2019年北京市昌平区中考数学二模试卷

这是一份2019年北京市昌平区中考数学二模试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −12 的倒数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 以下图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，假设 ∠ABC=70∘，那么 ∠BDC 的度数为
A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 20∘

4. 假设 m+2+n−12=0，那么 m+2n 的值为
A. −4B. −1C. 0D. 4

5. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是
A. B.
C. D.

6. 如图，用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等，OC=OD）量零件的内孔直径 AB．若 OC:OA=1:2，量得 CD=10，则零件的内孔直径 AB 长为
A. 30B. 20C. 10D. 5

7. 在 1，2，3 三个数中任取两个，则这两个数之和是偶数的概率为
A. 13B. 12C. 14D. 16

8. 下图能折叠成的长方体是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 假设分式 2x−4x+1 的值为 0，那么 x 的值为 ．

10. 圆锥的母线长为 3，底面半径为 2，那么它的侧面积为 ．

11. 已知一个菱形的周长是 20，两条对角线的长的比是 4:3，则这个菱形的面积是 ．

12. 如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，A，B 两点是方格纸中的两个格点，在 4×5 的方格纸中，找出格点 C，使 △ABC 的面积为 1 个平方单位，则满足条件的格点 C 的个数是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 计算：2−1+sin45∘−−8+−20120．

14. 解方程：xx−1+2x=1．

15. x−1=3，求代数式 x+12−4x+1+4 的值．

16. 如图：在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别是 AB，BC 延长线上的点，且 BD=CE，求证：DC=EA．

17. 如图，反比例函数 y=kxx<0 的图象经过点 A−2,4，Bm,2，过点 A 作 AF⊥x轴 于点 F，过点 B 作 BE⊥y轴 于点 E，交 AF 于点 C，连接 OA．
（1）求反比例函数的解析式及 m 的值；
（2）假设直线 l 过点 O 且平分 △AFO 的面积，求直线 l 的解析式．

18. 列方程（组）解应用题：
李明同学喜欢自行车和长跑两项运动，在某次训练中，他骑自行车的平均速度为每分钟 600 米，跑步的平均速度为每分钟 200 米，自行车路段和长跑路段共 5000 米，用时 15 分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．

19. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=4．过点 A 作 AE⊥AB 且 AB=AE，过点 E 分别作 EF⊥AC，ED⊥BC，分别交 AC 和 BC 的延长线与点 F，D．若 FC=5，求四边形 ABDE 的周长．

20. 如图，⊙O 的半径 OA 与 OB 互相垂直，P 是线段 OB 延长线上的一点，连接 AP 交 ⊙O 于点 D，点 E 在 OP 上且 DE=EP．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）作 DH⊥OP 于点 H，若 HE=6，DE=43，求 ⊙O 的半径的长．

21. 某学校为了了解学生本学期参加社会实践的情况，随机抽查了该校部分学生参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查?
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）该校共有学生 1000 人，请你估计“活动时间不少于 5 天”的大约有多少人?

22. 类比学习：
有这样一个命题：设 x，y，z 都是小于 1 的正数，求证：x1−y+y1−z+z1−x<1．
小明同学是这样证明的：
如图，作边长为 1 的正三角形 ABC，并分别在其边上截取 AD=x，BE=z，CF=y，设 △ADF，△CEF 和 △BDE 的面积分别为 S1，S2，S3，
则 S1=12x1−ysin60∘，S2=12y1−zsin60∘，S3=12z1−xsin60∘．
由 S1+S2+S3得 12x1−ysin60∘+12y1−zsin60∘+12z1−xsin60∘<34．
所以 x1−y+y1−z+z1−x<1．
类比实践：
已知正数 a，b，c，d，x，y，z，t 满足 a+x=b+y=c+z=d+t=k．求证：ay+bz+ct+dx<2k2．

23. 已知 m 为整数，方程 2x2+mx−1=0 的两个根都大于 −1 且小于 32，当方程的两个根均为有理数时，求 m 的值．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2 cm，点 A，C 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B 和 D4,23．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找到点 M，使得 M 到 D，B 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；
（3）如果点 P 由点 A 出发沿线段 AB 以 2 cm/s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 由点 B 出发沿线段 BC 以 1 cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设 S=PQ2cm2．
①求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
②当 S=54 时，在抛物线上存在点 R，使得以 P，B，Q，R 为顶点的四边形是平行四边形，求出点 R 的坐标．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，BE 平分 ∠DBC，交 AC 于 E，过点 A 作 AF⊥BE 于 G，交 BC于F，交 BD 于 H．
（1）若 ∠BAC=45∘，求证：（i）AF 平分 ∠BAC；（ii）FC=2HD．
（2）若 ∠BAC=30∘，请直接写出 FC 与 HD 的等量关系．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. C
5. B
6. B
7. A
8. D
第二部分
9. 2
10. 6π
11. 24
12. 6
【解析】
第三部分
13. 原式=12+22−22+1=32−322.
14.
x2+2x−1=xx−1.∴x2+2x−2=x2−x.∴x=23.
经检验，x=23 是原方程的根．
15. 原式=x2+2x+1−4x−4+4=x2−2x+1=x−12.
∵x−1=3，
∴原式=3．
16. ∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC，∠1=∠2=60∘，
∴∠3=∠4=120∘，
∵BD=CE，
∴△BDC≌△CEA，
∴DC=EA．
17. （1） ∵y=kxx<0 的图象经过点 A−2,4，Bm,2，
∴k=−8，
∴y=−8x，
∴m=−4．
（2） ∵ 直线 l 过点 O，
∴ 设直线 l 的解析式为：y=kx，其中 k≠0，
∵ 直线 l 平分 △AFO 的面积，
∴ 直线 l 过 AF 的中点 C−2,2，
∴k=−1，
∴ 直线 l 的解析式为：y=−x．
18. 该题考查的是一元一次方程的应用．
设自行车路段为 x 米，
根据题意得：x600+5000−x200=15
解之，得 x=3000
∴5000−x=2000
答：自行车路段为 3000 米，长跑路段为 2000 米．
19. ∵∠ACB=90∘，AE⊥AB，
∴∠BAC+∠B=∠BAC+∠EAF=90∘．
∴∠B=∠EAF．
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=∠EFC=90∘，
∴∠ACB=∠EFA．
∵AB=AE，
∴△ABC≌△EAF，
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在 Rt△ABC 中，AB=BC2+AC2=42+92=97．
∴AE=97．
∵ED⊥BC，
∴∠D=∠FCD=∠CFE=90∘，
∴ 四边形 EFCD 是矩形，
∴CD=EF=9，ED=FC=5，
∴ 四边形 ABDE 的周长为 AB+BD+DE+EA=97+4+9+5+97=18+297．
20. （1） 如图，连接 OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA．
∵DE=EP，
∴∠EDP=∠P．
∵OA⊥OB 于 O，
∴∠A+∠P=90∘．
∴∠ODA+∠EDP=90∘．
∴∠ODE=90∘．即 OD⊥DE．
∵OD 是 ⊙O 的半径，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2）
∵DH⊥OP 于点 H，
∴∠DHE=90∘．
∴cs∠HED=DHHE=643=32．
∴∠HED=30∘．
∵ 在 Rt△ODE 中，tan∠HED=ODDE，
∴OD43=33．
∴OD=4，即 ⊙O 的半径为 4．
21. （1） 20÷10%=200（名）．
答：该校对 200 名学生进行了抽样调查．
（2） 补全统计图如图所示．
（3） 30%+25%+20%×1000=750（名）
答：“活动时间不少于 5 天”的大约有 750 人．
22. 如图，作边长为 k 的正方形 ABCD．
并分别在各边上截取：AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，
∵a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴BE=x，AH=y，DG=z，CF=t．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，
∴S1=12ay，S2=12dx，S3=12ct，S4=12bz．
∵S1+S2+S3+S4 ∴12ay+12dx+12ct+12bz ∴ay+bz+ct+dx<2k2．
23. 设 y=2x2+mx−1．
∵2x2+mx−1=0 的两根都在 −1 和 32 之间，
∴ 当 x=−1 时，y>0，即 2−m−1>0．
当 x=32 时，y>0，即 92+32m−1>0．
∴−213 ∵m 为整数，
∴m=−2,−1,0．
（i）当 m=−2 时，方程 2x2−2x−1=0，Δ=4+8=12，
∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．
（ii）当 m=−1 时，方程 2x2−x−1=0，x1=−12，x2=1，符合题意．
（iii）当 m=0 时，方程 2x2−1=0，x=±22，不符合题意．
综合（i）（ii）（ii）可知，m=−1．
24. （1） 据题意，A0,2，B2,2，C2,0．
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，B 和 D4,23，
∴c=2,2=4a+2b+2,23=16a+4b+2,
∴a=−16,b=13,c=2,
∴y=−16x2+13x+2．
（2） 点 B 关于抛物线的对称轴 x=1 的对称点为 A．
连接 AD，与对称轴的交点即为 M．
∵A0,2，D4,23，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−13x+2，当 x=1 时，y=53，
∴M1,53．
（3） ① AP=2t，PB=2−2t，BQ=t，
在 Rt△PBQ 中，∠B=90∘，
∴PQ2=PB2+BQ2，
∴S=2−2t2+t2，
∴S=5t2−8t+40≤t≤1；
②当 S=54 时，54=5t2−8t+4，
∴t=12，t=1110>1（舍），
∴P1,2，Q2,32．
∴PB=1．
根据分析，以点 P，B，Q，R 为顶点的平行四边形只能是平行四边形 PQRB，
∴R3,32．
此时，点 R3,32 在抛物线 y=−16x2+13x+2 上．
25. （1） （i）∵BD⊥AC，AF⊥BE，
∴∠ADH=∠HGB=90∘．
∵∠BHG=∠AHD，
∴∠HBG=∠HAD．
∵∠ABC=∠FGB=90∘，
∴∠BAF+∠AFB=90∘，∠GBF+∠AFB=90∘．
∴∠GBF=∠BAF．
∵BE 平分 ∠DBC，
∴∠GBF=∠HBG．
∴∠HAD=∠BAF．即 AF 平分 ∠BAC．
（ii）∵ 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，∠BAC=45∘，
∴∠C=∠BAC=45∘，
∴AB=BC．
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=12AC．
如图，过点 D 作 KD∥FC 交 AF 于 K，
∴KDFC=ADAC=12．
∴FC=2KD．
∵BE 平分 ∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90∘．
∴∠BFH=∠BHF．
∴∠BHF=∠DHK．
∴∠BFH=∠DHK．
∵KD∥BC，
∴∠DKH=∠BFH．
∴∠DKH=∠DHK．
∴KD=HD．
∴FC=2HD．
（2） FC=43HD．
【解析】过点 D 作 MD∥FC 交 AF 于 M，
∵ 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，
∴ ADAB=32，ABAC=32，
∴ ADAC=34，
∵ MD∥FC，
∴ MDFC=ADAC=34，
∵ BE 平分 ∠DBC，BE⊥AF，
∴ ∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90∘，
∴ ∠BFH=∠BHF，
∵ ∠BHF=∠DHM，
∴ ∠BFH=∠DHM，
∵ MD∥BC，
∴ ∠DMH=∠BFH，
∴ ∠DMH=∠DHM，
∴ MD=HD，
∴ HDFC=34，
∴ FC=43HD．