2020年上海市奉贤区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市奉贤区中考一模数学试卷（期末），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知线段 a，b，c，如果 a:b:c=1:2:3，那么 a+bc+b 的值是
A. 13B. 23C. 35D. 53

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 ∠A 的正弦值是 14，那么下列各式正确的是
A. AB=4BCB. AB=4ACC. AC=4BCD. BC=4AC

3. 已知点 C 在线段 AB 上，AC=3BC，如果 AC=a，那么 BA 用 a 表示正确的是
A. 34aB. −34aC. 43aD. −43a

4. 下列命题中，真命题是
A. 邻边之比相等两个平行四边形一定相似
B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似
C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似

5. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表：
x⋯01345⋯y⋯−57272−5−152⋯
根据如表，下列判断正确的是
A. 该抛物线开口向上
B. 该抛物线的对称轴是直线 x=1
C. 该抛物线一定经过点 −1,−152
D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的

6. 在 △ABC 中，AB=9，BC=2AC=12，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 DE∥BC，AD=2BD，以 AD 为半径的 ⊙D 和以 CE 为半径的 ⊙E 的位置关系是
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 tanα=3，那么锐角 α 的度数是 ．

8. 若 a 与单位向量 e 方向相反，且长度为 3，则 a= （用单位向量 e 表示向量 a）．

9. 若一条抛物线的顶点在 y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）

10. 如果二次函数 y=ax−12a≠0 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么 a 的取值范围是 ．

11. 抛物线 y=x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，如果点 B2,2 和点 A 关于该抛物线的对称轴对称，那么 b 的值是 ．

12. 已知 △ABC 中，∠C=90∘，csA=34，AC=6，那么 AB 的长是 ．

13. 已知 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，若 ADAB=13，则当 AEEC 的值是 时，DE∥BC．

14. 小明从山脚 A 出发，沿坡度为 1:2.4 的斜坡前进了 130 米到达 B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了 米．

15. 如图，将 △ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 △AʹBʹCʹ 的位置，如果点 Aʹ 恰好是 △ABC 的重心，AʹBʹ 、 AʹCʹ 分别于 BC 交于点 M，N，那么 △AʹMN 的面积与 △ABC 的面积之比是 ．

16. 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径 OA 的长为 1，如果用它的面积来近似估计 ⊙O 的面积，那么 ⊙O 的面积约是 ．

17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果 E 是矩形 ABCD 的一个“直角点”，且 CD=3EC，那么 AD:AB 的值是 ．

18. 如图，已知矩形 ABCDAB>BC，将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90∘，点 A，D 分别落在点 E，F 处，连接 DF，如果点 G 是 DF 的中点，那么 ∠BEG 的正切值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知函数 y=−x−1x−3．
（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况．
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．
x⋯ ⋯y⋯ ⋯

20. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90∘，∠BAD=45∘，DC=2，AB=6，AE⊥BD，垂足为点 F．
（1）求 ∠DAE 的余弦值；
（2）设 DC=a，BC=b，用向量 a，b 表示 AE．

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，CD⊥AB，垂足为点 D，E 是弧 BC 的中点，OE 与弦 BC 交于点 F．
（1）如果 C 是弧 AE 的中点，求 AD:DB 的值；
（2）如果 ⊙O 的直径 AB=6，FO:EF=1:2，求 CD 的长．

22. 如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 CD 垂直于水平地面 GQ，当点 P 与点 A 重合时，伞收紧；当点 P 由点 A 向点 B 移动时，伞慢慢撑开；当点 P 与点 B 重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度 CD 是 220 厘米，在它撑开的过程中，总有 PM=PN=CM=CN=50 厘米，CE=CF=120 厘米，BC=20 厘米．
（参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈1.3）
（1）当 ∠CPN=53∘，求 BP 的长?
（2）如图，当金定全张开时，求点 E 到地面 GQ 的距离．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CB 的延长线上，连接 CE，EF，CE2=DE⋅CF．
（1）求证：∠D=∠CEF；
（2）连接 AC，交 EF 于点 G，如果 AC 平分 ∠ECF，求证：AC⋅AE=CB⋅CG．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A2,−3 和点 B5,0，顶点为 C．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 C 的坐标；
（2）点 A 关于抛物线对称轴的对应点为点 D，连接 OD，BD，求 ∠ODB 的正切值；
（3）将抛物线 y=x2+bx+c 向上平移 tt>0 个单位，使顶点 C 落在点 E 处，点 B 落在点 F 处，如果 BE=BF，求 t 的值．

25. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD=5，AB=5，tanA=2，点 E 在射线 AD 上，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为点 E，交射线 AB 于点 F，交射线 CB 于点 G，连接 CE，CF，设 AE=m．
（1）当点 E 在边 AD 上时，
① 求 △CEF 的面积；（用含 m 的代数式表示）
② 当 S△DCE=4S△BFG 时，求 AE:ED 的值；
（2）当点 E 在边 AD 的延长线上时，如果 △AEF 与 △CFG 相似，求 m 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】∵a:b:c=1:2:3，
∴ 设 a=k，b=2k，c=3kk≠0，
∴a+bc+b=k+2k3k+2k=3k5k=35．
2. A【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A 正弦值是 14，
∴sinA=BCAB=14，
∴AB=4BC．
3. D【解析】∵ 点 C 在线段 AB 上，AC=3BC，AC=a，
∴BA=43AC，
∵BA 与 AC 方向相反，
∴BA=−43a．
4. B【解析】∵ 邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，
∴ 邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A错误；
∵ 邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B正确；
∵ 对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，
∴ 对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C错误；
∵ 对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，
∴ 对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D错误．
5. C
【解析】因为抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 过点 1,72，3,72，
所以抛物线的对称轴是：直线 x=2，
故B错误；
因为由表格可知：当 x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，
所以该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，
故A，D错误；
因为该抛物线的对称轴是：直线 x=2，点 5,−152 在抛物线上，
所以该抛物线一定经过点 −1,−152，
故C正确．
6. B【解析】∵ 在 △ABC 中，AB=9，BC=2AC=12，DE∥BC，AD=2BD，如图：
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=23，即：DE=23BC=23×12=8，
∵ 以 AD 为半径的 ⊙D 和以 CE 为半径的 ⊙E 的半径分别为 6，2，即：6+2=8，
∴ 以 AD 为半径的 ⊙D 和以 CE 为半径的 ⊙E 的位置关系是：外切．
第二部分
7. 60∘
【解析】∵tan60∘=3，
∴ 锐角 α 的度数是 60∘．
8. −3e
【解析】∵a 与单位向量 e 方向相反，且长度为 3，
∴a=−3e．
9. y=2x2
【解析】∵ 一条抛物线的顶点在 y 轴上，
∴−b2a=0，即：b=0，
∴ 这条抛物线的表达式可以是：y=2x2．
故答案是：y=2x2．
10. a>0
【解析】∵ 二次函数 y=ax−12a≠0 的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
∴ 二次函数 y=ax−12a≠0 的图象开口向上，
∴a>0．
11. −2
【解析】∵ 抛物线 y=x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，
∴ 点 A 的坐标是：0,2，
∵ 点 B2,2 和点 A 关于该抛物线的对称轴对称，
∴ 抛物线的对称轴是：直线 x=1，
即：−b2a=1，
∴−b2×1=1，解得：b=−2．
12. 8
【解析】∵△ABC 中，∠C=90∘，csA=34，AC=6，
∴AB=ACcsA=634=8．
13. 14
【解析】∵ 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，
若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=13，
∴AEEC=14．
14. 50
【解析】设他所在的位置比原来的位置升高了 x 米．
∵ 坡度为 1:2.4，
∴ 他所在的位置比原来的位置水平移动了 2.4x 米，
∴2.4x2+x2=1302，解得 x=50．
15. 19
【解析】∵△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 △AʹBʹCʹ 的位置，
∴AʹM∥AB，AʹN∥AC，
∴∠AʹMN=∠B，∠AʹNM=∠C，
∴△AʹMN∽△ABC，
∵AD 和 AʹD 分别是 △AʹMN 和 △ABC 对应边上的中线，点 Aʹ 恰好是 △ABC 的重心，
∴AʹDAD=AʹMAB=13，
∴△AʹMN 的面积与 △ABC 的面积之比是：19．
16. 3
【解析】由题意得：∠O=30∘，AO=BO=1．
如图，作 AC⊥OB，则 AC=12AO=12×1=12．
∴△AOB 的面积是 1×12×12=14，
∴ 圆的内接正十二边形的面积是 14×12=3，即 ⊙O 的面积约是 3．
17. 23
【解析】∵E 是矩形 ABCD 的一个“直角点”，
∴∠AEB=90∘，
∴∠AED+∠BEC=90∘，
∵∠EAD+∠AED=90∘，
∴∠BEC=∠EAD，
∵∠D=∠C，
∴△BEC∽△EAD，
∴BCED=CEDA，
∵CD=3EC，
设 EC=x，则 AB=CD=3x，ED=2x，
∴BC2x=xDA，
∵AD=BC，
∴AD2=2x⋅x=2x2，即：AD=2x，
∴AD:AB=2x:3x=23．
18. 1
【解析】延长 EG 交 DC 于点 M．
∵ 点 G 是 DF 的中点，
∴DG=FG，
∵EF∥DC，
∴∠GDM=∠GFE，∠GMD=∠GEF，
在 △GMD 和 △GEF，
∵∠GDM=∠GFE,∠GMD=∠GEF,DG=FG,
∴△GMD≅△GEFAAS，
∴EF=MD，
∴BC=EF=MD，
∵DC=BE，
∴DC−MD=BE−BC，即 CM=CE，
∵∠MCE=90∘，
∴∠BEG=45∘，
∴∠BEG 的正切值是 1．
第三部分
19. （1） ∵a=−1<0，
∴ 函数图象的开口向下，
∵y=−x−1x−3=−x2+4x−3=−x−22+1，
∴ 顶点坐标是：2,1，
∵ 抛物线的对称轴是：直线 x=2，
∴ 当 x≤2，y 随 x 的增大而增大，当 x≥2，y 随 x 的增大而减小．
（2） 当 x=−1,0,1,2,3,4 时，y=−8,−3,0,1,0,−3；如图所示：
20. （1） 作 DM⊥AB，垂足为 M，
∵ 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC=90∘，
∴ 四边形 BCDM 是矩形，
∴BM=CD=2，AM=AB−BM=6−2=4，
∵∠BAD=45∘，
∴△AMD 是等腰直角三角形，
∴DM=AM=4，AD=42，BC=DM=4，
∴tan∠CBD=CDBC=24=12，
∵AE⊥BD，
∴∠BEF+∠EBF=90∘，
∵∠BEF+∠BAE=90∘，
∴∠EBF=∠BAE，
∴tan∠BAE=12，
设 BF=x，则 AF=2x，
∵ 在 Rt△ABF 中，BF2+AF2=AB2，
∴x2+2x2=62，
解得：x=655，
∴AF=2x=1255，
∴∠DAE 的余弦值 =AFAD=125542=31010．
（2） ∵AB=6，tan∠BAE=12，
∴BE=3，
∵BC=4，
∴BE=34BC，
即：BE=34BC=34b，
∵CD=2，AB=6，AB∥CD，
∴AB=3DC=3a，
∵AE=AB+BE=3a+34b．
21. （1） 连接 AC，
∵E 是弧 BC 的中点，C 是弧 AE 的中点，
∴弧AC=弧CE=弧BE，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠B=30∘，∠ACB=90∘，∠A=60∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=30∘，
∴AD:AC:AB=1:2:4，
∴AD:DB=1:3；
（2） ∵⊙O 的直径 AB=6，
∴OE=3，
∵FO:EF=1:2，
∴FO=1，
∵E 是弧 BC 的中点，
∴OE⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OE，
∴AC=2OF=2，
∴BC=AB2−AC2=62−22=42，
∵CD⊥AB，
∴CD=AC⋅BCAB=2×426=423．
22. （1） 连接 MN，交 PC 于点 O，如图 1．
∵PM=PN=CM=CN=50，
∴ 四边形 MPNC 是菱形，
∴MN⊥CP，CO=PO，
∵∠CPN=53∘，
∴PO=PN⋅cs53∘=50×0.6=30，
∴PC=2PO=2×30=60，
∵BC=20，
∴BP=PC−BC=60−20=40（厘米）．
（2） 连接 MN，交 PC 于点 O，作 EH⊥CD，垂足是 H，如图 2．
∵ 四边形 MPNC 是菱形，
∴CO=BO=12BC=12×20=10，MO⊥BC，
∵EH⊥CD，
∴MO∥EH，
∴CMCE=COCH，即 50120=10CH，
∴CH=24，
∴DH=CD−CH=220−24=196（厘米），
即：点 E 到地面 GQ 的距离是 196 厘米．
23. （1） ∵ 在平行四边形 ABCD 中，
∴AD∥BC，
∴∠FCE=∠CED，
∵CE2=DE⋅CF，
∴CFEC=ECDE，
∴△FCE∽△CED，
∴∠D=∠CEF．
（2） ∵AC 平分 ∠ECF，
∴∠ACE=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAE，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∵∠D=∠CEF，
∴△ECG∽△DAC，
∴ECDA=CGAC，
∴AC⋅EC=DA⋅CG，
∵DA=CB，
∴AC⋅AE=CB⋅CG．
24. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A2,−3 和点 B5,0，
∴−3=4+2b+c,0=25+5b+c, 解得：b=−6,c=5,
∴ 抛物线的表达式是 y=x2−6x+5，即 y=x−32−4，
∴C3,−4．
（2） ∵ 抛物线的对称轴是：直线 x=3，点 A 关于抛物线对称轴的对应点为点 D，
∴ 点 D 的坐标 4,−3，
∴OD=42+−32=5，
∵OB=5，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
过点 D 作 DE⊥x 轴，则 DE=3，BE=5−4=1，
∴tan∠ODB=tan∠OBD=DEBE=3．
（3） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 向上平移 tt>0 个单位，使顶点 C 落在点 E 处，点 B 落在点 F 处，
∴E3,−4+t，F5,t，
∴BE=5−32+−4+t−02=4+−4+t2，BF=t，
∵BE=BF，
∴4+−4+t2=t，解得 t=52．
25. （1） ① 作 EM⊥AB，DN⊥AB，如图 1，
因为 tanA=2，
所以 EM:AM:AE=2:1:5，DN:AN:AD=2:1:5，
因为 AE=m，
所以 EM=m5×2=255m，DN=55×2=2，
因为 EF⊥AD，
所以 tanA=EFAE=2，即：EF=2m，AF=5m ，
所以
S△CEF=SAFCD−S△AEF−S△DCE=125m+5×2−12×m×2m−12×5×2−255m,
即：S△CEF=−m2+25m．
② 因为在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，
所以 △AEF∽△BGF，
所以 S△BGFS△AEF=BFAF2=5−5m25m2，
所以
S△BGF=5−5m25m2⋅m2=5m2−105m+255=m2−25m+5,
因为 S△DCE=12×5×2−255m=5−5m，
所以当 S△DCE=4S△BFG 时，5−5m=4×m2−25m+5，
解得：m1=345，m2=5（舍），
所以 AE=345，DE=5−345=145，
所以 AE:ED=3:1．
（2） 因为 ∠AEF=∠FGC=90∘，
所以 △AEF 与 △CFG 相似，分两种情况讨论：
① 当 △AEF∽△FGC 时，如图 2，
所以 ∠AFE=∠FCG，
因为 ∠AFE+∠GBF=90∘，
所以 ∠FCG+∠GBF=90∘，
所以 ∠BFC=90∘，
所以 BF:CF:BC=1:2:5，
因为 BC=AD=5，
所以 BF=1，
所以 AF=AB+BF=5+1=6，
因为 AE:EF:AF=1:2:5，
所以 AE=6÷5=655，
即：m=655．
②当 △AEF∽△CGF 时，如图 3，
所以 ∠AFE=∠CFG，
在 △BFG 和 △CFG 中，
因为 ∠AFE=∠CFG,GF=GF,∠BGF=∠CGF,
所以 △BFG≌△CFGASA，
所以 BG=CG=12CD=52，
因为 BG:GF:BF=1:2:5，
所以 BF=52，
所以 AF=5+52=152，
因为 AE:EF:AF=1:2:5，
所以 AE=152÷5=325，
即：m=325，
综上所述：m=655或325．