2020-2021学年北京市门头沟区九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市门头沟区九下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，是某几何体的三视图，则该几何体是
A. 长方体B. 正方体C. 三棱柱D. 圆柱

2. 在学习强国平台中，5 月 16 日发布的“第一观察——天问落火”栏目的阅读量截止到 5 月 17 日中午，就已经达到了 10895538 人次，将 10895538 精确到万，得
A. 1089B. 1090C. 1089 万D. 1090 万

3. 若代数式 ∣x∣−1x+1 值为零，则
A. x=−1B. x=1C. x=±1D. x≠1

4. 有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是
A. B.
C. D.

5. 方程组 x+y=1,x−y=3 的解为
A. x=4,y=1B. x=3,y=−2C. x=2,y=−1D. x=−2,y=1

6. 线段 OA 以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 60∘，得到 OA1，再将 OA1 以点 O 为旋转中心逆时针旋转 60∘ 得到 OA2，依此操作直到点 An 与点 A 重合为止，顺次连接点 A，A1⋯An−1 形成的多边形是
A. 正四边形B. 正五边形C. 正六边形D. 正七边形

7. 如图所示的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是
A. 15B. 310C. 25D. 12

8. 如图，是函数 y=x−1x−2x−30≤x≤4 的图象，通过观察图象得出了如下结论：
（1）当 x>3 时，y 随 x 的增大而增大；
（2）该函数图象与 x 轴有三个交点；
（3）该函数的最大值是 6，最小值是 −6；
（4）当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大．
以上结论中正确的有 个
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共8小题；共40分）
9. −3 的倒数是 ．

10. 若 m−2+n+12=0，则 m+n= ．

11. 比 7 大的最小整数是 ．

12. 如图所示的正方形网格内，点 A，B，C，D，E 是网格线交点，那么 ∠ECD+∠EDC= ∘．

13. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，若 DE=2，则 BC= ．

14. 若两圆的半径分别是 1 和 3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为 ．

15. 一个函数满足过点 0,1，且当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，该函数可以为 ．

16. 某单位设有 6 个部门，共 153 人，如下表：
部门部门1部门2部门3部门4部门5部门6人数251623324314
参与了“学党史，名师德、促提升”建党 100 周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题 10 分，满分 100 分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
分数1009080706050及以下比例521110
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：∣−3∣−π+20210−2sin60∘+13−2．

18. 解分式方程：1x−1+2xx+1=2．

19. 已知：如图，AB=DE，AF=DC，请补充一个条件可以得到 BC=EF．
补充的条件： ；
证明：

20. 已知：x−2y=0，求 2x+yx2−2xy+y2⋅x−y 的值．

21. 已知，如图，直线 l 及直线外一点 P．
求作：过点 P，作直线 l 的平行线．
下面是一种方案的作法：
①在直线 l 上取一点 A，以点 A 为圆心，AP 为半径作弧交直线于点 B；
②分别以点 B 、点 P 为圆心，AP 为半径作弧两弧交于点 C；
③作直线 PC；
直线 PC 为所求作的直线．
（1）利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 PA，PC，BC
由①可得，PA=AB．
由②可得，PC=BC=PA．
∴PC=BC=PA=AB，
∴ ，（填依据： ）
∴PC∥l．

22. 已如，如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边的中线，过点 A 作 BC 的平行线，过点 B 作 AD 的平行线，两线交于点 E，连接 DE 交 AB 于点 O．
（1）求证：四边形 ADBE 是矩形；
（2）若 BC=8，AO=52，求四边形 AEBC 的面积．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kx 的图象过点 P2,2．
（1）求 k 的值；
（2）一次函数 y=x+a 与 y 轴相交于点 M，与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 N，过点 M 作 x 轴的平行线，过点 N 作 y 轴的平行线，两平行线相交于点 Q，当 12≤S△MNQ≤2 时，通过画图，直接写出 a 的取值范围．

24. 已知，如图，在 △ABC 中，D 是 AB 边上一点，⊙O 过 D，B，C 三点，直线 AC 是 ⊙O 的切线，OD∥AC．
（1）求 ∠ACD 的度数；
（2）如果 ∠ACB=75∘，⊙O 的半径为 2，求 BD 的长．

25. 2021 年是中国共产党建党 100 周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各 50 名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）分别进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
a．初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100）：
b．初一年级学生竞赛成绩在 80≤x<90 这一组的是：
80 81 81 82 82 84 86 86 86 88 88 89
c．这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如下：
成绩平均数中位数众数初一年级学生82m86初二年级学生838584
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m 的值；
（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是 （填“初一”或“初二”），理由是 ．
（3）已知该校初一年级有学生 400 人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过 85 的人数．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−bx+3 的对称轴为直线 x=2．
（1）求 b 的值；
（2）在 y 轴上有一动点 P0,n，过点 P 作垂直 y 轴的直线交抛物线于点 Ax1,y1，Bx2,y2，其中 x1①当 x2−x1=3 时，结合函数图象，求出 n 的值；
②把直线 PB 上方的函数图象，沿直线 PB 向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象 W，新图象 W 在 0≤x≤5 时，满足 −4≤y≤4，求 n 的取值范围．

27. 已知，如图，∠MAN=90∘，点 B 是 ∠MAN 的内一点，且到 AM，AN 的距离相等．过点 B 做射线 BC 交 AM 于点 C，将射线 BC 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 交 AN 于点 D．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：BC=BD；
（3）连接 AB，用等式表示线段 AB，AC，AD 之间的数量关系，并证明．

28. 在 △ABC 中，点 P 是 ∠BAC 的角平分线 AD 上的一点，若以点 P 为圆心，PA 为半径的 ⊙P 与 △ABC 的交点不少于 4 个，点 P 称为 △ABC 关于 ∠BAC 的“劲度点”，线段 PA 的长度称为 △ABC 关于 ∠BAC 的“劲度距离”．
（1）如图，在 ∠BAC 平分线 AD 上的四个点 P1，P2，P3，P4 中，连接点 A 和点 的线段长度是 △ABC 关于 ∠BAC 的“劲度距离”．
（2）在平面直角坐标系中，已知点 M0,t，N4,0．
①当 t=5 时，求出 △MON 关于 ∠MON 的“劲度距离”d1 的最大值.
②如果 2≤d≤22 内至少有一个值是 △MON 关于 ∠MON 的“劲度距离”，请直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. D
5. C
6. C
7. B
8. C
第二部分
9. −13
10. 1
11. 3
12. 90
13. 4
14. 2 或 4
15. 不唯一
16. 部门 3 或部门 5
第三部分
17. ∣−3∣−π+20210−2sin60∘+13−2=3−1−2×32+9=8.
18. 去分母得，
x+1+2xx−1=2x+1x−1,
去括号得，
x+1+2x2−2x=2x2−2,
移项得，
x−2x=−2−1,
合并同类项得，
−x=−3,
系数化为 1 得，
x=3.∴
经检验原方程的解为 x=3．
19. 略
20. 2x+yx2−2xy+y2⋅x−y=2x+yx−y2⋅x−y=2x+yx−y.
当 x−2y=0 时，
原式=4y+y2y−y=5yy=5．
21. （1） 略
（2） 四边形 PABC 菱形；四边相等的四边形是菱形
22. （1） ∵AE∥BC，BE∥AD，
∴ 四边形 ADBE 是平行四边形．
∵AB=AC，AD 是 BC 边的中线，
∴AD⊥BC．
即 ∠ADB=90∘．
∴ 四边形 ADBE 为矩形．
（2） ∵ 在矩形 ADBE 中，AO=52，
∴DE=AB=5．
∵D 是 BC 的中点，
∴AE=DB=4，
∴ 根据勾股定理 AD=AB2−DB2=3．
∴S四边形AEBC=128+4×3=18．
23. （1） ∵ 反比例函数 y1=kx1 的图象过点 P2,2．
∴2=k2，
解得 k=4.
（2） 作图可知，
0≤a≤3
【解析】当 S△MNQ=12 时，可得 a=3；
当 S△MNQ=2 时，可得 a=0．
综上所述 0≤a≤3．
24. （1） ∵ 直线 AC 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCA=90∘．
∵OD∥AC，
∴∠DOC+∠OCA=180∘，
∴∠DOC=90∘．
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=45∘，
∵∠ACD=∠ACO−∠OCD=45∘．
（2） ∵OD=OC=2，∠DOC=90∘，
可求 CD=22．
∵∠ACB=75∘，∠ACD=45∘，
∴∠BCD=30∘，
作 DE⊥BC 于点 E．
∴∠DEC=90∘．
∴DE=DC⋅sin30∘=2，
∵∠B=45∘，
∴DB=2．
25. （1） 83
（2） 答案不唯一，略
（3） 400×2450=192（人）．
26. （1） ∵ 抛物线 y=x2−bx+3 的对称轴为直线 x=2，
∴b=2．
（2） ① ∴ 抛物线的表达式为 y=x2−4x+3，
∵Ax1,y1，Bx2,y2，
∴ 直线 AB 平行 x 轴，
∵x2−x1=3，
∴AB=3．
设直线 AB 与 y 轴交于 C 点，
∵ 对称轴为 x=2，
∴AC=12，
∴ 当 x=12 时，y=n=54．
②当 y=n=4 时，0≤x≤5 时，−1≤y≤4；
当 y=n=2 时，0≤x≤5 时，−4≤y≤2，
∴n 的取值范围为 2≤n≤4．
27. （1） 依题意补全图形（略）；
（2） 过 B 作 BE⊥AM，BF⊥AN，垂足分别为 E，F，
则 BE=BF．
∵∠MAN=∠CBD=90∘，
∴∠ACB+∠ADB=180∘．
∵∠ACB+∠BCE=180∘，
∴∠BCE=∠ADB．
∵BE⊥AM，BF⊥AN，
∴∠BEC=∠BFD=90∘，
∴△BEC≌△BFD．
∴BC=BD．
（3） AC+AD=2AB，
证明：过 B 作 BG⊥AB 交 AN 于点 G．
∵BG⊥AB，
∴∠ABG=90∘．
∴∠ABG=∠CBD=90∘，
∴∠ABC=∠GBD．
∵∠ACB+∠ABD=180∘，∠ABD+∠GDB=180∘，
∴∠ACB=∠GDB．
∵BC=BD，
∴△ABC≌△GBD．
∴AB=BG．
∵ 点 B 到 ∠MAN 的两边 AM，AN 的距离相等，
∴∠BAG=12∠MAN=45∘，
∴AG=2AB，
∴AC+AD=2AB．
28. （1） P2，P3
（2） ①作 ∠MON 的角平分线 OE，ON 的垂直平分线 PF，
OE 和 PF 相交于点 P，此时 ⊙P 过点 N，
线段 OP 的长度是 △MON 关于 ∠MON 的“劲度距离”最大值．
易知，OE 的函数表达式为 y=x，
PF 的函数表达式为 x=2，
从而可得其交点坐标为 P2,2．
d1=OP=22．
②当 t>0 时，如图所示，
t≥2 符合题意，
同理当 t<0 时，
t≤−2 符合题意，
综上所述 t≥2 或 t≤−2．