAD=23，
∵DC=12BC，
∴GFBC=13．
14. ∠B=∠E
【解析】添加条件：∠B=∠E；
∵ABAE=BCED，∠B=∠E，
∴△ABC∽△AED．
15. 2
【解析】作 DE⊥AB 于 E ，如图，
在 Rt△ABC 中， BC=352−252=5 ，
∵AD 是三角形的角平分线，
∴DC=DE ，
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC ，
∴12×25×DC+12×DE×35=12×25×5 ，
∴DE=2 ，
即点 D 到直线 AB 的距离等于 2 ．
16. 50−103
【解析】在 Rt△ABC 中， ∠ABC=30∘ ，
∴AC=12AB=50 ， BC=AB⋅cs∠ABC=503 ，
∵ 斜坡 BD 的坡度 i=1:5 ，
∴DC:BC=1:5 ，
∴DC=103 ，
则 AD=50−103 ．
17. 154
【解析】如图，过点 A 作 AE⊥BD，
∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠CDB=∠AED=90∘，且 CO=AO，∠COD=∠AOE，
∴△AOE≌△CODAAS，
∴CD=AE=3，
∵∠CDB=90∘，BC=5，CD=3，
∴DB=BC2−CD2=25−9=4；
∵∠ABC=∠AEB=90∘，
∴∠ABE+∠EAB=90∘，∠CBD+∠ABE=90∘，
∴∠EAB=∠CBD，且 ∠CDB=∠AED=90∘，
∴△ABE∽△BCD，
∴AEBD=ABBC，
∴34=AB5，
∴AB=154．
18. 2013
【解析】如图，作 PH⊥AB 于 H ．
在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， AC=5 ， sinB=513 ，
∴ACAB=513 ，
∴AB=13 ， BC=AB2−AC2=132−52=12 ，
∵PC=3 ，
∴PB=9 ，
∵∠BPH∽△BAC ，
∴PHAC=PBAB ，
∴PH5=913 ，
∴PH=4513 ，
∵AB∥BʹCʹ ，
∴∠HGCʹ=∠Cʹ=∠PHG=90∘ ，
∴ 四边形 PHGCʹ 是矩形，
∴CGʹ=PH=4513 ，
∴AʹG=5−4513=2013 ．
第三部分
19. 原式=2×322−1232−4×22=32−123−22=13−22=3+22.
20. （1） ∵DE∥BC ， EF∥AB ，
∴ 四边形 DEFB 是平行四边形，
∴DE=BF=5 ，
∵AD:AB=DE:BC=1:3 ，
∴BC=15 ，
∴CF=BC−BF=15−5=10 ．
（2） −2a ； 12b−a
【解析】∵AD:AB=1:3 ，
∴DB=2AD=2a ，
∵EF=BD ， EF∥BD ，
∴FE=−DB=−2a ，
∵CF=2DE ，
∴ED=12CF=12b ，
∴EA=ED+DA=12b−a ．
21. （1） ∵PA⊥AB ， DP⊥BC ，
∴∠BAP=∠DPC=90∘ ，
∵APPD=BPCD ，
∴APBP=PDCD ，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD ，
∴∠B=∠C ， ∠APB=∠CDP ，
∵∠DPB=∠C+∠CDP=∠APB+∠APD ，
∴∠APD=∠C ．
（2） ∵∠B=∠C ，
∴AB=AC=3 ，且 CD=2 ，
∴AD=1 ，
∵∠APD=∠C ， ∠CAP=∠PAD ，
∴△APC∽△ADP ，
∴APAC=ADAP ，
∴AP2=1×3=3 ，
∴AP=3 ．
22. 根据题意可得 3k=k−2 ，
整理得 k2−2k+3=0 ，
解得 k1=−1 ， k2=3 ，
∵ 正比例函数 y 的值随 x 的值增大而减小，
∴k=−1 ，
∴ 点 A 的坐标为 3,−3 ，
∴ 反比例函数是解析式为： y=−9x ；
正比例函数的解析式为： y=−x ．
23. （1） ∵S△AOD=S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即 S△ADB=S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴DOOB=COOA；
（2） ∵△DOC∽△BOA
∴CDAB=DOBO=COAO=k，S△CODS△AOB=CDAB2=k2，
∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，
∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，
∴S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=k+12S．
24. （1） 将点 A(−3,−2) ， B(0,−2) 代入抛物线 y=ax2+(a+83)x+c ，得 −2=9a−3(a+83)+c,−2=c,
解得， a=43 ， c=−2 ，
∴y=43x2+4x−2=43(x+32)2−5.
∴ 抛物线解析式为 y=43x2+4x−2 ，顶点 C 的坐标为 (−32,−5) ．
（2） 如图 1 ，连接 AB ，交对称轴于点 N ，则 N(−32,−2) ，
在 Rt△BCN 中，
tan∠BCN=BNCN=323=12 ，
∴tan∠AED=12 ，
过点 A 作 AH⊥DE 于 H ，
则 tan∠AED=AHEH=2EH=12 ，
∴EH=4 ，
∴OE=1 ，
∴E(1,0) ．
（3） ①如图 2 ，当 ∠EAP=90∘ 时，
∵∠HEA+∠HAE=90∘ ， ∠HAE+∠MAP=90∘ ，
∴∠HEA=∠MAP ，
又 ∠AHE=∠PMA=90∘ ，
∴△AHE∽△PMA ，
则 MPAM=AHHE ，
设 PM=t ，则 AM=2t ，
将 P(t−3,−2−2t) 代入 y=43x2+4x−2 ，
得， t1=0 （舍去）， t2=32 ，
∴P1(−32,−5) ．
②如图 3 ，当 ∠AEP=90∘ 时，
∵∠EAG+∠AEG=90∘ ， ∠AEG+∠PEN=90∘ ，
∴∠AEG=∠EPN ，
又 ∵∠N=∠G=90∘ ，
∴△AEG∽△EPN ，
则 PNEN=EGAG=12 ，
设 PN=t ，则 EN=2t ，
将 P(1−t,2t) 代入 y=43x2+4x−2 ，
得， t1=13+1294 ， t2=13−1294 （舍），
∴P2(−9+1294,13+1292) ；
综上所述： P1(−32,−5) ， P2(−9+1294,13+1292) ．
25. （1） 如图 1 中，作 AH⊥BC 于 H ，
∵AD∥BC ， ∠C=90∘ ，
∴∠AHC=∠C=∠D=90∘ ，
∴ 四边形 AHCD 是矩形，
∴AD=CH=2 ， AH=CD=3 ，
∵tan∠AEC=3 ，
∴AHEH=3 ，
∴EH=1 ， CE=1+2=3 ，
∴BE=BC−CE=5−3=2 ．
（2） 延长 AD 交 BM 的延长线于 G ．
∵AG∥BC ，
∴DGBC=DMCM ，
∴DG5=x3−x ，
∴DG=5x3−x ， AG=2+5x3−x=6+3x3−x ，
∵ANNE=AGBE ，
∴y10−y=6+3x3−x2 ，
∴y=310x+610x+12(0 （3） 12 或 13 ．
【解析】①如图 2 中，当点 M 在线段 DC 上时， ∠BNE=∠ABC=45∘ ，
∵△EBN∽△EAB ，
∴EB2=EN⋅AE ，
∴4=210(3−x)12+x⋅10 ，
解得 x=12 ．
②如图 3 中，当点 M 在线段 DC 的延长线上时， ∠ANB=∠ABE=45∘ ，
∵△BNA∽△EBA ，
∴AB2=AE⋅AN ，
∴(32)2=10⋅[10+210(x−3)12+x] ，
解得 x=13 ，
综上所述 DM 的长为 12 或 13 ．