2020-2021学年天津市红桥区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市红桥区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为 1 和 2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是
A. 两个小球的标号之和等于 3B. 两个小球的标号之和等于 6
C. 两个小球的标号之和大于 0D. 两个小球的标号之和等于 1

2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数20501002004001000"射中9环以上"的次数154178158320800"射中9环以上"的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时”射中 9 环以上”的概率约是
A. 0.75B. 0.82C. 0.78D. 0.80

3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 ．
A. B.
C. D.

4. 若 xm+1+6x+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
A. −1B. 0C. 1D. 2

5. 如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，已知 ∠BCD 为 120∘，则 ∠BOD 的度数为
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 130∘

6. 若 x2+5x+m=x+n2，则 m，n 的值分别为
A. m=254，n=52B. m=254，n=5C. m=25，n=5D. m=5，n=52

7. 方程 x2+x−12=0 的两个根为
A. x1=−2，x2=6B. x1=−6，x2=2C. x1=−3，x2=4D. x1=−4，x2=3

8. 如图，AB 为 ⊙O 的切线，点 A 为切点，OB 交 ⊙O 于点 C，点 D 在 ⊙O 上，连接 AD，CD，OA，若 ∠ADC=28∘，∠ABO 的大小

A. 28∘B. 34∘C. 56∘D. 62∘

9. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 90 场，设共有 x 个队参加比赛，则 x 满足的关系式为
A. 12xx+1=90B. 12xx−1=90
C. xx+1=90D. xx−1=90

10. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x（单位：min）满足函数表达式 y=−0.2x2+1.5x−2，则最佳加工时间为
A. 3 minB. 3.75 minC. 5 minD. 7.5 min

11. 如图，半径为 10 的扇形 AOB 中，∠AOB=90∘，C 为 AB 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E．若 ∠CDE 为 36∘，则图中阴影部分的面积为
A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca>0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，它的对称轴为直线 x=−1．有下列结论：
① abc>0；
② 4ac−b2>0；
③ c−a>0；
④当 x=−n2−2（n 为实数）时，y≥c．
其中，正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 不透明袋子中装有 7 个球，其中有 3 个红球，4 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ．

14. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，若 AB=10，CD=8，则 OH 的长度为 ．

15. 若关于 x 的一元二次方程 x2−2kx+k2−k+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ．

16. 已知 ⊙O 的内接正六边形的边心距为 3，则 ⊙O 的周长为 ．

17. 当 x≥m 时，二次函数 y=−x2+3x 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则实数 m 的取值范围是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=108∘，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到 △ABʹCʹ，若点 Bʹ 恰好落在边 BC 上，且 ABʹ=CBʹ，则 ∠Cʹ 的大小为 （度）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 一个盒中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（1）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果．
（2）求两次取出的小球标号相同的概率．
（3）求两次取出的小球标号的和大于 6 的概率．

20. 解下列关于 x 的方程．
（1）xx+1=3x+3．
（2）5x2−3x=x+1．

21. 已知 ⊙O 的直径为 10，点 A，点 B，点 C 在 ⊙O 上，∠CAB 的平分线交 ⊙O 于点 D．
（1）如图①，若 BC 为 ⊙O 的直径，AB=6，求 AC，BD，CD 的长．
（2）如图②，若 ∠CAB=60∘，求 BD 的长．

22. 已知抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数）的顶点坐标为 2,−1．
（1）求该拋物线的解析式．
（2）点 Mt−1,y1，Nt,y2 在该抛物线上，当 t<1 时，比较 y1 与 y2 的大小．
（3）若点 Pm,n 在该抛物线上，求 m−n 的最大值．

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，∠DCA=∠B．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线．
（2）若 DE⊥AB，垂足为 E，DE 交 AC 于点 F，求证：△DCF 是等腰三角形．

24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A2,0，点 B0,2，把 △ABO 绕点 B 逆时针旋转，得 △AʹBOʹ，点 A，O 旋转后的对应点为 Aʹ，Oʹ．记旋转角为 α．
（1）如图 1，当点 Oʹ 落在边 AB 上时，求点 Oʹ 的坐标．
（2）如图 2，当 α=60∘ 时，求 AAʹ 的长及点 Aʹ 的坐标．

25. 抛物线 y=ax2+bx+4 交 x 轴于 A−3,0，B4,0 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC，M 为线段 OB 上的一个动点，过点 M 作 PM⊥x 轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点 P 作 PN⊥BC，垂足为点 N．设 M 点的坐标为 Mm,0，请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并求出当 m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少?
（3）试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】∵ 两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为 1，2，
∴ 从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于 3，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和等于 6，是不可能事件，不符合题意；
两个小球的标号之和大于 0，是必然事件，不符合题意；
两个小球的标号之和等于 1，是不可能事件，不合题意．
故选A．
2. D【解析】根据表格数据可知：
频率稳定在 0.8，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 0.80．
3. B【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形
由中心对称图形的定义可知：
A选项：图形不是中心对称图形，不符合题意，故A错误；
B选项：图形是中心对称图形，符合题意，故B正确；
C选项：图形不是中心对称图形，不符合题意，故C错误；
D选项：图形不是中心对称图形，不符合题意，故D错误．
4. C【解析】xm+1+6x+1=0 是关于 x 的一元二次方程，
则 m+1=2，m=1．
5. C
【解析】∵ 四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，
∴∠A=180∘−∠BCD=60∘，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120∘，
故选：C．
6. A【解析】∵x2+5x+m=x+n2=x2+2nx+n2，
∴2n=5，m=n2，
解得：m=254，n=52，
故选：A．
7. D【解析】x2+x−12=x+4x−3=0，
则 x+4=0 或 x−3=0，
解得：x1=−4，x2=3．
8. B【解析】∵ ∠ADC=28∘，
∴ ∠AOC=2∠ADC=56∘，
∵ AB 为切线，A 为切点，
∴ ∠OAB=90∘，
∴ ∠ABO=180∘−∠OAB−∠AOC=34∘．
9. D【解析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，
可列出方程，xx−1=90．
10. B
【解析】y=−0.2x2+1.5x−2=−0.2x−3.752+1316.
当 x=3.75 时，y 取最大值 1316，
故最佳食用时间为 3.75 min．
11. A【解析】连接 OC 交 DE 为 F 点，如下图所示：
由已知得：四边形 DCEO 为矩形，
∵∠CDE=36∘，且 FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54∘，△DCE 面积等于 △DCO 面积，
S阴影=S扇形AOB−S扇形AOC=90⋅π⋅102360−54⋅π⋅102360=10π．
12. D【解析】由图象开口向上，可知 a>0，
与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c>0，
又对称轴为直线 x=−1，
所以 −b2a>0，
所以 b>0，
所以 abc>0，故①正确；
因为二次函数 y=ax2+bx+ca>0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，
所以 b2−4ac>0，
所以 4ac−b2<0，故②错误；
因为 −b2a=−1，
所以 b=2a，
因为当 x=−1 时，y=a−b+c<0，
所以 a−2a+c<0，
所以 ca<0，故③正确；
当 x=−n2−2（n 为实数）时，
y=ax2+bx+c=a−n2−22+b−n2−2+c=an2n2+2+c,
因为 a>0，n2≥0，n2+2>0，
所以 y=an2n2+2+c≥c，故④正确．
第二部分
13. 37
【解析】∵ 袋子中共有 7 个球，其中红球有 3 个，
∴ 从袋子中随机取出 1 个球，它是红球的概率是 37．
14. 3
【解析】连接 OC，
Rt△OCH 中，OC=12AB=5，CH=12CD=4，
由勾股定理，得：OH=OC2−CH2=52−42=3，
即线段 OH 的长为 3．
15. k>1
【解析】∵ 原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=2k2−4k2−k+1=4k−4>0，
解得 k>1；
故答案为：k>1．
16. 4π
【解析】如图所示，连接 OA，OB，
∵ 多边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠AOB=60∘，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴∠OAM=60∘，
∴OM=OA⋅sin∠OAM，
∴OA=OMsin60∘=332=2，
∴⊙O 的周长为 4π，
故答案为：4π．
17. m≥32
【解析】y=−x2+3x=−x−322+94，
当 x≥32 时，y 随 x 的增大而减小，
则 m≥32．
18. 24
【解析】∵ABʹ=CBʹ，
∴∠C=∠CABʹ，
∴∠ABʹB=∠C+∠CABʹ=2∠C，
∵ 将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到 △ABʹCʹ，
∴∠C=∠Cʹ，AB=ABʹ，
∴∠B=∠ABʹB=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180∘，
∴3∠C=180∘−108∘，
∴∠C=24∘，
∴∠Cʹ=∠C=24∘．
第三部分
19. （1） 由题意可画出如下树状图．
（2） 由（1）可知：共有 16 种情况，其中符合题意的情况有 4 种，
∴P标号相同的概率=416=14．
（3） 由（1）可知：共有 16 种情况，其中小球的标号的和大于 6 的情况有 3 种，
∴P标号的和大于6的概率=316．
20. （1）
∵xx+1=3x+3,∴xx+1−3x+1=0,
则
x+1x−3=0,
∴x+1=0或x−3=0,
解得
x1=−1,x2=3.
（2） 整理，得：
5x2−4x−1=0,∴x−15x+1=0,
则
x−1=0或5x+1=0,
解得
x1=1,x2=−0.2.
21. （1） 如图①，
∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90∘．
∵ 在直角 △CAB 中，BC=10，AB=6，
∴ 由勾股定理得到：AC=BC2−AB2=102−62=8．
∵AD 平分 ∠CAB，
∴CD=BD，
∴CD=BD．
在直角 △BDC 中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴ 易求 BD=CD=52．
（2） 如图②，连接 OB，OD．
∵AD 平分 ∠CAB，且 ∠CAB=60∘，
∴∠DAB=12∠CAB=30∘，
∴∠DOB=2∠DAB=60∘．
又 ∵OB=OD，
∴△OBD 是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O 的直径为 10，则 OB=5，
∴BD=5．
22. （1） ∵ 顶点坐标为 2,−1，
∴−b2a=−b2=2，
∴b=4，
代入解析式：−1=22−4×2+c，解得：c=3，
∴ 该抛物线的解析式为：y=x2−4x+3．
（2） ∵Mt−1,y1，Nt,y2，
当 t<1 时，点 M，N 均在对称轴的左侧，函数图象开口向上，
对称轴 x=2，t−1 ∴y1>y2．
（∵ 二次函数开口向上，越靠近对称轴，函数值越小）．
（3） ∵Pm,n 在抛物线上，
∴n=m2−4m+3，
m−n 的最大值，即 y1=m−m2−4m+3 的最大值，
化成顶点式：y1=−m−522+134，
开口向下，最大值则为 134．
23. （1） 连接 OC．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCA=90∘，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠DCA=∠B，
∴∠BCO=∠DCA，
∴∠BCO+∠ACO=∠DCA+∠ACO，
∴∠ACB=∠DCO=90∘，即 OC⊥CD，
∵OC 过 O，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵DE⊥AB，
∴∠FEA=90∘，
∴∠A+∠EFA=90∘，
同理 ∠A+∠B=90∘，
∴∠B=∠EFA，
∵∠DCA=∠B，∠DFC=∠EFA，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
即 △DCF 是等腰三角形．
24. （1） 如图 1，
∵ 点 A2,0，点 B0,2，
∴OA=OB=2，△ABO 是等腰直角三角形，
∴AB=22，
当点 Oʹ 落在边 AB 上时，α=45∘，
∴ 点 Oʹ 的横坐标为 12AB=2，纵坐标为 2−2，
∴ 点 Oʹ 的坐标为 2,2−2．
（2） 如图 2，
当 α=60∘ 时，
∴∠ABAʹ=60∘，AB=AʹB，
∴△ABAʹ 为等边三角形，
∴AAʹ=AʹB=AB=22，
连接 OAʹ，
在 △OBAʹ 和 △OAAʹ 中，
OB=OA,OAʹ=OAʹ,AʹB=AʹA,
∴△OBAʹ≌△OAAʹSSS，
∴∠BOAʹ=∠AOAʹ，∠BAʹO=∠AAʹO，
∴ 直线 OAʹ 的函数解析式为 y=x，
∴OAʹ⊥AB，
∴OAʹ=2+6，
∴ 点 Aʹ 的坐标为 1+3,1+3．
25. （1） 将点 A，B 的坐标代入抛物线表达式得
9a−3b+4=0,16a+4b+4=0,
解得 a=−13,b=13.
故抛物线的表达式为：y=−13x2+13x+4．
（2） 由抛物线的表达式可知，点 C0,4，
由点 B，C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y=−x+4；
设点 Mm,0，
则点 Pm,−13m2+13m+4，
点 Qm,−m+4，
∴PQ=−13m2+13m+4+m−4=−13m2+43m,
∵OB=OC，
故 ∠ABC=∠OCB=45∘，
∴∠PQN=∠BQM=45∘，
∴PN=PQsin45∘=22−13m2+43m=−26m−22+223,
∵−26<0，
故当 m=2 时，PN 有最大值为 223．
（3） 存在，理由：
点 A，C 的坐标分别为 −3,0，0,4，
则 AC=5，
①当 AC=CQ 时，过点 Q 作 QE⊥y 轴于点 E，连接 AQ，
则 CQ2=CE2+EQ2，
即 m2+4−−m+42=25，
解得：m=±522（舍去负值），
故点 Q522,8−522，
②当 AC=AQ 时，
则 AQ=AC=5，
在 Rt△AMQ 中，
由勾股定理得：m−−32+−m+42=2，
解得：m=1 或 0（舍去 0），
故点 Q1,3；
③当 CQ=AQ 时，
则 2m2=m−−32+−m+42，
解得：m=252（舍去）；
综上，点 Q 的坐标为 1,3 或 522,8−522．