2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试卷

这是一份2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考二模数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{﹣6，﹣3，﹣1，0，2，4，5}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣6，﹣1，0，2} B．{﹣3，﹣1，0，2，4}
C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，2，4}
2．已知复数z＝（i为虚数单位），则＝（　　）
A．﹣1﹣4i B．﹣1+4i C．1+4i D．1﹣4i
3．若函数f（x）＝lg（x+a）的图象经过抛物线y2＝8x的焦点，则a＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
4．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，S2＝3a2，则＝（　　）
A． B． C．2 D．4
5．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（　　）
A．327 B．937 C．387 D．1087
6．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交“是“a，c相交”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在正方形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，若，则λ+μ的值是（　　）
A． B． C．﹣ D．0
8．已知sin（）＝，则cos（）＝（　　）
A． B． C． D．﹣
9．《孙子算经》中有如下问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四，主责本粟．问：三鸡各偿几何．”意思是：“今有3只鸡一起吃1001粒谷子，小鸡吃1粒，母鸡吃2粒，公鸡吃4粒．要一起吃完这堆谷子，问：3只鸡各要吃多少？”为了研究小鸡吃了多少谷子，设计了如图所示的程序框图，则输出k的值为（　　）

A．141 B．142 C．143 D．144
10．函数f（x）＝•sinx在区间[﹣π，π]上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，P在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．5 D．
12．某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知f（x）＝3x﹣3﹣x+1，则f（）＝　 　．
14．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2+a4＝0，S20＝300，则＝　 　．
15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），f（）＝f（）＝0，则f（x）＝　 　．
16．设f（x）＝，g（x）＝asin（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈，使得g（x0）＝f（x1）成立，则a的取值范围是　 　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC（acosB+bcosA）＝．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．保险，是指投保人根据合同约定向保险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生的事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿责任，或者被保险人死亡、伤残、疾病或者达到合同约定的年龄、期限等条件时承担给付保险金责任的商业保险行为．某研究机构对每个保险客户的回访次数x与本月的成功订单数y进行统计分析，得到x与y之间具有线性相关关系及如表数据：
x
4
5
6
8
y
2
3
5
7
（1）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程预测：
①若本月对每个保险客户的回访次数为10，则本月的成功订单数约为多少？（结果保留整数）
②要使本月的成功订单数大于12，则本月对每个保险客户的回访最少需多少次？（结果保留整数）
附：．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．
（1）证明：AC⊥平面BCC1B1；
（2）求点C到平面ABB1A1的距离．

20．设函数f（x）＝xex﹣x，g（x）＝lnx+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立．
21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点N（1，）在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆M交于P，Q两点，且，求直线l的方程；
（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．

选考题:共10分。请考生在第22,23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ+2cosθ﹣＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）设过点M（﹣2，1）且与曲线C2平行的直线交曲线C1于A，B两点，求|MA||MB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：
（1）；
（2）．


参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{﹣6，﹣3，﹣1，0，2，4，5}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣6，﹣1，0，2} B．{﹣3，﹣1，0，2，4}
C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，2，4}
解：因为B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，又A＝{﹣6，﹣3，﹣1，0，2，4，5}，
所以A∩B＝{﹣1，0，2}．
故选：C．
2．已知复数z＝（i为虚数单位），则＝（　　）
A．﹣1﹣4i B．﹣1+4i C．1+4i D．1﹣4i
解：因为z＝＝，
所以．
故选：D．
3．若函数f（x）＝lg（x+a）的图象经过抛物线y2＝8x的焦点，则a＝（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
解：抛物线的焦点为（2，0），则f（2）＝lg（2+a）＝0，解得a＝﹣1
故选：C．
4．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，S2＝3a2，则＝（　　）
A． B． C．2 D．4
解：∵数列{an}是等比数列，S2＝a1+a2＝3a2，
∴a1＝2a2，即q＝，
则＝＝q2＝，
故选：A．
5．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（　　）
A．327 B．937 C．387 D．1087
解：依据题意，抽样间隔为25，
又237除以25的余数为12，
故所抽取的编号为：12+25k（k＝0，1，…，47），
所以327不符合．
故选：A．
6．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，则“a，b相交“是“a，c相交”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：①若a，b相交，a⊂α，b⊂β，则其交点在交线c上，故a，c相交，
②若a，c相交，可能a，b为相交直线或异面直线．
综上所述：a，b相交是a，c相交的充分不必要条件．
故选：C．
7．在正方形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，若，则λ+μ的值是（　　）
A． B． C．﹣ D．0
解：如图所示，

正方形ABCD中，E是CD的中点，AE与BD交于点F，
所以△ABF∽△EDF，则＝＝2，
所以＝＝（﹣）＝﹣，
又，
所以λ＝﹣，μ＝，
所以λ+μ＝0．
故选：D．
8．已知sin（）＝，则cos（）＝（　　）
A． B． C． D．﹣
解：因为sin（）＝，
则cos（）＝cos（336π+﹣2x）＝cos（2x﹣）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．
故选：B．
9．《孙子算经》中有如下问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四，主责本粟．问：三鸡各偿几何．”意思是：“今有3只鸡一起吃1001粒谷子，小鸡吃1粒，母鸡吃2粒，公鸡吃4粒．要一起吃完这堆谷子，问：3只鸡各要吃多少？”为了研究小鸡吃了多少谷子，设计了如图所示的程序框图，则输出k的值为（　　）

A．141 B．142 C．143 D．144
解：模拟程序的运行，可得
第1，S＝1001﹣7＝994，k＝2；
第2，S＝994﹣7＝987，k＝3；
…
第143次，S＝7﹣7＝0，k＝144，
则输出k的值为144．
故选：D．
10．函数f（x）＝•sinx在区间[﹣π，π]上的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：由，可知f（x）为偶函数，排除B，
又由当x∈[0，π]时，．排除CD，
故选：A．
11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为A，P在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．5 D．
解：由题意可知点F（c，0），A（0，b），设P（x，y），
由可得（﹣c，b）＝（x﹣c，y），
∴，
∴，
∴e＝，
故选：D．
12．某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
解：设圆锥的母线长为l，则展开后扇形的弧长为，
再设圆锥的底面半径为r，可得2，即l＝3r，
圆锥的高为h＝，
设圆锥外接球的半径为R，则（h﹣R）2+r2＝R2，解得R＝．
圆锥的体积为，
圆锥外接球的体积＝，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为＝．
故选：C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知f（x）＝3x﹣3﹣x+1，则f（）＝　﹣　．
解：因为log2＝﹣log32＝log3，且3＝，
∴f（）＝f（log3）＝3﹣3+1＝﹣2+1＝﹣．
故答案为：﹣．
14．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2+a4＝0，S20＝300，则＝　﹣2　．
解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a4＝0，S20＝300，
∴2a1+4d＝0，20a1+d＝300，
解得：a1＝﹣4，d＝2，
则＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），f（）＝f（）＝0，则f（x）＝　sin（2x﹣）　．
解：因为f（）＝f（）＝0，
所以（k1，k2∈Z），
两式作差得＝（k2﹣k1）π（k1，k2∈Z），
则ω＝2（k2﹣k1）（k1，k2∈Z），
又由0＜ω＜4，可得ω＝2，
φ＝kπ﹣（k∈Z），
又由|φ|＜，可得φ＝﹣，
故f（x）＝sin（2x﹣）．
故答案为：sin（2x﹣）．
16．设f（x）＝，g（x）＝asin（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈，使得g（x0）＝f（x1）成立，则a的取值范围是　[，2]　．
解：f（x）＝，当x＝0时，f（x）＝0；
当0＜x≤1时，f（x）＝＝∈（0，1]，
所以f（x）在[0，1]的值域为[0，1]；
g（x）＝asin（a＞0），
当0≤x≤时，0≤≤，有0≤sin≤1，
可得g（x）的值域为[3﹣2a，3﹣a]，
对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈，使得g（x0）＝f（x1）成立，
可得[0，1]⊆[3﹣2a，3﹣a]，
则，解得≤a≤2．
故答案为：[，2]．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC（acosB+bcosA）＝．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）由已知及正弦定理得，2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，…
即2cosCsin（A+B）＝sinC． …
故2sinCcosC＝sinC． …
可得cosC＝，
又0＜C＜π，
所以C＝． …
（II）由已知，S△ABC＝absinC＝． …
又C＝，
所以ab＝6． …
由已知及余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝7． …
故a2+b2＝13，从而（a+b）2＝25． …
所以△ABC的周长为5+． …
18．保险，是指投保人根据合同约定向保险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生的事故因其发生所造成的财产损失承担赔偿责任，或者被保险人死亡、伤残、疾病或者达到合同约定的年龄、期限等条件时承担给付保险金责任的商业保险行为．某研究机构对每个保险客户的回访次数x与本月的成功订单数y进行统计分析，得到x与y之间具有线性相关关系及如表数据：
x
4
5
6
8
y
2
3
5
7
（1）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程预测：
①若本月对每个保险客户的回访次数为10，则本月的成功订单数约为多少？（结果保留整数）
②要使本月的成功订单数大于12，则本月对每个保险客户的回访最少需多少次？（结果保留整数）
附：．
解：（1），，
，
，
＝，
．
故线性回归方程为；
（2）①将x＝10代入，得，
若本月对每个保险客户的回访次数为10，则本月的成功订单数约为10；
②令＞12，解得x＞11.777≈12．
故要使本月的成功订单数大于12，则本月对每个保险客户的回访最少需12次．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．
（1）证明：AC⊥平面BCC1B1；
（2）求点C到平面ABB1A1的距离．

解：（1）∵B1C⊥平面ABC．∴B1C⊥AC，
∵AC＝BC＝1，，B1C＝1，∴BC⊥AC
又B1C∩BC＝C，
∴AC⊥平面BCC1B1；
（2）设点C到平面ABB1A1的距离为h．
∵B1C⊥平面ABC，
∴B1C⊥AC．B1C⊥BC．
∴，BB1＝，∴△ABB1是等边△．
．
V＝，
V＝．，
∴．

20．设函数f（x）＝xex﹣x，g（x）＝lnx+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立．
解：（Ⅰ）函数f（x）＝xex﹣x的定义域是R．
由f（x）＝xex﹣x，得f'（x）＝ex+xex﹣1＝（1+x）ex﹣1，…
当x＞0时，1+x＞1，ex＞1，所以（1+x）ex＞1．所以（1+x）ex﹣1＞0，即f'（x）＞0；
当x＜0时，1+x＜1，0＜ex＜1，所以由1+x＜1两边同时乘以正数ex，得（1+x）ex＜ex＜1，
即（1+x）ex＜1．所以（1+x）ex﹣1＜0，即f'（x）＜0．
所以函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）证明：“不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立”等价于“不等式xex﹣x﹣lnx﹣1≥0在区间（0，+∞）上恒成立”．
令F（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则进一步转化为需要证明“不等式F（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立”．
求导得，令G（x）＝xex﹣1，则G'（x）＝（x+1）ex．
因为当x＞0时，G'（x）＝（x+1）ex＞0，所以函数G（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
所以函数G（x）在区间（0，+∞）上最多有一个零点．
又因为G（0）＝﹣1＜0，G（1）＝e﹣1＞0，所以存在唯一的c∈（0，1），使得G（c）＝0．
且当x∈（0，c）时，G（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，G（x）＞0，
即当x∈（0，c）时，F'（x）＜0；当x∈（c，+∞）时，F'（x）＞0，
所以函数F（x）在区间（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增．
从而F（x）≥F（c）＝cec﹣lnc﹣c﹣1．
由G（c）＝0，得cec﹣1＝0，即cec＝1，两边取对数，得lnc+c＝0，
所以F（c）＝cec﹣lnc﹣c﹣1＝（cec﹣1）﹣（lnc+c）＝0﹣0＝0．
所以F（x）≥F（c）＝0．即F（x）≥0．
从而证得不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立．
21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，点N（1，）在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆M交于P，Q两点，且，求直线l的方程；
（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．

解：（1）由已知可得：，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
所以椭圆的方程为；
（2）因为F1（﹣1，0），由已知可得直线L的斜率存在，
设直线l的方程为：y＝k（x+1），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程，消去y整理可得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
所以x，
所以|PQ|＝＝＝，
化简可得：k2＝4，所以k＝±2，
则直线l的方程为：y＝±2（x﹣1）；
（3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为2a×，
当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为y＝k1x+m，
联立方程，消去y整理可得：（3+4k）x，
所以＝0，解得m，
所以|AB|＝＝，同理可得|AD|＝＝，
所以矩形ABCD的面积S＝|AB||AD|＝×＝，
令1+k，所以S＝4，又t＞1，所以，
则12+＝﹣（）2+，当即t＝2时，12+取得最大值为，
所以12+，
所以S，
综上，矩形ABCD的面积的取值范围为[8，14]．
选考题:共10分。请考生在第22,23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ+2cosθ﹣＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）设过点M（﹣2，1）且与曲线C2平行的直线交曲线C1于A，B两点，求|MA||MB|的值．
解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ+2cosθ﹣＝0，根据转换为直角坐标方程为x2+y2+2x﹣3＝0．
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝，根据转化为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．
（2）设过点M（﹣2，1）且与曲线C2平行的直线的参数方程为（t为参数），代入x2+y2+2x﹣3＝0，
得到，
所以|MA||MB|＝|t1t2|＝2．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1）＝
≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．
所以；
（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得
＝（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．
则．