2020-2021学年广东省深圳市福田区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区九上期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，主视图为矩形的是
A. B.
C. D.

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=2BC，则 csA 的值是
A. 22B. 2C. 12D. 32

3. 在一只不透明的口袋中放入红球 5 个，黑球 1 个，黄球 n 个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为 13，则放入口袋中的黄球总数 n 是
A. 3B. 4C. 5D. 6

4. 将抛物线 y=x2−2x+3 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后，得到抛物线的解析式为
A. y=x−12+5B. y=x−32+5
C. y=x+22+6D. y=x−42+6

5. 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F，若 ABBC=32，则 EFDF 的值为
A. 32B. 35C. 25D. 52

6. 如图，矩形 ABCD 的周长是 10 cm，以 AB，AD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和为 17 cm2，那么矩形 ABCD 的面积是
A. 3 cm2B. 4 cm2C. 5 cm2D. 6 cm2

7. 下列说法正确的是
A. 对角线垂直的平行四边形是矩形
B. 方程 x2+4x+16=0 有两个相等的实数根
C. 抛物线 y=−x2+2x+3 的顶点为 1,4
D. 函数 y=−2x，y 随 x 的增大而增大

8. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于点 P，则 tan∠APD 的值为
A. 2B. 5C. 3D. 6

9. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y=abx 与正比例函数 y=2a+cx 在同一坐标系内的大致图象是
A. B.
C. D.

10. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 DC 边上，且 CE=2DE，连接 AE 交 BD 于点 G，过点 D 作 DF⊥AE，连接 OF 并延长，交 DC 于点 P，过点 O 作 OQ⊥OP 分别交 AE，AD 于点 N，H，交 BA 的延长线于点 Q，现给出下列结论：① ∠AFO=45∘；② OG=DG；③ DP2=NH⋅OH；④ sin∠AQO=55；其中正确的结论有
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知 2x=3y，那么 x−yx+y 的值为 ．

12. 一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同．每次摸出 1 个球，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在 0.4 附近摆动，据此估计摸到红球的概率约为 ．

13. 如图所示，坡面 CD 的坡比为 1:3，坡顶的平地 BC 上有一棵小树 AB，当太阳光线与水平线夹角为 60∘ 时，测得小树在坡项平地上的树影 BC=3 米，斜坡上的树影 CD=3 米，则小树的高是 ．

14. 如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接 OE，设 AC=12，BD=16，则 OE 的长为 ．

15. 如图，直线 y=12x+4 与 x 轴、 y 轴交于 A，B 两点，AC⊥AB，交双曲线 y=kxx<0 于 C 点，且 BC 交 x 轴于 M 点，BM=2CM，则 k= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算：8+12−2−−20200−4cs45∘．

17. 福田区某学校九年级数学课外小组为调查学校放学后学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐公交车，C：乘坐地铁，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．
（1）本次调查中一共调查了 名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是 度．
（2）请补全条形统计图．
（3）若甲、乙两名学生放学时从A，B，C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．

18. 深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面 30 米的点 D 处，操控者站在点 A 处，无人机测得点 A 的俯角为 30∘，测得教学楼楼顶点 C 处的俯角为 45∘，又经过人工测量得到操控者和教学楼 BC 的距离为 57 米，求教学楼 BC 的高度．3≈1.7

19. 深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利 100 元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为 81 元，平均每天可售出 20 件．
（1）求平均每次降价的百分率．
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价 1 元，每天可多售出 2 件．若商场每天要盈利 2940 元，每件应降价多少元?

20. 如图 1，一次函数 y=kx−3k≠0 的图象与 y 轴交于点 B，与反比例函数 y=mxx>0 的图象交于点 A8,1．
（1）k= ；m= ．
（2）点 C 是线段 AB 上一点（不与 A，B 重合），过点 C 作 y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点 D，连接 OC，OD，AD，当四边形 OCAD 的面积等于 24 时，求点 C 的坐标．
（3）在（2）的前提下，将 △OCD 沿射线 BA 方向平移一定的距离后，得到 △OʹCʹDʹ，若点 O 的对应点 Oʹ 恰好落在该反比例函数图象上（如图 2），请直接写出此时点 D 的对应点 Dʹ 的坐标．

21. 如图 1，直线 AB：y=−12x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 为线段 OA 上一动点（与点 O，A 不重合），作 PC⊥AB 于点 C，连接 BP 并延长，作 AD⊥BP 于点 D．
（1）求 tan∠BAO 的值．
（2）当 △BOP 与 △ABD 相似时，求出点 P 的坐标．
（3）如图 2，连接 OC，当点 P 在线段 OA 上运动时，问：OCBP 的值是否为定值?如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由．

22. 如图 1，抛物线 y=14x2+bx+c 与 x 轴负半轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，与 y 轴的负半轴交于点 C，OC=OB=10．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点 P，Q 在第四象限内抛物线上，点 P 在点 Q 下方，连接 CP，CQ，∠OCP+∠OCQ=180∘，设点 Q 的横坐标为 m，点 P 的横坐标为 n，求 m 与 n 的函数关系式．
（3）如图 2，在（2）的条件下，连接 AP 交 CO 于点 D，过点 Q 作 QE⊥AB 于点 E，连接 BQ，DE，是否存在点 P，使 ∠AED=2∠EQB，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】A选项：A选项所示几何体的主视图为矩形，故A正确；
B选项：B选项所示几何体的主视图为等腰梯形，不是矩形，故B错误；
C选项：C选项所示几何体的主视图为等腰梯形，不是矩形，故C错误；
D选项：D选项所示几何体的主视图为等腰三角形，不是矩形，故D错误．
2. D【解析】Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=2BC，
∴sinA=BCAB=12，
∴∠A=30∘，
∴csA=cs30∘=32．
3. A【解析】根据题意可得：
n5+1+n=13，
3n=6+n，
2n=6，
n=3．
4. B【解析】将 y=x2−2x+3 化为顶点式，得 y=x−12+2，
将抛物线 y=x2−2x+3 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 y=x−32+5．
故选B．
5. C
【解析】因为 l1∥l2∥l3，
所以 ABBC=DEEF=32，
所以 EFDF=25，
故选C．
6. B【解析】设 AB=x cm，AD=5−xcm，
则正方形 ABEF 的面积为 x2 cm2，
正方形 ADGH 的面积为 5−x2 cm2，
根据题意得 x2+5−x2=17，
整理得 x2−5x+4=0，
解之得 x1=4，x2=1（不符合题意，舍去），
所以 AB=4 cm，AD=1 cm，
综上可求矩形 ABCD 的面积是 4 cm2．
7. C【解析】A选项：对角线垂直的平行四边形是菱形，故A错误；
B选项：方程 x2+4x+16=0 中，Δ=42−4×1×16<0，方程无实数根，故B错误；
C选项：抛物线 y=−x2+2x+3=−x−12+4，顶点 1,4，故C正确；
D选项：函数 y=−2x 中，k=−2<0，在各象限内，y 随 x 的增大而增大，故D错误．
8. A【解析】如图，连接 BE，
∵ 四边形 BCED 是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，
CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP:CP=BD:AC=1:3，
∴DP:DF=1:2，
∴DP=PF=12CF=12BF，
在 Rt△PBF 中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
9. B【解析】根据图中二次函数，开口向下，故 a<0，
对称轴 x=−b2a=12>0，
其中 a<0，
故 −2a>0，
∴b>0，
将 x=0 代入 y=ax2+bx+c 中，知 c>0，
故 ab<0，
即反比例函数应该在二、四象限，故A，D不对；
由对称轴 x=−b2a=12 知 b=−a，
当 x=−1 时，
代入 y=ax2+bx+c，
得 y=a−b+c=a−−a+c=2a+c，
由图知此时 y<0，
故 2a+c<0，
∴ 函数 y=2a+cx 应该在二四象限且过原点，
故B对，C不对．
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，∠ADC=90∘，
∴OA=OD，∠OAD=∠ODA=∠ODC=∠OAB=45∘，∠AOD=90∘，
∵OQ⊥OP，
∴∠POQ=90∘，
∴∠POQ=∠AOD，
∴∠POQ−∠QOD=∠AOD−∠QOD，
即 ∠DOF=∠AON，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90∘，
∴∠FAD+∠ADF=90∘，
∵∠ADF+∠FDE=90∘，
∴∠FAD=∠FDE，
∵∠FAD+∠OAN=45∘，∠FDE+∠ODF=45∘，
∴∠OAN=∠ODF，
在 △OAN 和 △ODF 中，
∠OAN=∠ODF,OA=OD,∠AON=∠DOF,
∴△OAN≌△ODFASA，
∴ON=OF，AN=DF，
∵∠NOF=90∘，
∴∠AFO=∠ONF=45∘，故①正确；
在 △OAH 和 △ODP 中，
∠AOH=∠DOP,OA=OD,∠OAH=∠ODP=45∘,
∴△OAH≌△ODPASA，
∴AH=DP，
∵∠AOH+∠OAN=∠ONF=45∘，
∠NAH+∠OAN=∠OAD=45∘，
∴∠AOH=∠NAH，
∵∠AHN=∠OHA，
∴△AHN∽△OHA，
∴AHOH=NHAH，
∴AH2=NH⋅OH，
∴DP2=NH⋅OH，故③正确；
∵AB∥CD，AB=CD，
∴△ABG∽△EDG，
∴BGDG=ABED=CDED，
∵CE=2DE，CE+DE=CD，
∴CDED=3，
∴BGDG=3，
∴BG=3DG，
设 DG=a，则 BG=3a，
∴BD=BG+DG=4a，
∴OB=OD=12BD=2a，
∴OG=OD−DG=a，
∴DG=DG，故②正确；
过 O 作 OK⊥NF 于 H，
∵ON=OF，∠NOF=90∘，
∴OK=KN=FK=12NF，
∵OK⊥NF，DF⊥AE，
∴∠OKG=∠DFG=90∘，
在 △OKG 和 △DFG 中，
∠OKG=∠DFG,∠OGK=∠DGF,OG=DG,
∴△OKG≌△DFGAAS，
∴OK=DF，
∵AN=DF，
∴OK=AN，
∴OK=AN=KN，
设 OK=AN=KN=b，
则 AK=2b，
在 Rt△AKO 中，AO=AK2+OK2=5b，
∴sin∠OAK=OKAO=b5b=55，
∵∠OAK+∠AON=45∘，
∠AQO=∠AON=∠OAB=45∘，
∴∠AQO=∠OAK，
∴sin∠AQO=sin∠OAK=55，故④正确．
综上：①②③④正确．
第二部分
11. 15
【解析】∵2x=3y，
∴x=32y，
∴x−yx+y=32y−y32y+y=12y52y=15．
12. 0.6
【解析】∵ 不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在 0.4 附近摆动，
∴ 估计摸到红球的概率约为 1−0.4=0.6．
13. 43 米
【解析】
如图所示，过点 D 作 DF∥BC，交 AB 的延长线于点 F．
过点 C 作 CE⊥DF，垂足为 E，则四边形 BCEF 为矩形，
∴ EF=BC，BF=CE．
在 Rt△CDE 中，设 CE=x 米 x>0，
∵ 坡面 CD 的坡比为 1:3，
∴ DE=3x 米．
在 Rt△CDE 中，CE2+DE2=CD2，
∴ x2+3x2=32，
∴ x=32，
∴ CE=32 米，ED=32 米．
又 BC=3 米，
∴ EF=3 米，
∴ FD=FE+ED=3+32=92（米）．
∵ 太阳光线与水平线夹角为 60∘，
∴ ∠ADF=60∘．
在 Rt△ADF 中，tan∠ADF=AFFD，
∴ AF=FDtan∠ADF=92×tan60∘=932（米）．
∴ AB=AF−BF=AF−CE=932−32=43（米）．
14. 10
【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 OCED 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=6，OB=OD=12BD=8，
∴∠DOC=90∘，
∴ 四边形 OCED 是矩形，
∴OE=CD，
在 Rt△DOC 中，CD=OC2+OD2=62+82=10，
∴OE=10．
15. 14
【解析】如图所示，过 C 点作 CD⊥x 轴交于点 D，
由题意得：yA=0，xB=0 代入 y=12x+4 中，
得 xA=−8，yB=4，
∴A−8,0，B0,4，
∴OA=8，OB=4，
∵CD⊥DA，
∴∠CDM=90∘，
又 ∵∠BOM=90∘，
∴∠BOM=∠CDM，
又 ∵∠BMO=∠CMD（对顶角），
∴Rt△CDM∼Rt△BOM，
∴CDDB=CMBM，
又 ∵BM=2CM，
∴CDDB=12，
∴CD=12DB=12×4=2，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAD=90∘，
又 ∵∠CDA=90∘CD⊥DA，
∴∠CAD+∠ACD=90∘，
∴∠BAO=∠ACD，
∴Rt△ABD∼Rt△CAD，
∴OBAD=OACD，即 4AD=82，
∴AD=1，
∴OD=OA−AD=8−1=7，
∴xC=xD=−7，yC=−2，
∴C−7,−2，
将 C−7,−2 代入 y=kx 中得，−2=k−7，
∴k=14．
第三部分
16. 原式=22+4−1−4×22=22+3−22=3.
17. （1） 200；72
【解析】60÷30%=200（名），
∴ 本次调查共调查了 200 名学生，
E选项对应的扇形圆心角为：360∘×40200=72∘；
（2） C选项对应的人数为：200−20−60−30−40=50（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）
∴ 共有 9 种等可能的选择方式，
其中甲、乙两名学生选择同一种交通工具放学有 3 种方式，
∴ 甲、乙两名学生选择同一种交通工具放学的概率为 39=13．
18. 过点 D 作 DE⊥AB 于 E，过点 C 作 CF⊥DE 于 F，
由题意得，AB=57，DE=30，∠DAB=30∘，∠DCF=45∘，
在 Rt△ADE 中，∠DAB=30∘，
∴AE=3DE=303，
∵AB=57，
∴BE=AB−AE=57−303，
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴ 四边形 BCFE 为矩形，
∴CF=BE=57−303，
在 Rt△DFC 中，∠CDF=45∘，
∴DF=CF=57−303，
∴BC=EF=DE−DF=30−57−303=24，
答：教学楼 BC 的高度约为 24 米．
19. （1） 设平均每次降价百分率为 x，
由题意得：
1001−x2=81,1−x2=0.81,1−x=±0.9,x1=0.1=10%,x2=1.9舍去.
答：平均每次降价百分率为 10%．
（2） 设每件应降价 y 元，
由题意得：
81−y20+2y=2940,y2−71y+660=0,y−11y−60=0,y1=11,y2=60,
为了扩大销售，减少库存，
∴y=60．
答：每件应降价 60 元．
20. （1） 12；8
【解析】A8,1 在 y=mx 上，故 8×1=m，
A8,1 在 y=kx−3 上，故 1=8k−3，
故 k=12，
所以 k=12，m=8．
（2） 设 Cx,12x−3，则 Dx,8x，
所以
S四边形OCAD=S△OCD+S△CDA=8x−12x+3⋅x⋅12+128x−12x+3×8−x=24,
所以 8x−12x+3=6，
解得 x=2（x=−8 舍去），
所以 C2,−2．
（3） Dʹ6,6．
【解析】由平移可知，OOʹ∥AB，
所以 lOOʹ:y=12x，OOʹ 交曲线于 Oʹ，
所以 y=12x,y=8x,
所以 Oʹ4,2，
所以 Dʹ6,6．
21. （1） ∵ 直线 AB：y=−12x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴x=0 时，y=4，即 B 点坐标为 0,4，
y=0 时，x=8，即 A 点坐标为 8,0，
∴OB=4，OA=8，
又 ∠AOB=90∘，
∴tan∠BAO=OBOA=48=12，
故 tan∠BAO 的值为 12．
（2） ∵AD⊥BP 于点 D，
∴∠ADB=90∘，则 ∠ADB=∠POB=90∘，
又 ∠OPB=∠ABD+∠OAB>∠ABD，
当 △BOP 与 △ABD 相似时，∠OPB=∠DAB，
∴∠OBP=∠DBA，即 BP 平分 ∠ABO，
又 PC⊥AB，则 PC=PO，
设 OP=t，则 PC=t，AP=OA−OP=8−t，
由（1）可知，tan∠BAO=PCAC=12，则 AC=2t，
Rt△ACP 中由勾股定理可得，AP2=PC2+AC2，
则 8−t2=t2+2t2，4t2+16t−64=0，
∴t2+4t−16=0，解得：t=−2±25，
又 OP=t>0，则 t=−2+25，
故点 P 坐标为 −2+25,0．
（3） 设 P 点坐标为 m,0，
∵PC⊥AB，直线 AB 为：y=−12x+4，
∴ 直线 PC 解析式为 y=2x−m=2x−2m，
联立 y=2x−2m,y=−12x+4,
∴52x=2m+4，即 x=4m+85，
y=2x−2m=8m+165−2m=−2m+165，
∴C 点坐标为 4m+85,−2m+165，
∴OC2=4m+85−02+−2m+165−02=1625m+22+425m−82=16m2+64m+64+4m2−64m+64×425=20m2+64×525=4m2+645,
BP2=m−02+0−42=m2+16，
∴OCBP2=OC2BP2=4m2+645m2+16=45，
又 OC>0，BP>0，
∴OCBP=255，
故当点 P 在线段 OA 上运动时，OCBP 为定值，定值为 255．
22. （1） ∵OB=OC=10，
∴B0,0，C0,−10，
将点 B，C 的坐标代入 y=14x2+bx+c 表达式得：
14×102+10b+c=0,c=−10, 解得：b=−32,c=−10,
∴ 抛物线解析式为：y=14x2−32x−10．
（2） 点 P，Q 的坐标为：Pn,14n2−32n−10，Qm,14m2−32m−10，
如图，过点 C 作 x 轴平行线，过点 Q 做 y 轴平行线交于点 K，过点 P 作 PH⊥CK 于 H，
设直线 CP 与 y 轴负半轴夹角为 α．
∵∠OCP+α=180∘，∠OCP+∠OCQ=180∘，
∴∠OCQ=α，
又 ∵∠OCQ+∠QCK=90∘，∠PCH+α=90∘，
∴∠QCK=∠PCH，
tan∠PCH=PHCH=14n2−32n−10n=−14n+32，
tan∠QCK=QKCK=−10−14m2−32m−10m=14m−32，
∴−14n+32=14m−32，即 m=12−n．
（3） 过点 P 作 PL⊥x 轴于 L，如图所示：
则 tan∠PAL=PLAL=14n2−32n−10n−−4=1410−n，
又 ∵tan∠PAL=DOAO，
∴DO=AOtan∠PAL=4×1410−n=10−n，
EO=m=12−n，
则
tan∠EQB=BEEQ=10−m14m2−32m−10=10−m−14m+4m−10=4m+4=416−n,
以 OA 为边，作正方形 AJWO，连接 JE，JD，OJ，过点 J 作 JR⊥DE 于 R，
∴AJ=4，AE=m−−4=12−n+4=16−n，
tan∠AEJ=AJAE=416−n=tan∠EQB，
∴∠AEJ=∠EQB，
∴EJ 平分 ∠AED，
又 ∵JO 平分 ∠AOD，
∴AJ=JW=JR，
在 Rt△JDR 与 Rt△JDW 中，
JR=JW,JD=JD,
∴Rt△JDR≌Rt△JDWHL，
∴DR=DW=10−n−4=6−n，
∴DE=RE−DR=AE−DR=16−n−6−n=10，
在 Rt△DOE 中，DE2=OD2+OE2，即 102=10−n2+12−n2，
解得：n1=4，n2=18（舍去），
∴P4,−12．