2020-2021学年广东省深圳市龙华区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市龙华区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 2x=5y，则 xy 的值是
A. 52B. 25C. 32D. 23

2. 如图是一个机器的零件，则下列说法正确的是
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 主视图、左视图与俯视图均不相同

3. 关于反比例函数 y=−4x，下列说法中正确的是
A. 点 1,4 在该函数的图象上
B. 当 x 的值增大时，y 的值也增大
C. 该函数的图象在一、三象限
D. 若点 Pm,n 在该函数的图象上，则点 Q−m,−n 也在该函数的图象上

4. 如图，已知直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 分别与直线 l1，l2，l3 交于 A，B，C 三点，直线 DF 分别与直线 l1，l2，l3 交于 D，E，F 三点，AC 与 DF 交于点 O，若 BC=2AO=2OB，OD=1，则 OF 的长是
A. 1B. 2C. 3D. 4

5. 如图，已知 △ABC 的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则 sinA 的值是
A. 12B. 22C. 32D. 1

6. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是
A. 49B. 23C. 12D. 13

7. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2−13x+36=0 的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是
A. 13B. 18C. 22D. 26

8. 下列命题中是真命题的是
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形
C. 任意两个矩形一定相似
D. 将抛物线 y=x2−3 向右平移 2 个单位再向上平移 3 个单位后得到的抛物线为 y=x+22

9. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为 5 m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为 12 m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为 12 m2；小亮认为：隔离区的面积可能为 9 m2．则：
A. 小明正确，小亮错误B. 小明错误，小亮正确
C. 两人均正确D. 两人均错误

10. 如图，已知 E 是正方形 ABCD 中 AB 边延长线上一点，且 AB=BE，连接 CE，DE，DE 与 BC 交于点 N，F 是 CE 的中点，连接 AF 交 BC 于点 M，连接 BF．有如下结论：
① DN=EN；
② △ABF∽△ECD；
③ tan∠CED=13；
④ S四边形BEFM=2S△CMF．
其中正确的是
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x−c=0 没有实数根，即实数 c 的取值范围是 ．

12. 如图，小明为了测量树的高度 CD，他在与树根同一水平面上的 B 处放置一块平面镜，然后他站在 A 处刚好能从镜中看到树顶 D，已知 A，B，C 三点在同一直线上，且 AB=2 m，BC=8 m，他的眼睛离地面的高度 1.6 m．则树的高度 CD 为 m．

13. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=kx+m 交于 A−3,−1，B0,3 两点，则关于 x 的不等式 ax2+bx+c>kx+m 的解集是 ．

14. 如图，△ABC 中，D 是 AC 上一点，∠CBD=∠A，BCAC=23，则 CDAD 的值是 ．

15. 如图，已知直线 y=k1x 与双曲线 y=k1x 交于 A，B 两点，将线段 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 60∘ 后，点 B 落在点 C 处，双曲线 y=k2x 经过点 C，则 k1k2 的值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算：2cs45∘−∣1−2∣+13−1−327．

17. 解答下列各题：
（1）解方程：x2−4x−5=0．
（2）已知二次函数的图象的顶点是 M−1,4，且经过点 A−3,2，请求出该二次函数的表达式．

18. 《深圳市生活垃圾分类管理条例》 9 月 1 日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合执法局网站上搜索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准的图标，制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是 ．
（2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）．

19. 如图，AB 是一座高为 603+3 米的办公大楼，快递小哥在 AB 上的 D 处操作无人机进行快递业务．这时在另一座楼房的 C 处有人要寄快递，已知 C 与 D 在同一水平线上，从 A 看 C 的仰角为 30∘，从 B 看 C 的俯角为 45∘．
（1）请求出 C 与 D 之间的水平距离 CD．
（2）已知 D 处信号发射器的信号只能覆盖周围 150 米范围．若无人机以 10 m/秒 的速度沿着 AC 方向飞到 C 处取快递．请问，当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险?（结果保留根号）

20. 某商场将一种每件成本价为 10 元的商品连续加价两次后，以每件 24 元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多 10%．
（1）求第一次加价的增长率．
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出 100 个．如果销售单价每降低 1 元，销售量就可以增加 10 件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大?最大利润是多少?

21. 已知抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0．
（1）请直接写岀该抛物线的对称轴和顶点坐标．（用含 a 的代数式表示）
（2）若 a>0，且 Pm,y1 与 Q5,y2 是该抛物线上的两点，且 y1>y2，求 m 的取值范围．
（3）如图，当 a=1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，点 D 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，AD 交 BC 于点 E，设点 E 的横坐标为 n，记 S=S△BDES△ABE．当 n 为何值时，S 取得最大值?并求出 S 的最大值．

22. 解答下列各题．
（1）基础巩固
如图 1，已知正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的延长线上一点，过点 C 作 CF⊥CE，交 AD 于点 F．求证：CE=CF．
（2）尝试应用
如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 1，M 是边 AB 所在直线上一点，N 是边 AD 所在直线上一点，且 ∠MCN=45∘．记 AM=x，S△MCN=y．请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式．
（3）应用拓广
如图 3，已知菱形 ABCD 是一个菱长为 6km 的森林生态保护区，∠A=60∘，沿保护区的边缘 AB，AD 已修建好道路 AP 和 AQ，现要从保护区外新修建一条道路 ECF，将道路 AP，AQ 连通．已知 ∠ECF=120∘，求道路 ECF 的最短路程．
答案
第一部分
1. A【解析】∵2x=5y，
∴xy=52．
2. A
3. D【解析】A选项：把 x=1 代入 y=−4x 中得 y=−4，
∴1,4 不在函数图象上，故A错误；
B选项：
∵y=−4x 中，k=−4<0，
∴ 在各象限内 y 随 x 增大而增大，故B错误；
C选项：
∵y=−4x 中，k=−4<0，
∴ 该函数图象在第二、四象限，故C错误；
D选项：
∵mn=−m⋅−n，
∴ 若点 Pm,n 在该函数图象上，则点 Q−m,−n 也在该函数图象上，故D正确．
4. C【解析】∵BC=2AO=2OB，
设 BC=2OA=2OB=2a，
∴OA=OB=a，
∴OC=OB+BC=3a，
∵l1∥l2∥l3，
∴ODOF=OAOC=a3a=13，
∴OF=3OD，
∵OD=1，
∴OF=3．
故选C．
5. B
【解析】由题可知 AB=5，BC=5，AC=10，
∴AB2+BC2=10=AC2，
∴∠ABC=90∘，
∴sinA=BCAC=510=22．
6. B【解析】∵ 有两个红球和一个黄球，
∴P=23．
7. C【解析】∵x2−13x+36=0，
∴x−4x−9=0，
∴x1=4，x2=9，
∴ 两边长为 4 和 9，
∴9−4< 第三边 <4+9，即 5< 第三边 <13，
∴4+9+5< 周长 <13+4+9，
∴18< 周长 <26．
8. B【解析】A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，故不正确；
B选项：菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
C选项：任意两个矩形不一定相似，故不正确；
D选项：将抛物线 y=x2−3 向右平移 2 个单位再向上平移 3 个单位后得到的抛物线为 y=x−22，故不正确．
故选B．
9. B【解析】设隔离区靠近墙长度 x m0 S=12−x3⋅x=−13x2+4x，
当 x=423=6 时，S 最大，
0则 S 取最大值时，x=5，
∴S=−13×25+4×5=353 m2，
9<353<12．
∴ 小明错误．
令 S=9=−13x2+4x⇒x=9舍或3，
∴x=3 时，S=9 m2，
∴ 小亮正确，隔离区可能 9 m2．
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，CD∥BE，
∴∠CDN=∠BEN，
∵CD=BE，∠DCN=∠EBN=90∘，
∴△DCN≌△EBN，
∴DN=EN，故①正确；
设正方形边长为 k，则 CE=2k，DN=52k，
∴DE=2DN=5k，
在 Rt△CBE 中，BF=12CE=22k，
∴BFCD=22kk=22，
ABCE=k2k=22，
∵∠DCE=∠ABE，
∴△ABF∽△ECD，故②正确；
过 C 作 CH⊥DE，
∴12CH⋅DE=12CD⋅k，
∴12CH⋅5k=12k2，
∴CH=55k，HE=355k，
∴tan∠CED=CHHE=13，故③正确；
过点 F 作 FG⊥BE，FH⊥BC，
∴FG=12k，BG=12k，FH=12k，
∵∠ABM=∠AGF=90∘，
∠MAB=∠FAG，
∴△ABM∽△AGF，
∴BMFG=ABAG=23，
∴BM=13k，CM=23k，
∴S△CMF=12CM⋅HF=12×12k×23k=16k2，
S四边形BEFM=S△BCE−S△CMF=12k2−16k2=13k2,
∴S四边形BEFM=2S△CMF，故④正确．
第二部分
11. c>94
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+3x−c=0 没有实数根，
∴Δ<0，
即
Δ=b2−4ac=9−4×1×c=9−4c,
∴9−4c<0，即 c>94．
12. 6.4
【解析】如图所示：
α1=α2，
又 α1+θ1=α2+θ2=90∘，
故 θ1=θ2，
题意可大致用图示表达，
则应有 tanθ1=1.6AB=1.62=0.8，
tanθ2=CD8=tanθ1=0.8，
可求得 CD=8×0.8=6.4，
即树高 CD 为 6.4 m．
13. −3【解析】观察函数图象可知：当 −3直线 y=kx+m 在抛物线 y=ax2+bx+c 的下方，
∴ 不等式 ax2+bx+c>kx+m 的解集为 −314. 45
【解析】在 △CDB 和 △CBA 中，
∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CDB∼△CBA，
∴BCAC=CDBC=23，
∴BC2=AC⋅CD，
∴3CD=2BC，
即 BC=32CD，
∴CD⋅AC=94CD2，
∵AC=CD+AD，
∴CDAD+CD=94CD2，
∴AD+CD=94CD，
∴4AD=5CD，
∴CDAD=45．
故答案为 45．
15. −13
【解析】连接 BC，OC，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，
过点 B 作 BH⊥x 轴于点 H．
∵ 线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 60∘ 得到 AC，
∴AB=AC，∠BAC=60∘．
∴△ABC 是等边三边形，∠ACB=60∘．
∵ 由直线 y=kx 与双曲线 y=k1x 的图象都是关于原点成中心对称．
∴OA=OB．
∴OC⊥AB，OC 平分 ∠ACB．
∴∠OCB=30∘．
∴BC=2OB．
∴OC=BC2−OB2=3OB，即 OBOC=33．
∵BH⊥x 轴，CD⊥x 轴，
∴∠BHO=∠CDO=90∘．
∴∠HBO+∠BOH=90∘．
∵∠BOH+∠COD=90∘．
∴∠HBO=∠DOC，
∴△BHO∽△ODC．
∴S△BHOS△ODC=OBOC2=13．
由反比例函数的几何意义可知，S△BHO=−12k1，S△COD=12k2．
∴−12k112k2=13，
∴k1k2=−13．
第三部分
16. 2cs45∘−∣1−2∣+13−1−327=2×22+1−2+113−3=2+1−2+3−3=1.
17. （1）
x2−4x−5=0,x−5x+1=0,x1=5,x2=−1.
（2） 设二次函数解析式 y=ax+12+4，
把 A−3,2 代入 y=ax+12+4 中得，
−3+12a+4=2，
4a=−2，
a=−12．
∴y=−12x+12+4．
18. （1） 14
【解析】从中随机抽取一张卡片，共有四种等可能情况，其中恰好抽中A“可回收物”的情况有一种，
故其概率为 14．
（2） 用树状图表示如下：
共有 12 种等可能情况，其中恰好抽中B“厨余垃圾”和C“有害垃圾”的情况有 2 种，
故其概率为 212=16．
19. （1） 由题意得 ∠CBD=45∘，∠CAD=60∘，CD⊥AB，
设 CD=x，
∴AD=CDtan∠CAD=x3=33x，BD=CDtan∠CBD=x，
∵AB=AD+BD，
∴603+33=33x+x，
解得 x=180，
∴CD=180（米）．
（2） 如图，设到点 E 后接收不到信号，作 EF⊥AB 于点 F，飞行时间为 t，
∵AE=10t，EF∥CD，
∴∠AEF=∠ACD=30∘，
∴AF=12AE=5t，
∴DF=AD−AF=603−5t，EF=53t，
∵DE=150，
∴DF2+EF2=DE2，即 603−5t2+53t2=1502，
解得：t=33+12 或 t=33−12舍去，
∴t=33+12．
20. （1） 设第一次加价的增长率为 m，
则第二次加价的增长率为 m+10%，
根据题意可得
10×1+m×1+m+10%=24.
解得
m=12 或 m=−135舍去.∴m=12=50%
，
故第一次加价的增长率为 50%．
（2） 设销售单价为 x 元，每天销售该商品的利润为 W 元，
则每天商品的销量为 100+1024−x=−10x+340（件），
根据题意可得 W=x−10−10x+340=−10x2+340x+100x−3400，
整理得 W=−10x2+440x−3400，
配方得 W=−10x−222+1440，
∴ 当 x=22 时，W 取得最大值 Wmax=1440，
故当销售单价为 22 元时，该商场销售商品的利润最大，最大利润为 1440 元．
21. （1） x=1；1,−4a
【解析】由已知得对称轴为 x=−−2a2a=1，
将 x=1 代入 y=ax2−2ax−3a 得 y=−4a，
∴ 顶点坐标是 1,−4a．
（2） ∵a>0，且抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 当 x≥1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，
当点 Pm,y1 在对称轴的右侧，即当 m>1 时，
∵y1>y2，
∴m>5，
当点 Pm,y1 在对称轴的左侧，即当 m<1 时，
作点 P 关于对称轴的对称点 Q，则 Q2−m,y1，
∵y1>y2，
∴2−m>5，
解得：m<−3，
∴m 的取值范围是 m<−3 或 m>5．
（3） 由已知得抛物线为 y=x2−2x−3，
由 y=0 得 x2−2x−3=0，
解得：x1=3，x2=−1，
∴A−1,0，B3,0，
由 x=0 得 y=−3，
∴C0,−3，
∵B3,0，C0,−3，
∴ 直线 BC 为：y=x−3，
过点 A 作 AF∥y 轴交 BC 于点 F，
过点 D 作 DH⊥x 轴于 H，交 BC 于 G，
则 △DEG∽△AEF，
∴S=S△BDES△ABE=DEAE=DGAF，
∵A−1,0，
∴F−1,−4，
∴AF=4，
设 Dx,x2−2x−3，则 Gx,x−3，
∴DG=x−3−x2−2x−3=−x2+3x，
∴S=−x2+3x4=−14x−322+916，
∵−14<0，
∴ 当 x=32 时，S 取得最大值为 916，
此时点 D 为 32,−154，
∴ 直线 AD 为：y=−32x−32，
解方程组 y=−32x−32,y=x−3,
得：x=35,y=−45,
∴n=35，
故当 n=35 时，S 取得最大值，最大值为 916．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴CD=BC，∠BCD=∠D=∠ABC=90∘，
∴∠DCF+∠BCF=90∘，
∵∠ECB+∠BCF=90∘，
∴∠ECB=∠DCF，
∵∠CBE=∠D=90∘，
在 △BCE 与 △DCF 中，
∠CBE=∠CDF,CB=CD,∠ECB=∠DCF,
∴△BCE≌△DCFASA，
∴CE=CF．
（2） 当点 M 在线段 AB 的延长线上时，y=x2−2x+24−2x，
当点 M 在线段 BA 的延长线上时，y=x2+2x+24+2x．
【解析】当点 M 在线段 AB 上时，如图，
过 C 作 CK⊥AN，交 AN 于点 K，连接 AC，
由（1）得 CK=CM，KD=BM，
∵∠MCN=45∘，
∴∠NCK=45∘，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠KAC=45∘=∠NCK，
∵∠CKN=∠AKC，
∴△KCN∽△KAC，
∴KCKA=KNKC，即 KC2=KA⋅KN，
∵CK2=CM2=x−12+1=x2−2x+2，KA=KD+AD=1−x+1=2−x，
∴KN=x2−2x+22−x，
在 △KCN 与 △MCN 中：
CK=CM,∠NCK=∠NCM=45∘,CN=CN,
∴△KCM≌△MCNSAS，
∴y=S△MCN=S△KCN=12KN×CD=12×x2−2x+22−x×1=x2−2x+14−2x，
当点 M 在线段 AB 的延长线上时，同理得 y=x2−2x+24−2x，
当点 M 在线段 BA 的延长线上时，同理得 y=x2+2x+24+2x．
（3） 解法一：
以 CD 为一边作 ∠DCG=120∘，交射线 AP 于点 G，过点 C 作 CH⊥PA 于点 H，如图，
∵∠ECF=120∘，
∴∠DCF=∠ECG，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴CD=CB，CD∥AB，
∵∠A=60∘，
∴∠FDC=∠A=60∘，∠ADC=180∘−∠A=120∘，
∴∠CGE=360∘−∠A−∠ADC−∠DCG=60∘，
∵CB∥AD，
∴∠CBG=∠A=60∘，
∴△CBG 是等边三角形，
∴CG=CB，
∴△CDF≌△CGE，
∴CE=CF，
∴ 道路 ECF 的长度 =2CE，
∴ 当 CE 最短，即当 CE=CH 时，道路 ECF 的长度最短，
∵∠CBG=60∘，CB=6，
∴CH=33，
∴ 道路 ECF 的最短路程是 63km．
【解析】解法二：
过点 C 作 CH⊥PA 于点 H，作 CG⊥QA 于点 G，连接 AC，如图，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC 平分 ∠PCQ，
∴CG=CH，
∵∠BAC=60∘，
∴∠GCH=360∘−∠BAC−∠AGC−∠AHC=120∘，
∵∠ECF=120∘，
∴∠GCF=∠ECH，
∵∠CGF=∠CHE=90∘，
∴△CGF≌△CHE，
∴CE=CF，
∴ 道路 ECF 的长度 =2CE，
∴ 当 CE 最短，即当 CE=CH 时，道路 ECF 的长度最短，
∵∠CBG=60∘，CB=6，
∴CH=33，
∴ 道路 ECF 的最短路程是 63km．