2020-2021学年北京市石景山区九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市石景山区九下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 单项式 −xy2 的系数是
A. −1B. 1C. 2D. 3

2. 在下面四个几何体中，左视图是三角形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，直线 AB∥CD，AB 平分 ∠EAD，∠1=100∘，则 ∠2 的度数是
A. 60∘B. 50∘C. 40∘D. 30∘

4. 若 a，b，c 分别表示 2 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是
A. a>bB. bcD. b=2c

5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲乙丙丁平均数cm183183182182方差
要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

6. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠AOB=100∘，∠OBC=20∘ ， 则 ∠OAC 的度数为
A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 40∘

7. 如图所示，在正方形 ABCD 中，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分）， 得到长为 c 的正方形，则下列等式成立的是
A. a+b=cB. a2+b2=c2
C. c2=a+ba−bD. c2=a+b2−4ab

8. 如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为 −2,0，表示冰壶馆的点的坐标为 −3,2，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是
A. 滑雪大跳台 −5,0B. 五一剧场 −3,−2
C. 冬奥组委会 −5,4D. 全民畅读艺术书店 5,0

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个比 0 大且比 2 小的无理数 ．

10. 一个不透明的盒子中装有 4 个黄球，3 个红球和 2 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ．

11. 若一个正多边形的内角是外角的 3 倍，则这个正多边形的边数为 ．

12. 已知二元一次方程 2x−3y=10 ， 若 x 与 y 互为相反数，则 x 的值为 ．

13. 如图，在四边形 ACBD 中，∠ACB=90∘，AB=AD，E 是 BD 中点，过点 E 作 EF∥AD 交 AB 于点 F，连接 CF．
请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：
① ；
② ．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Aa,b 在双曲线 y=−1x 上．若 a1 时，二次函数 y=x2−bx+1 的图象与线段 AB 无公共点．
上述说法中正确的是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−43+π−3.140−12−6tan30∘．

18. 解不等式 x−13≤x−1 ， 并把它的解集在数轴上表示出来．

19. 已知 2x2+3y2=1，求代数式 2x+y2−4yx−54y 的值．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2m+1x+m2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 m 的值，并求此时方程的根．

21. 如图，在 △ABC 中，点 D 是线段 AB 的中点．
求作：线段 DE，使得点 E 在线段 AC 上，且 DE=12BC．
作法：
①分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径作弧，两弧相交于点 M，N 两点；
②做直线 MN，交 AC 于点 E；
③连接 DE．
∴ 线段 DE 即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AM=CM，AN=CN，
∴MN 是 AC 的垂直平分线．（ ）（填推理的依据）
∴ 点 E 是 AC 的中点．
∵ 点 D 是 AB 的中点，
∴DE=12BC．（ ）（填推理的依据）

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，CE⊥AD 于点 E，延长 DA 至点 F，使得 EF=DA，连接 BF，CF．
（1）求证：四边形 BCEF 是矩形；
（2）若 AB=3，CF=4，DF=5，求 EF 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=kx−1+3k≠0 经过一个定点 P，直线 l 与反比例函数 y=mxx>0 图象相交于点 P．
（1）直线 l：y=kx−1+3k≠0 可以看成是直线 y=kx+3k≠0 沿 x 轴向 （填“左”或“右”）平移 1 个单位得到的，请直接写出定点 P 的坐标 ；
（2）求 m 的值；
（3）直线 y=kx−k+3k≠0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M，N．若 PM=2PN，求 k 的值．

24. 如图，AD 是 ⊙O 的直径，P 是 ⊙O 外一点，连接 PO 交 ⊙O 于点 C，PB，PD 分别切 ⊙O 于点 B，D，连接 AB，AC．
（1）求证：AB∥OP；
（2）连接 PA，若 PA=22，tan∠BAD=2，求 PC 长．

25. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有 200 名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20 名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．
收集数据
七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a63908085808985868087八年级 616574707174747663b918580848783828086c
整理、描述数据
（说明：成绩 80 分及以上为优秀，60∼79 分为合格，60 分以下为不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级平均数中位数众数七年级77.57980八年级77.4n74
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，m= ，n= ；
（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后 50%，那么估计小冬的成绩可能是 ；
（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=x2+bx+c．
（1）当 b=−2 时，
①若 c=4，求该函数最小值；
②若 2≤x≤3，则此时 x 对应的函数值的最小值是 5，求 c 的值；
（2）当 c=2b 时，若对于任意的 x 满足 b≤x≤b+2 且此时 x 所对应的函数值的最小值是 12，直接写出 b 的值．

27. ；已知等边 △ABC，D 为边 BC 中点，M 为边 AC 上一点（不与 A，C 重合），连接 DM．
（1）如图 1，点 E 是边 AC 的中点，当 M 在线段 AE 上（不与 A，E 重合）时，将 DM 绕点 D 逆时针旋转 120∘ 得到线段 DF，连接 BF．
①依题意补全图 1 ；
②此时 EM 与 BF 的数量关系为： ，∠DBF= ∘．
（2）如图 2，若 DM=2MC，在边 AB 上有一点 N，使得 ∠NDM=120∘．直接用等式表示线段 BN，ND，CD 之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于 ⊙M 内的一点 P，若在 ⊙M 外存在点 Pʹ，使得 MPʹ=2MP，则称点 P 为 ⊙M 的二倍点．
（1）当 ⊙O 的半径为 2 时，
①在 T11,0，T21,−1，T3−32,32 三个点中，是 ⊙O 的二倍点的是 ；
②已知一次函数 y=kx+2k 与 y 轴的交点是 A0,a，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是 ⊙O 的二倍点，求 a 的取值范围．
（2）已知点 Mm,0，B0,−12，C1,−12，⊙M 的半径为 2，若线段 BC 上存在点 P 为 ⊙M 的二倍点，直接写出 m 的取值范围 ．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. C
7. B
8. A
第二部分
9. 答案不唯一，如：2
10. 13
11. 八
12. 2
13. 答案不唯一，如 ∠BEF=∠BDA，EF=CF
14. 二
15. 7，72000
16. ②③
第三部分
17. 原式=43+1−23−6×33=1.
18. 去分母：
x−1≤3x−3,
移项，合并同类项：
2≤2x,
解得，
x≥1.
19. 原式=4x2+4xy+y2−4xy+5y2=4x2+6y2.
当 2x2+3y2=1 时，
原式=2x2+3y2=2.
20. （1） 由题意，Δ=b2−4ac>0．
解得，m>−14．
（2） x1,2=−2m−1±4m+12，
由题意，Δ=4m+1 是平方数，
不妨设 m=2，
原方程为 x2+5x+4=0，
解得，x1=−4，x2=−1．
∴ 当 m=2 时，方程的两个整根为 x1=−4，x2=−1．
21. （1） 补全图形
（2） 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
三角形中位线等于第三边的一半．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵EF=DA，
∴EF=CB．
∴ 四边形 BCEF 是平行四边形．
∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90∘．
∴ 四边形 BCEF 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB=3．
又 ∵CF=4，DF=5．
∴CF2+CD2=FD2．
∴FC⊥CD．
∴12⋅FC⋅CD=12⋅DF⋅CE．
∴CE=125．
在 Rt△CEF 中，∠CEF=90∘，FC=4，CE=125，
∴EF=165．
23. （1） 右；P1,3．
（2） P1,3 在函数 y=mxx>0，
∴m=3．
（3） 如图 1，
作 PQ⊥y轴 于点 Q，可得，Q0,3，
∴PQ∥OM．
∵PM=2PN，
∴PN=MN，ON=NQ=32，
∴3−k=32，
∴k=32．
如图 2，
作 PQ⊥y轴 于点 Q，可得，Q0,3，
∴PQ∥OM，
∴QNQO=PNPM．
∵PM=2PN，
∴QO=2QN=3，
∴QN=32，ON=92，
∴3−k=92，k=−32．
综上：k=32 或 k=−32．
24. （1） ∵PB，PD 分别切 ⊙O 于点 B，D，
∴PB=PD．
可得，点 C 为弧 BD 中点，
∴∠BAC=∠COD．
∴AB∥OP．
（2） 由（1）∠BAD=∠POD，
∵PD 切 ⊙O 于点 D，
∴PD⊥OD．
∴tan∠POD=PDOD=2．
∵AD=2OD，
∴AD=PD．
在 Rt△PDA 中，∠PDA=90∘，PA=22，
∴AD=PD=2，
∴OC=OD=1．
在 Rt△PDO 中，∠PDO=90∘，PD=2，OD=1，
∴PO=5．
∴PC=PO−CO=5−1．
25. （1） 80；0.45；80
（2） 79
（3） 210 人
26. （1） ①
y=x2−2x+4=x−12+3,
当 x=1 时函数的最小值为 3．
② y=x2−2x+c．
此时抛物线开口向上，对称轴为 x=1．
∴ 当 x>1 时，y 随 x 增大而增大．
∵2≤x≤3．
∴ 当 x=2 时，y最小=5，
∴5=22−2×2+c，
∴c=5．
（2） b=2 或者 b=−2−23．
27. （1） ①补全图形如图 1
② EM=BF；120．
【解析】②线段 EM 与 BF 的数量关系为 EM=BF；∠DBF=120∘．
（2） CD=BN+12ND
证明：取线段 AC 中点 E，连接 ED．如图 2．
∵ 点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AC 的中点，
∴DE=12BA，CE=12CA，BD=CD=12BC．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60∘．
∴DE=BD=CD=CE，
∠CED=∠EDC=∠B=60∘．
∴∠BDE=120∘，
∵∠NDM=120∘，
∴∠EDM=∠BDN，
∴△EDM≌△BDN．
∴BN=EM，ND=MD=2MC．
∵EC=EM+MC，
∴CD=BN+12ND．
28. （1） ① T2，T3
②当 x=−2 时，y=0，
所以一次函数 y=kx+2k 过定点 −2,0，
如图 1，
当一次函数 y=kx+2k 的图象与半径为 1 的 ⊙O 相切时，
可得 k=33，a=233．
如图 2，
当一次函数 y=kx+2k 的 ⊙O 与 y 轴的交点时，
可得 a=2，
所以由题意可知 233