2020-2021学年天津市河北区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市河北区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列事件为必然事件的是
A. 明天是雨天
B. 任意掷一枚均匀的硬币 10 次，正面朝上的次数是 5 次
C. 一个三角形三个内角和小于 180∘
D. 两个负数的积为正数

3. 用配方法解一元二次方程 x2+2x−2=0 时，原方程可变形为
A. x+12=2B. x−12=2C. x+12=3D. x−12=3

4. 在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A−2,4，B−4,0，O0,0．以原点 O 为位似中心，把这个三角形放大为原来的 2 倍，得到 △CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标为
A. −4,8B. 4,−8
C. −4,8 或 4,−8D. −1,2 或 1,−2

5. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，E 为 CD 延长线上一点，若 ∠ADE=110∘，则 ∠AOC 的度数是
A. 70∘B. 110∘C. 140∘D. 160∘

6. 下列条件中可以判定 △ABC∽△AʹBʹCʹ 的是
A. ABAC=AʹBʹAʹCʹ，∠A=∠AʹB. ABAC=AʹBʹAʹCʹ，∠B=∠Bʹ
C. ABAC=AʹBʹAʹCʹD. ABAʹBʹ=ACAʹCʹ

7. 用一个圆心角为 60∘，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 正六边形的边心距为 3，这个正六边形的面积为
A. 12B. 63C. 43D. 23

9. 在同一直角坐标系中，函数 y=−kx+k 与 y=kxk≠0 的图象大致是
A. B.
C. D.

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为 −1，3，与 y 轴负半轴交于点 C．在下面四个结论中：
① a+b+c<0；
② a=−13c；
③只有当 a=12 时，△ABD 是等腰直角三角形；
④使 △ACB 为等腰三角形的 a 值可以有两个．
其中正确的结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 小丽微信支付密码是六位数（每一位可显示 0∼9），由于她忘记了密码的末位数字，则小丽能一次支付成功的概率是 ．

12. 已知扇形的圆心角为 120∘，弧长为 4π，则它的半径为 ．

13. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆 AB 的高度，使用长为 2 m 的竹竿 CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O 处重合，测得 OD=4 m，BD=12 m，则旗杆 AB 的高为 m．

14. 已知 △AEF∽△ABC，且 AE:AB=1:3，四边形 EBCF 的面积是 8，则 S△ABC= ．

15. 已知反比例函数 y=−12x，当 y<6 时，x 的取值范围是 ．

16. 如图，菱形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径画弧，恰好过点 C，已知 AB=4，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 π）

17. 如图，平面直角坐标系中，已知点 A8,0 和点 B0,6，点 C 是 AB 的中点，点 P 在折线 AOB 上，直线 CP 截 △AOB，所得的三角形与 △AOB 相似，那么点 P 的坐标是 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上，AB 与网格交于点 D．
（1）线段 AD 的长为 ．
（2）在如图所示的网格中，P 是 AC 边上一点，当 △APD∽△ABC 时，请用无刻度的直尺，画出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明）．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. 在一个不透明的盒子中装有 4 个小球，4 个小球上分别标有数字 1，2，3，4，这些小球除数字外都相同．将小球搅匀．
（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是 ．
（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的 3 个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或画树状图法求两次摸出的小球所标注数字之和大于 4 的概率．

20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于 A1,3 和 B−3,n 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）连接 OA，OB，求 △OAB 的面积．

21. 如图，在正方形 ABCD 中， E ， F 分别是边 AD ， CD 上的点， AE=ED ， DF=14DC ，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G ．
（ 1 ）求证： △ABE∽△DEF ；
（ 2 ）若正方形的边长为 4 ，求 BG 的长．

22. 如图，点 D 为 ⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 ∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线 CD 和 ⊙O 的位置关系，并说明理由．
（2）过点 B 作 ⊙O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC=2，⊙O 的半径是 3，求 BE 的长．

23. 在平面直角坐标系中，等边 △ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 0,0，6,0，点 D 是 x 轴上的一个动点，连接 CD，将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 60∘ 得到 △BCE，连接 DE．
（1）求点 C 坐标并判断 △CDE 的形状．
（2）当点 D 在线段 AB 上运动时，四边形 CDBE 的周长是否存在最小值?若存在，求出四边形 CDBE 的周长的最小值及此时点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当 △BDE 是直角三角形时，请直接写出点 D 的坐标．

24. 已知抛物线 y=x2+bx−3（b 是常数）与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C．
（1）若点 A 坐标为 −1,0，求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 △CNP 为等腰三角形?若存在，求出符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由；
（3）在 −1≤x≤2 范围内，二次函数有最小值是 −6，求 b 值（直接写出答案即可）
答案
第一部分
1. B【解析】A、C、D都不符合中心对称的定义．
2. D【解析】A选项：明天是雨天是随机事件，故A错误；
B选项：任意挪一枚均匀的硬币 10 次，正面朝上的次数是 5 次是随机事件，故B错误；
C选项：一个三角形三个内角和小于 180∘ 是不可能事件，故C错误；
D选项：两个负数的积为正数是必然事件，故D正确．
3. C【解析】用配方法解一元二次方程，
x2+2x−2=0，
可变形：
x2+2x+1−1−2=0x2+2x+1−3=0x+12−3=0x+12=3.
4. C【解析】∵ 以原点 O 为位似中心，把这个三角形扩大为原来的 2 倍，
①把点 A−2,4 的横坐标，纵坐标分别乘以 2，得到它的对应点 C 的坐标为：−4,8；
②把点 A−2,4 的横坐标，纵坐标分别乘以 −2，得到它的对应点 C 的坐标为：4,−8，
综上，点 C 的坐标是 −4,8 或 4,−8．
5. C
【解析】∵∠ADE=110∘，
∴∠ADC=180∘−∠ADE=180∘−110∘=70∘，
∴∠AOC=2∠ADC=140∘．
6. A【解析】A选项：对应边成比例，且夹角相等，所以A可判定其相似，故A正确；
B选项：∠B 不是 AB，AC 的夹角，故B错误；
C选项，D选项：只有对应边成比例，角不确定，故CD错误．
7. A【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r，
根据题意得 2πr=60⋅π⋅6180，
解得 r=1，
即这个圆锥的底面圆的半径是 1．
8. B【解析】∵ 正六边形的边心距为 3，即 OC=3，
∴AC=CO⋅tan∠AOC=CO⋅tan30∘,=CO×33=3×33=1,
∴AB=2AC=2×1=2，
∴S△AOB=12AB⋅CO=12×2×3=3，
故正六边形的面积 =6S△AOB=63．
9. A【解析】①当 k>0 时，
一次函数 y=−kx+k 经过一、二、四象限，
反比例函数的 y=kxk≠0 的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
②当 k<0 时，
一次函数 y=kx−k 经过一、三、四象限，
反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
10. D
【解析】① ∵ 图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为 −1，3，
∴AB=4，
∴ 对称轴 x=−b2a=1，
抛物线顶点在第四象限，即 x=1 时 y=a+b+c<0，故①正确；
② ∵A 点坐标为 −1,0，
∴a−b+c=0，而 b=−2a，
∴a+2a+c=0，即 c=−3a，a=−13c，故②正确；
③要使 △ABD 为等腰直角三角形，必须保证 D 到 x 轴的距离等于 AB 长的一半；
D 到 x 轴的距离就是当 x=1 时 y 的值的绝对值．
当 x=1 时，y=a+b+c，
即 ∣a+b+c∣=2，
∵ 当 x=1 时 y<0，
∴a+b+c=−2，
又 ∵ 图象与 x 轴的交点 A，B 的横坐标分别为 −1，3，
∴ 当 x=−1 时 y=0，即 a−b+c=0，
x=3 时 y=0，即 9a+3b+c=0，
解这三个方程可得 b=−1，a=12，c=−32，故③正确；
④要使 △ACB 为等腰三角形，
则必须保证 AB=BC=4 或 AB=AC=4 或 AC=BC，
当 AB=BC=4 时，
∵BO=3，△BOC 为直角三角形，
又 ∵OC 的长即为 ∣c∣，
∴c2=16−9=7，
∵ 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，
∴c=−7，
与 2a+b=0，a−b+c=0 联立组成解方程组，解得 a=73；
同理当 AB=AC=4 时，
∵AO=1，△AOC 为直角三角形，
又 ∵OC 的长即为 ∣c∣，
∴c2=16−1=15，
∵ 由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，
∴c=−15，
与 2a+b=0，a−b+c=0 联立组成解方程组，解得 a=153；
同理当 AC=BC 时，
在 △AOC 中，AC2=1+c2，
在 △BOC 中 BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个 a 值满足条件．
∴ ④正确；
∴ 正确的是①②③④．
第二部分
11. 110
【解析】∵ 末尾数字是 0 至 9 这 10 个数字中的一个，
∴ 小丽能一次支付成功的概率是 110．
12. 6
【解析】由扇形的弧长公式 l=nπr180，
得 4π=120×π×r180，
解得：r=6．
13. 8
【解析】∵OD=4 m，BD=12 m，
∴OB=4+12=16m，
由题意可知 ∠ODC=∠OBA=90∘，
∠O=∠O，
∴△OCD∽△OAB，
∴ODOB=CDAB，
即 416=2AB，
解得 AB=8．
14. 9
【解析】∵△AEF∽△ABC，且 AE:AB=1:3，
∴△AEF 与 △ABC 的面积之比为 1:9，
∴△AEF 与四边形 EBCF 的面积之比为 1:8，
∵ 四边形 EBCF 的面积是 8，
∴S△ABC=9．
15. x<−2 或 x>0
【解析】∵k=−12<0，
∴ 反比例函数图象分布在第二、四象限，
把 y=6 代入 y=−12x 得 x=−2，
∴ 当 x<−2 时，y<6，
且当 x>0 时，y<0，
所以当 x<−2 或 x>0 时，y<6．
故答案为：x<−2 或 x>0．
16. 163π−83
【解析】如图所示，连接 BD，AD 相交于点 P．
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，且 AC，BD 互相垂直平分，
∴△ABC，△ADC 均为正三角形，
∴∠BAC=∠CAD=60∘，即 ∠BAD=120∘，
∴S扇=120∘360∘×4×4π=163π，
易得 CP=PA=12CA=12×4=2，
BP=23，
∴S菱=2⋅S△BAC=2×12×4×23=83，
∵S阴=S扇−S菱，
∴S阴=163π−83．
17. 0,3，4,0，74,0
【解析】当 PC∥OA 时，△BPC∽△BOA，
由点 C 是 AB 的中点，可得 P 为 OB 的中点，
此时 P 点坐标为 0,3，
当 PC∥OB 时，△ACP∽△ABO，
由点 C 是 AB 的中点，可得 P 为 OA 的中点，
此时 P 点坐标为 4,0，
当 PC⊥AB 时，如图，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴ACOA=APAB，
∵ 点 A8,0 和点 B0,6，
∴AB=62+82=10，
∵ 点 C 是 AB 的中点，
∴AC=5，
∴58=AP10，
∴AP=254，
∴OP=OA−AP=8−254=74，
此时 P 点坐标为 74,0，
综上所述，满足条件的 P 点坐标为 0,3，4,0，74,0．
18. （1）352
（2）∵△APD∽△ABC，∠A=∠A，
∴ADAC=APAB，
又 AC=32+42=5，AD=352，AB=25，
∴3525=AD25，
则 AP=3，
又点 P 在 AC 上，AC=5，
∴AP=35AC，
则 APPC=32，
如图所示取格点 M，N，连接 MN 交 AC 于点 P，
则 AM∥CN，AM=3，CN=2，
∴AMCN=APCP=32．
【解析】（1）如图所示取格点 E，F，则 BE∥AF，BE=1，AF=3，
∵BE∥AF，
∴ADBD=AFBE=31，
则 AD=3BD，
又 AD+BD=AB，
∴AD=34AB，
∵ 点 A，B 在正方形格点上，
∴ 由勾股定理得：AB=22+42=25，
∴AD=34×25=352．
第三部分
19. （1） 12
【解析】1，2，3，4 中有 2 个奇数，
从盒子中任意摸出一个球，共有 4 种等可能情况，
其中摸出奇数号小球的情况有 2 种，
故其概率为 24=12．
（2） 用树状图表示如下：
共有 12 种等可能情况，其中和大于 4 的情况有 8 种，故其概率为 812=23．
20. （1） ∵ 把 A1,3 代入 y=kx 得：k=3，
∴ 反比例函数的解析式是 y=3x，
∵ 把 B−3,n 代入 y=3x 得：n=3−3=−1，
∴B 的坐标是 −3,−1，
∵ 把 A，B 坐标代入 y=mx+b 得：3=m+b,−1=−3m+b,
解得 m=1,b=2,
∴ 一次函数的解析式为 y=x+2．
（2） 设直线 AB 交 y 轴于 C，
∵ 把 x=0 代入 y=x+2 得：y=2，
∴OC=2，
∴△AOB 的面积 S=S△AOC+S△BOC=12×2×1+12×3×2=4．
21. （ 1 ） ∵ABCD 为正方形，
∴AD=AB=DC=BC ， ∠A=∠D=90∘ ，
∵AE=ED ，
∴EDAB=12 ，
∵DF=14DC ，
∴DFAE=12 ，
∴EDAB=DFAE ，
∴△ABE∽△DEF ；
（ 2 ） ∵ABCD 为正方形，
∴ED∥BG ，
∴EDCG=DFCF ，
又 ∵DF=14DC ，正方形的边长为 4 ，
∴ED=2 ， CG=6 ，
∴BG=BC+CG=10 ．
22. （1） 如图，连接 OD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ADO+∠ODB=90∘，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠CBD，
又 ∵∠CDA=∠CBD，
∴∠ADO+∠CDA=90∘，
即 ∠ODC=90∘，
∴OD⊥CD，
∴CD 与 ⊙O 相切．
（2） ∵BE 是 ⊙O 的切线，
∴∠ODC=∠EBC=90∘，
又 ∵∠C=∠C，
∴△ODC∽△EBC，
∴ODEB=CDCB，
∵AC=2，⊙O 的半径为 3，
∴CB=AC+AB=2+3×2=8，
OD=3，OC=OA+AC=3+2=5，
∴CD=OC2−OD2=52−32=4，
∴3EB=48．
解得 BE=6．
23. （1） ①如图，过 C 作 CH⊥AB，
在等边 △ABC 中，C 点横坐标为 3，
即 AH=3，
在 Rt△ACH 中，CH=33，
∴C3,33．
② ∵ 将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 60∘ 得到 △BCE，
∴CD=CE，∠DCE=60∘，
∴△CDE 为等边三角形．
（2） 由（1）知，△CDE 是等边三角形，
∴DE=CD，
由旋转知，BE=AD，
∵A，B 的坐标分别为 0,0，6,0，
∴AB=6，
∴CCDBE=CD+DB+BE+CE=CD+DB+AD+CD=AB+2CD=6+2CD,
由垂线段可知，当 CD⊥AB 于 D 时，
四边形 CDBE 的周长最小，
此时 CD=33，
∴ 四边形 CDBE 的周长最小值为 6+63，点 D 坐标为 3,0．
（3） −6,0，12,0．
【解析】①如图 1，
当 D1 在 x 轴负半轴时，
由（1）可知，△CD1E 为等边三角形，
∴∠D1EC=60∘，
若 △BD1E 是直角三角形，
故 ∠D1EB=90∘,
∴∠CEB=30∘
在 △ACD1 和 △BCE 中．
CD1=CE,∠D1CA=∠ECB,AC=BC,
∴△ACD1≌△BCESAS，
∴∠BEC=∠CD1A=30∘，
∵C3,33，
即 CH=33，
在 Rt△CD1H 中，
D1H=9，
∴D1−6,0，
如图 2，
当 D2 在 x 轴正半轴上时，
由（1）可知，△CD1E 为等边三角形，
∴∠CD2E=60∘，
若 △BD2E 是等腰直角三角形，
故 ∠BD2E=90∘，
∴∠AD2C=30∘，
在 Rt△CHD2 中，C3,33，
∴D2H=9，
∴D212,0，
故 D 点坐标为 −6,0，12,0．
24. （1） 将 −1,0 代入 y=x2+bx−3 则 b=−2．
∴ 抛物线解析式为：y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 顶点坐标为 1,−4．
（2） 由（1）得 N1,0，
设 Px0,y0 在对称轴上，则 x0=1，
∴P1,y0，
∴NP=∣y0∣，CN=1−02+0+32=10，CP=1−02+y0+32=y02+6y0+10．
要使 △CNP 为等腰三角形，（分情况讨论）
① CN=NP，则 ∣y0∣=10，
∴y0=±10，P 为 1,10 或 1,−10；
② CN=CP，则 y02+6y0+10=10，
∴y0=0（舍）或 y0=−6，P 为 1,−6；
③ CP=NP，则 ∣y0∣=y02+6y0+10，
∴y0=−53，P 为 1,−53，
∴ 存在，P 的坐标为 1,10 或 1,−10 或 1,−6 或 1,−53．
（3） b=−23 或 b=4．
【解析】当 −1≤x≤2 时，（按照对称轴的位置分类讨论）
① −1≤−b2≤2 即 −4≤b≤2 时，
−12−b24=−b，则 b2=12，
解得：b=23（舍），b=−23，
② −b2>2，即 b<−4 时，
x=2 时，y 有最小值，则 4+2b−3=−6，
解得 b=−72（舍）．（不在取值范围内的值应舍去）
③ −b2<−1 即 b>2 时，
x=−1 时，y 有最小值，则 1−b−3=−6，
解得 b=4．
综上所述，当 b=−23 或 b=4 时，在 −1≤x≤2 范围内，有最小值 −6．