2020年天津市津南区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市津南区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −5×−7 的值是
A. −12B. −2C. 35D. −35

2. tan60∘ 的值等于
A. 12B. 33C. 32D. 3

3. 2019 年 10 月 1 日上午，庆祝中华人民共和国成立 70 周年在北京天安门广场隆重举行阅兵活动．由人民解放军、武警部队和民兵预备役部队约 15000 名官兵接受检阅．将 15000 用科学记数法可表示为
A. 0.15×105B. 1.5×104C. 15×103D. 150×102

4. 下列图形中，可以看作轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 31 的值在
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间

7. 计算 2aa+12+2a+12 的结果为
A. 1B. 2C. 1a+1D. 2a+1

8. 方程组 3x−y=3,4x+y=11 的解是
A. x=3,y=6B. x=2,y=3C. x=1,y=7D. x=0,y=5

9. 若点 A−1,y1，B1,y2，C2,y3 都在反比例函数 y=−10x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y3
10. 如图，四边形 ABCO 为平行四边形，A，C 两点的坐标分别是 3,0，1,2，则平行四边形 ABCO 的周长等于
A. 5B. 3C. 45D. 6+25

11. 如图，将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，使点 B 的对应点 E 恰好落在边 BC 的中点上，点 C 的对应点 F 在 BC 的延长线上，连接 AD．下列结论一定正确的是
A. ∠B=∠FB. AC⊥DEC. BC=DFD. AC 平分 DE

12. 二次函数 y=ax2+bc+c（a，b，c 是常数，a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如表：
x⋯−1013⋯y=ax2+bx+c⋯n3m3⋯
且当 x=32 时，与其对应的函数值 y<0．有下列结论：① abc<0；② 3 是关于 x 的方程 ax2+b−1x+c=0 的一个根；③ 6A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 15a5b3÷5a4b 的结果等于 ．

14. 计算 3+52 的结果等于 ．

15. 不透明袋子中装有 12 个球，其中有 5 个红球、 4 个绿球和 3 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ．

16. 一次函数 y=kx+1k≠0，y 随 x 的增大而减小，则 k 的值可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 5，E 是边 BC 的中点，连接 AE．沿 AE 折叠该纸片，使点 B 落在 F 点．则 CF 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上．
（1）BC 的长等于 ；
（2）在如图所示的网格中，将 △ABC 绕点 A 旋转，使得点 B 的对应点 Bʹ 落在边 BC 上，得到 △AʹBʹCʹ，请用无刻度的直尺，画出 △AʹBʹCʹ，并简要说明这个三角形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）．

19. 解不等式组 x+1≤3, ⋯⋯①5x−3x−1≥1. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 在某中学开展的“好书伴我成长”读书活动中，为了解八年级 320 名学生读书情况，随机调查了八年级部分学生读书的册数．根据调查结果绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，图①中 m 的值为 ；
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计的样本数据，估计该校读书超过 3 册的学生人数．

21. 已知：△ABC 内接于 ⊙O，AB=AC，P 是 △ABC 外一点．
（1）如图①，点 P 在 ⊙O 上，若 ∠BPC=78∘，求 ∠CAB 和 ∠ACB 的大小；
（2）如图②，点 P 在 ⊙O 外，BC 是 ⊙O 的直径，PB 与 ⊙O 相切于点 B，若 ∠BPC=55∘，求 ∠PCA 的大小．

22. 数学兴趣小组活动课上测量电线杆的高度．在位于电线杆同侧的 A，B 处（点 A，B 及电线杆底部 F 在同一条直线上），测得电线杆顶部 E 的仰角分别为 36∘ 和 45∘（如图所示）．已知测量仪器距离地面都是 1.5 m，两测点 A，B 的距离是 12 m，求电线杆 EF 的高度（tan54∘≈1.38，结果精确到 0.1 m）

23. 某剧院举行专场音乐会，成人票每张 20 元，学生票每张 5 元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案．
方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；
方案二：按总价的 90% 付款．
某校有 4 名老师带队，与若干名（不少于 4 人）学生一起听音乐会．设学生人数为 x 人，x≥4（x 为整数）．
（1）根据题意填表：
学生人数/人41020⋯方案一付款金额/元80110⋯方案二付款金额/元90117⋯
（2）设方案一付款总金额为 y1 元，方案二付款总金额为 y2 元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若用两种方案购买音乐会的花费相同，则听音乐会的学生有 人；
②若有 60 名学生听音乐会，则用方案 购买音乐会票的花费少；
③若用一种方案购买音乐会票共花费了 450 元，则用方案 购买音乐会票，使听音乐的学生人数多．

24. 将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 O0,0，点 A0,2，点 E，F 分别在边 AB，BC 上．沿着 OE 折叠该纸片，使得点 A 落在 OC 边上，对应点为 Aʹ，如图①．再沿 OF 折叠，这时点 E 恰好与点 C 重合，如图②．
（1）求点 C 的坐标；
（2）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点 O 与点 F 重合，折痕与 AB 相交于点 P，展开矩形纸片，如图③．
①求 ∠OPF 的大小；
②点 M，N 分别为 OF，OE 上的动点，当 PM+MN 取得最小值时，求点 N 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=−12x2+32x+2，与 x 轴交于两点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．
（1）求点 A，B 和点 C 的坐标；
（2）已知 P 是线段 BC 上的一个动点．
①若 PQ⊥x 轴，交抛物线于点 Q，当 BP+PQ 取最大值时，求点 P 的坐标；
②求 2AP+PB 的最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】原式=5×7=35.
2. D【解析】tan60∘ 的值等于 3．
3. B【解析】15000=1.5×104．
4. A【解析】A．轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符题意；
C．不是轴对称图形，不符题意；
D．不是轴对称图形，不符题意．
5. A
【解析】该立体图形主视图的第 1 列有 2 个正方形、第 2 列有 1 个正方形、第 3 列有 1 个正方形．
6. B【解析】∵25<31<36，
∴5<31<6，
∴31 的值在 5 和 6 之间．
7. D【解析】原式=2a+2a+12=2a+1a+12=2a+1.
8. B【解析】3x−y=3, ⋯⋯①4x+y=11, ⋯⋯②
由 ①+②，得 7x=14，解得 x=2．
将 x=2 代入 ①，得 6−y=3，解得 y=3．
∴ 方程组的解为 x=2,y=3.
9. C【解析】反比例函数 y=−10x 的图象位于第二、四象限，
∵k=−10<0，
∴y1>0，y2<0，y3<0 ，
又 ∵ 当 x>0 时，反比例函数 y=−10x 的函数值 y 随 x 的增大而增大，且 1<2，
∴y2综上，y210. D
【解析】∵A3,0，C1,2，
∴OA=3，OC=12+22=5．
∵ 四边形 ABCO 为平行四边形，
∴BC=OA=3，AB=OC=5．
则平行四边形 ABCO 的周长为 OA+AB+BC+OC=2OA+OC=6+25．
11. D【解析】如图，设 AC 与 DE 的交点为点 O，连接 AE，CD．
由平移性质得：AD=BE，AC=DF，∠ACB=∠F，AD∥BE，AB∥DE．
∴∠COE=∠BAC．
∵ 在 △ABC 中，∠B 与 ∠ACB 不一定相等，∠BAC 不一定等于 90∘，BC 与 AC 不一定相等，
∴∠B 与 ∠F 不一定相等，∠COE 不一定等于 90∘（即 AC 与 DE 不一定垂直），BC 与 DF 不一定相等，
则选项A，B，C均不一定正确；
∵ 点 E 为 BC 的中点，
∴CE=BE．
∵AD=BE，
∴AD=CE．
又 ∵AD∥BE，即 AD∥CE．
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
∴ 对角线 AC 与 DE 互相平分，则选项D一定正确．
12. C【解析】当 x=32 时，与其对应的函数值 y<0，
结合题意可知 a>0，
当 x=0 时，c=3，
当 x=3 时，9a+3b+c=3，
∴3a+b=0，
∴b=−3a，
∴b<0，
∴abc<0，①正确；
ax2+b−1x+c=0 可以化为 ax2+−3a−1x+3=0，
将 x=3 代入方程可得 9a+3−3a−1+3=0，
∴3 是关于 x 的方程 ax2+b−1x+c=0 的一个根，②正确；
抛物线的解析式为 y=ax2−3ax+3，
n=a+3a+3=4a+3，
m=a−3a+3=−2a+3，
m+n=2a+6，
∵a>0，
∴m+n>6，
当 x=32 时，y=94a−92a+3=−94a+3，
∵ 当 x=32 时，与其对应的函数值 y<0，
∴−94a+3<0，
∴a>43，
∴m+n>263．③错误；
故选：C．
第二部分
13. 3ab2
【解析】原式=15÷5a5−4×b3−1=3ab2.
14. 8+215
【解析】3+52=32+2×3×5+52=3+215+5=8+215.
15. 512
【解析】∵ 总的球数有 12 个，红球有 5 个，
∴ 红球的概率是 512．
16. −1（答案不唯一，k<0 即可）
【解析】∵ 一次函数 y=kx+1k≠0，y 随 x 的增大而减小，
∴k<0，则 k 的值可以是 −1．
17. 5
【解析】根据折叠的性质，△ABE≌△BFE，AE 垂直平分 BF，且 E 是边 BC 的中点．
∴BE=EF=EC，∠BEA=∠FEA，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠BEA+∠FEA=∠EFC+∠ECF，
∴∠BEA=∠ECF，
∴AE∥FC，
∵ 四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，且 E 是边 BC 的中点，
∴∠ABC=90∘，AB=5，BE=52，
∴AE=AB2+BE2=52+522=552，
连接 BF 交 AE 于点 G，如图：
∵AE 垂直平分 BF，
∴∠BGE=90∘，
∴Rt△EBG∽Rt△EAB，
∴BEAE=GEBE，即 52552=GE52，
∴GE=52，
∵GE∥FC，E 是边 BC 的中点，
∴CF=2GE=5．
第三部分
18. （1） 25
【解析】由图可知，AB=2，AC=4．
则 BC=AB2+AC2=22+42=25．
（2） 如图，取格点 D，E，F，G，连接 AD，交边 BC 于点 Bʹ，连接 AF 和 EG，相交于点 Cʹ，则 △ABʹCʹ 即为所求．
【解析】证明：
∵AB∥CD，
∴△ABBʹ∽△DCBʹ．
∴ABCD=ABʹDBʹ．
∵AB=2，CD=3，AD=32+42=5=ABʹ+DBʹ，
∴23=ABʹ5−ABʹ，解得 ABʹ=2．
经检验，ABʹ=2 是分式方程的解．
∴ABʹ=AB=2 满足旋转的性质，则点 Bʹ 为点 B 旋转后的对应点．
在 Rt△ACD 中，tan∠CAD=CDAC=34；
在 Rt△AFH 中，tan∠FAH=FHAH=34=tan∠CAD．
∴∠FAH=∠CAD．
∵∠FAH+∠CAF=∠CAH=90∘．
∴∠CAD+∠CAF=90∘，即 ∠FABʹ=90∘．
∴∠FABʹ=∠BAC=90∘ 满足旋转的性质，则点 Cʹ 在直线 AF 上．
∵DE∥AG，DE=AG=5，
∴ 四边形 ADEG 是平行四边形．
∴AD∥EG．
∴∠ACʹG=∠FABʹ=90∘，即 △ACʹG 是直角三角形．
∵AF=AH2+FH2=5，
∴cs∠FAH=AHAF=45．
在 Rt△ACʹG 中，cs∠CʹAG=ACʹAG=cs∠FAH，
即 ACʹ5=45，解得 ACʹ=4．
∴ACʹ=AC=4 满足旋转的性质，则点 Cʹ 为点 C 旋转后的对应点．
综上，顺次连接点 A，Bʹ，Cʹ 可得到 △ABʹCʹ．
19. （Ⅰ）x≤2
（Ⅱ）x≥−1
（Ⅲ）
（Ⅳ）−1≤x≤2
20. （1） 40；25
（2） 平均数：x=1×4+2×8+3×15+4×10+5×340=3．
∵ 在这组样本数据中，3 出现了 15 次，出现的次数最多，
∴ 这组样本数据的众数为 3．
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，
其中处于中间的两个数都是 3，有 3+32=3，
∴ 这组样本数据的中位数为 3．
（3） 25%+7.5%×320=104，
∴ 根据统计的样本数据，估计该校读书超过 3 册的学生人数约为 104 人．
21. （1） ∵ 四边形 ABPC 是 ⊙O 的内接四边形，∠BPC=78∘，
∴∠CAB=180∘−∠BPC=102∘．
∵AB=AC，
∴AB=AC．
∴∠ACB=∠ABC．
∵∠CAB=102∘．
∴∠ACB=12180∘−∠CAB=39∘．
（2） ∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠CAB=90∘．
由（Ⅰ）知，∠ACB=∠ABC．
∴∠ACB=45∘．
又 ∵PB 与 ⊙O 相切，
∴PB⊥BC，即 ∠PBC=90∘．
∵∠BPC=55∘，
∴∠PCB=90∘−∠BPC=35∘．
∴∠PCA=∠PCB+∠ACB=35∘+45∘=80∘，即 ∠PCA=80∘．
22. 过点 C 作 CH⊥EF 于点 H，则 ∠CHE=90∘，
由题意可知 ∠ECH=36∘，∠EDH=45∘，CD=AB=12，
AC=BD=FH=1.5，
∴∠CEH=54∘，∠DEH=∠EDH=45∘，
∴DH=EH，
设 EH=x，则 DH=x，
∴CH=CD+DH=12+x，
在 Rt△CHE 中，tan∠CEH=CHEH，
即：tan54∘=12+xx，
解得：x=12tan54∘−1，
即 EH=12tan54∘−1．
∴EF=EH+HF=12tan54∘−1+1.5≈33.1．
∴ 电线杆 EF 的高约为 33.1 m．
23. （1） 160；162
【解析】当学生为 20 人时，按方案一付：4×20+20−4×5=160 元，
按方案二付：4×20+20×5×90%=162 元．
（2） 由题意得：y1=20×4+5x−4=5x+60，
y2=0.9×20×4+5x=4.5x+72．
（3） 24；二；二
【解析】①由题意得：5x+60=4.5x+72，
∴0.5x=12，
∴x=24．
即当学生为 24 人时，两种方案付款一样；
②把 x=60 分别代入得：y1=360，y2=342，
∴ 方案二更便宜；
③当 5x+60=450，
∴x=78，
当 4.5x+72=450，
∴x=84，
∴ 则用方案二购买使观看的学生更多．
24. （1） ∵ 点 A0,2，
∴OA=2，
由两次折叠可知，OAʹ=OA=2，OC=OE，
∴OAʹEA 是正方形，
∴OAʹ=AʹE=2，
在 Rt△OAʹE 中，OE=OAʹ2+AʹE2=22，
∴ 点 C 的坐标为 22,0．
（2） ①如图③，连接 EF，
由 OA=2 和（Ⅰ）可知 OC=AB=22，
而 ∠OAP=∠PBF=90∘，∠AOE=∠AEO=∠BEF=∠BFE=45∘，
故 OA=AE=2，BF=BE=22−2．
设 AP=x，则 PB=22−x，
由 PO=PF，即 PO2=PF2，
得 22+x2=22−x2+22−22，解得 x=22−2．
所以 AP=BF．则有 Rt△POA≌Rt△FPB．得 ∠POA=∠FPB．
又 ∠POA+∠APO=90∘，则 ∠FPB+∠APO=90∘，
即 ∠OPF=180∘−∠FPB+∠APO=90∘．
② N2−2,2−2．
【解析】②如图④所示，过点 P 作 PNʹ⊥OC 于点 Nʹ，交 OF 于点 M，作 Nʹ 关于 OF 的对称点 N，连接 MN，此时 PM+PN 取得最小值时，且 ON=ONʹ=AP=22−2，过点 N 作 NG⊥x 轴于点 G，
∵ 由（Ⅱ）知，∠AOE=45∘，
∴∠NOG=90∘−45∘=45∘，
∴OG=NG=ONsin45∘=ONcs45∘=2−2．
∴N2−2,2−2．
25. （1） 令 y=0，则 −12x2+32x+2=0，解得 x1=−1，x2=4．
∴A 点坐标为 −1,0，B 点坐标为 4,0．
令 x=0，则 y=2．
∴C 点坐标为 0,2．
（2） ①设：lBC:y=mx+n，将 B4,0，C0,2 分别代入，
得 0=4m+n,2=n, 解得 m=−12,n=2, 故 lBC:y=−12x+2．
可设 Pt,−12t+2，0≤t≤4，则 Qt,−12t2+32t+2，且 Q 在 P 上方．
∴PQ=−12t2+32t+2−−12t+2=−12t2+2t．
又 BP=4−t2+−12t+22=524−t．
故 BP+PQ=524−t+−12t2+2t=−12t2+2−52t+25．
当 t=2−52 时取得最大值，此时 P2−52,1+54．
②如图，延长 AC 至点 D，使得 CD=CB，
连接 BD，作 DE⊥y 轴于点 E，过点 P 作 PH⊥BD 于点 H．
由 AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=−1−42=25，
∴AC2+BC2=AB2，∠ACB=90∘．
则 △BDC 是等腰直角三角形，∠CBD=45∘．
2AP+PB=2AP+PBsin45∘=2AP+PH．
由垂线段最短可知，当 A，P，H 共线时，AP+PH 取得最小值．
∵∠BCD=∠DEC=∠COB=90∘，
∵∠DCE+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90∘，
∴∠DCE=∠CBO．
∴△CDE≌△BCO．
∴DE=CO=2，CE=BO=4．
可得点 D 的坐标为 2,6．
∴BD=2−42+6−02=210，
S△ABD=12AB⋅yD=12BD⋅AH，
代入可得 12×5×6=12×210⋅AH，解得 AH=3102．
故有 2AP+PB=2AP+PH≥2AH=35．
∴2AP+PB 的最小值为 35．