2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳市高级中学八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区深圳市高级中学八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即 2019 新型冠状病毒．截止到 2021 年 1 月 1 日 8 时 36 分，全球新冠肺炎累计确诊病例突破 8366 万例．将 8366 万用科学记数法可表示为
A. 8.366×107B. 0.8366×108C. 8.366×108D. 83.66×106

2. 若 x=2,y=1 是关于 x，y 的方程 2x+ay=6 的解，则 a 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

3. 若点 A−2,n 在 x 轴上，则点 Bn+1,n−3 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 一幅三角板按如图所示放置，AB∥DC，则 ∠CAE 的度数为
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘

5. 一个数的两个平方根分别是 2a−1 与 −a+2，则这个数是
A. −1B. 3C. 9D. −3

6. 如图，△ABC 中，AB=10，边 BC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，BC 于 E，D，且 AC=6，则 △ACE 的周长为
A. 16B. 18C. 22D. 26

7. 如图， AB∥CD ， BE 和 CE 分别平分 ∠ABC 和 ∠BC ， AD 过点 E ，且与 AB 互相垂直，点 P 为线段 BC 上一动点，连接 PE ．若 AD=8 ，则 PE 的最小值为
A. 8B. 6C. 5D. 4

8. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来，当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用 S1，S2 分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是
A. B.
C. D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y=−x+5 分别交 y 轴、 x 轴与点 A，B，若点 C 是坐标轴上的点，且 △ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 有
A. 9 个B. 8 个C. 7 个D. 4 个

10. 关于 x 的不等式组 3x>2x+1,2−x>a 有四个整数解，则 a 的取值范围是
A. −4≤a<−3B. −4C. −3≤a<−2D. 3≤a<4

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在平面直角坐标系中，点 Aa,2 与点 B5,b 关于原点对称，则 ab= ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx 和 y=mx+n 的图象如图所示，则关于 x 的一元一次不等式 kx−n>mx 的解集是 ．

13. 对 x，y 定义一种新运算“⋇”，规定：x⋇y=mx+ny（其中 m，n 均为非零常数），若 1⋇1=4，1⋇2=3．则 2⋇1 的值是 ．
A．3 B．5 C．9 D．11

14. 如图，直线 y=33x 上有点 A1，A2，A3，⋯，An+1，且 OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n，分别过点 A1，A2，A3，⋯，An+1 作直线 y=33x 的垂线，交 y 轴于点 B1，B2，B3，⋯，Bn+1，依次连接 A1B2，A2B3，A3B4，⋯，AnBn+1，得到 △A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，⋯，△AnBnBn+1，则 △A4B4B5 的面积为 ．

15. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC=105，BD，CE 为 △ABC 的两条中线，且 BD⊥CE 于点 N，M 为线段 BD 上的动点，则 AM+EM 的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算：−22+36−3−27−∣5−2∣．

17. 解方程组及不等式组．
（1）3x−5y=7,4x+2y=5.
（2）x−3x−2≥4,1+2x3>x−1.

18. 如图所示，在四边形 ABDC 中，∠A=90∘，AB=9，AC=12，BD=8，CD=17．
（1）连接 BC，求 BC 的长．
（2）判断 △BCD 的形状，并说明理由．

19. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调査，并根据调査结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并通过计算补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数．
（3）该校共有学生 5400 人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．

20. 肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品，在某超市购买 2 只普通医用口罩和 3 只 N95 口罩的费用是 22 元；购买 5 只普通医用口罩和 2 只 N95 口罩的费用也是 22 元．
（1）求该超市普通医用口罩和 N95 口罩的单价．
（2）若准备在该超市购买两种口罩共 50 只，且 N95 口罩不少于总数的 40%，试通过计算说明，在预算不超过 190 元的情况下有哪些购买方案．

21. 如图，在等边 △ABC 中，AB=AC=BC=10 厘米，DC=4 厘米，如果点 M 以 3 厘米/秒的速度运动．
（1）如果点 M 在线段 CB 上由点 C 向点 B 运动，点 N 在线段 BA 上由 B 点向 A 点运动，它们同时出发，若点 N 的运动速度与点 M 的运动速度相等．
①经过 2 种后，△BMN 和 △CDM 是否全等?请说明理由．
②当两点的运动时间为多少秒时，△BMN 刚好是一个直角三角形．
（2）若点 N 的运动速度与点 M 的运动速度不相等，点 N 从点 B 出发，点 M 以原来的运动速度从点 C 同时出发，都顺时针沿 △ABC 三边运动，经过 25 秒时点 M 与点 N 第一次相遇，则点 N 的运动速度是 厘米/秒．（直接写出答案）

22. 如图，直线 y=−x−4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 C，点 B0,2 在 y 轴上，连接 AB，点 P 为直线 AB 上一动点．
（1）直线 AB 的解析式为 ．
（2）若 S△APC=S△AOC，求点 P 的坐标．
（3）当 ∠BCP=∠BAO 时，求直线 CP 的解析式及 CP 的长．
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】∵x=2,y=1 是关于 x，y 的方程 2x+ay=6 的解，
∴4+a=6，
解得：a=2．
3. D【解析】若点 A−2,n 在 x 轴上，则 n=0，
所以 n+1=1>0，n−3=−3<0，
根据坐标点横纵坐标的正负情况可知，
点 1,−3 在第四象限，
即点 Bn+1,n−3 在第四象限．
4. B【解析】∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠AED=45∘，
∴∠BAE=45∘，
∵∠BAC=30∘，
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=45∘−30∘=15∘.
5. C
【解析】由题意得：2a−1−a+2=0，
解得：a=−1，
2a−1=−3，−a+2=3，
则这个正数为 9．
6. A【解析】∵DE 是线段 BC 的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴△ACE的周长=AE+EC+AC=AE+EB+AC=AB+AC=16.
7. D【解析】∵BE 和 CE 分别平分 ∠ABC 和 ∠BCD ，
∴∠EBC=12ABC ， ∠ECB=12DCB ，
∵AB∥CD ，
∴∠ABC+∠DCB=180∘ ，
∴∠EBC+∠ECB=12×180∘=90∘ ，
∴∠BEC=180∘−∠EBC+∠ECB=90∘ ，
要使 PE 取最小值，只要 BC 最小即可，
此时 BC⊥AB ， BC⊥CD ，
∠PBE=∠PCE=45∘ ，
∴BE=CE ，
即 △CEB 是等腰直角三角形，
当 PE⊥BC 时， PE 最短，
∴P 为 BC 的中点，
∵∠BEC=90∘ ，
∴PE=BC ，
当 BC⊥CD 时， BC 最小，
此时 BC=AD=8 ，
∴PE 最小值是 8=4 ．
8. C【解析】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加；对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，同时到达终点．
9. C【解析】y=−x+5 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，
∴A0,5，B5,0，则 OA=OB=5．
当点 C 在坐标原点时，△ABC 为等腰三角形，
当点 B 为等腰 △ABC 顶点时，以点 B 为圆心，BA 长为半径画圆与坐标轴交于点 C1，C2，C3，
则 △ABC1，△ABC2，△ABC3 均为等腰三角形，
当点 A 为等腰 △ABC 顶点时，以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆，
与坐标轴交于点 C4，C5，C6，
则 △ABC4，△ABC5，△ABC6 均为等腰三角形，
∴1+3+3=7，
则满足条件的点 C 有 7 个．
故选C．
10. A
【解析】3x>2x+1, ⋯⋯①2−x>a, ⋯⋯②
由①可得：x>1，
由②可得：x<2−a，
由以上可得不等式组的解集为：1因为不等式组 3x>2x+1,2−x>a 有四个整数解，
所以可得：5<2−a≤6，
解得：−4≤a<−3．
第二部分
11. 10
【解析】∵ 点 Aa,2 与点 B5,b 关于原点对称，
∴a=−5，b=−2，
∴ab=10．
12. x>1
【解析】由函数图象可知：kx>mx+n 的解集为 x>1，
故 kx−n>mx 的解集为 x>1．
13. C
【解析】∵1⋇1=4，1⋇2=3，
∴m+n=4,m+2n=3,
解得：m=5,n=−1,
则 x⋇y=5x−y，
∴2⋇1=2×5−1=9．
14. 1203
【解析】∵ 直线 OAn 的解析式 y=33x，
∴∠AnOBn=60∘，
∵OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n，
∴A1B1=3，A2B2=33，A3B3=73，
设 S=1+2+4+⋯+2n−1，则 2S=2+4+8+⋯+2n，
∴S=2S−S=2+4+8+⋯+2n−1+2+4+⋯+2n−1=2n−1，
∴AnBn=2n−13，
∴S△AnBnBn+1=12AnBn⋯AnAn+1=12×2n−13×2n=22n−1−2n−13,
S△A4B4B5=27−233=1203．
15. 513
【解析】如图 1 所示，连接 ED，
∵BD，CE 是 △ABC 的两条线中线，
∴ 点 E，D 分别是 AB，AC 的中点，
∴DE 为 △ABC 的中位线，即 ED∥BC 且 ED=12BC，
由 AB=AC，
∠ABC=∠ACB，
在 △ABD 与 △ACE 中，
AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,
∴△ABD≌△ACESAS，即 ∠ABD=∠ACE，
∴∠NBC=∠NCB，
∵BD⊥CE，
∴∠BNC=90∘，
∴∠NBC=∠NCB=45∘，
故 △BNC 为等腰直角三角形，则 NB=NC，
∵ 点 N 是两条中线的交点，
∴CN=2EN，
∴BN=2EN，
在 Rt△ENB 中，EN2+BN2=BE2，
∴5EN2=12AB2，
∵AB=105，
∴EN=5，BN=10，
过点 A 作 BD 的对称点 G，连接 AG，
连接 EG，EG 交 BD 于点 M，此时 AM+EM，
取得最小值为 EG 的长，
延长 BD 交 AG 于点 H，
过点 G 作 GK⊥AB 于点 K，
∵BH 垂直平分 AG，CE⊥BD，
∴CE∥AG，AB=BG=105，
∵AE=BE=55，
∴BN=NH=10，AH=2EN=10，
∴AH=HG=10，AG=20，BH=20，
∴S△ABG=12AG⋅BH=12×20×20=200，
∴GK⊥AB，
∴S△ABG=12AB⋅GK=200，
∴GK=85，
∴BK=BG2−GK2=65，
∴EK=BK−BE=5，
∴EG=KG2+EK2=513，
∴AM+EM 的最小值为 513．
第三部分
16. 原式=−4+6+3−5+2=7−5.
17. （1）
3x−5y=7, ⋯⋯①4x+2y=5. ⋯⋯②
① ×2+ ② ×5 得：
26x=39,
解得：
x=1.5,
把 x=1.5 代入①得：
4.5−5y=7,
解得：
y=−0.5.
所以方程组的解是：
x=1.5,y=−0.5.
（2）
x−3x−2≥4, ⋯⋯①1+2x3>x−1. ⋯⋯②
解不等式①得：
x≤1,
解不等式②得：
x<4,
所以不等式组的解集是 x≤1．
18. （1） 因为 ∠A=90∘，
所以 BC=AB2+AC2=92+122=15．
（2） △BCD 是直角三角形．
因为 BC2=152=225，
BD2=82=64，
CD2=172=289，
所以 BC2+BD2=CD2=289，
所以 △BCD 是直角三角形．
19. （1） 在线听课的占 40%，
则在线答题 + 在线讨论 + 在线阅读占 1−40%=60%．
又在线阅读的人数为 24，在线答题的人数为 18，在线讨论的人数为 12，
所以本次调查的学生总人数为 24+18+12÷60%=90 人．
在线听课的人数有：90−24−18−12=36（人），补全统计图如下：
（2） “在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是 360∘×1290=48∘．
（3） 根据题意得：
5400×2490=1440（人）．
答：估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有 1440 人．
20. （1） 设普通医用口罩的单价为 x 元，N95 口罩单价为 y 元，依题意有
2x+3y=22,5x+2y=22,
解得
x=2,y=6.
故普通医用口罩的单价为 2 元，N95 口罩单价为 6 元．
（2） 设购买普通医用口罩 z 个，则购买 N95 口罩 50−z 个，依题意有
50−z≥50×40%,2z+650−z≤190,
解得
27.5≤z≤30.
故购买方案有 3 个：
①购买普通医用口罩 28 个，购买 N95 口罩 22 个；
②购买普通医用口罩 29 个，购买 N95 口罩 21 个；
③购买普通医用口罩 30 个，购买 N95 口罩 20 个．
21. （1） ① △BMN≌△CDM．
∵vN=vM=3 厘米/秒，且 t=2 秒，
∴CM=2×3=6cm，
BN=2×3=6cm，
BM=BC−CM=10−6=4cm，
∴BN=CM，
∵CD=4cm，
∴BM=CD，
∵∠B=∠C=60∘，
∴△BMN≌△CDMSAS．
②设运动时间为 t 秒，△BMN 是直角三角形有两种情况：
Ⅰ．当 ∠NMB=90∘ 时，
∵∠B=60∘，
∴∠BNM=90∘−∠B=90∘−60∘=30∘．
∴BN=2BM，
∴3t=2×10−3t，
∴t=209 秒；
Ⅱ．当 ∠BNM=90∘ 时，
∵∠B=60∘，
∴∠BMN=90∘−∠B=90∘−60∘=30∘．
∴BM=2BN，
∴10−3t=2×3t，
∴t=109（秒）．
∴ 当 t=209 秒或 t=109 时，△BMN 是直角三角形．
（2） 3.8 或 2.6
【解析】分两种情况讨论：
①．若点 M 运动速度快，则 3×25−10=25vN，解得 vN=2.6；
②．若点 N 运动速度快，则 25vN−20=3×25，解得 vN=3.8．
22. （1） y=12x+2
【解析】∵ 直线 y=−x−4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 C，
∴ 点 A−4,0, 点 C0,−4，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
由题意可得：b=2,0=−4k+b,
解得：k=12,b=2,
∴ 直线 AB 的解析式 y=12x+2．
（2） ∵ 点 A−4,0，点 C0,−4，点 B0,2，
∴OA=OC=4，OB=2，
∴BC=6，
设点 Pm,12m+2，
当点 P 在线段 AB 上时，
∵S△APC=S△AOC，
∴S△ABC−S△PBC=12×4×4，
∴12×6×4−12×6×−m=8，
∴m=−43，
∴ 点 P−43,43，
当点 P 在 BA 的延长线上时，
∵S△APC=S△AOC，
∴S△PBC−S△ABC=12×4×4，
∴12×6×−m−12×6×4=8，
∴m=−203，
∴ 点 P−203,−43．
综上所述：点 P 坐标为 −43,43 或 −203,43．
（3） 如图，当点 P 在线段 AB 上时，设 CP 与 AO 交于点 H，
在 △AOB 和 △COH 中，
∠AOB=∠COH,AO=CO,∠BAO=∠PCB,
∴△AOB≌△COHASA，
∴OH=OB=2，
∵ 点 H 坐标为 −2,0，
设直线 PC 解析式 y=ax+c，
由题意可得 c=−4,0=−2a+c,
解得：a=−2,c=−4,
∴ 直线 PC 解析式为 y=−2x−4，
联立方程组得：y=−2x−4,y=12x+2,
解得：x=−125,y=45,
∴ 点 P−125,45，
∴CP=−125−02+45+42=1255，
当点 P 在 AB 延长线上时，设 CPʹ 与 x 轴交于 Hʹ，
同理可求直线 PʹC 解析式为 y=2x−4，
联立方程组 x=4,y=4,
∴ 点 P4,4，
∴CP=4−02+4+42=45．
综上所述：CP 的解析式为：y=−2x−4 或 y=2x−4；
CP 的长为 1255 或 45．