2021年上海市闵行区高考二模数学试卷

这是一份2021年上海市闵行区高考二模数学试卷，共9页。
闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设集合，，则       ． 2．复数为虚数单位）的共轭复数为      ． 3．在无穷等比数列中，则      ． 4．已知函数，若，则      ．5．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点．则      ． 6．若直线的参数方程为，则直线的倾斜角为      ．7．在的二项展开式中，中间一项的系数为　   ．（用数字作答）8．如右图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为        ． 9．已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一点，轴，且是与的等差中项，则双曲线的渐近线方程为       . 10．若四边形是边长为的菱形，为其所在平面上的任意点，则的取值范围是       . 11．已知函数若在区间上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数的取值集合是        .
12．已知数列（）满足（）,且，，则     ．(结果用含的式子表示) 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设，，则是成立的（    ）    (A) 充分非必要条件               (B) 必要非充分条件(C) 充要条件                     (D) 既非充分亦非必要条件14．右图是函数在一个周期内的图像，该图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴上的基本单位向量，则（    ）
    (A)          (B)          (C)          (D) 15．已知函数（），， 且，给出以下结论:① 恒成立；②恒成立.则（     ）(A) ①正确，②正确              (B) ①正确，②错误  (C) ①错误，②正确              (D) ①错误，②错误  16．在直角坐标平面上，到两条直线与的距离和为的点的轨迹所围成的图形的面积是（     ）
    (A)         (B)         (C)         (D)       三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）    已知函数．(1) 证明在区间上是增函数；(2) 若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．      18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）   如图，在四棱锥中，已知平面，，，，且． (1) 求四棱锥的体积；(2) 求直线与平面所成的角．     19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）    某植物园中有一块等腰三角形的花圃，腰长为米，顶角为，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线表示（两点分别在腰上，以下结果精确到）．(1) 如果曲线是以为圆心的一段圆弧（如图1），求的长； (2) 如果曲线是直道（如图2），求的最小值，并求此时直道的长度．      20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，直线，直线分别交直线于两点，线段的中点为.(1)设直线的斜率分别为，求的值；(2)设的面积分别为，如果，求直线的方程；(3) 在轴上是否存在定点，使得当直线的斜率存在时， 为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.     21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)    对于有限集（），如果存在函数（除外），其图像在区间上是一段连续曲线，且满足，其中，那么称这个函数是变换，集合是集合，数列是数列.例如，是集合，此时函数是变换，数列或等都是数列．(1)判断数列是否是数列？说明理由；(2)若各项均为正数的递增数列（）是数列，若变换，求的值；(3)元素都是正数的有限集（），若，总有，其中．试判断集合是否是集合？请说明理由．      闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．； 2．； 3．；  4．；  5．； 6．； 7．；8．；9．； 10．； 11．；12．.  二. 选择题  13．A；   14．D；  15．A；   16．B． 三.  解答题 17．[证明]（1）任取，则:，…………2分 ，       ………………………4分，即函数在上单调递增.  …… 6分[解]（2）在上存在零点  所以只需求函数在上的值域，    ……………8分由（1）可知函数在上是减函数， …………10分所以，     ………………………12分即，所以的取值范围为．        ………………………14分 18．[解]（1）在梯形中，，，则所以，………………………2分又四棱锥的高，所以棱锥的体积．…………6分（2）平面，平面内所以，                ………………………8分，．所以面， 所以为直线与平面所成的角．………………………10分中，，,                  ………………………12分所以即直线与平面所成的角为.………………………14分19．[解]（1）设，依题知，扇形的面积为……2分又的面积为由得         ………………………4分解得，（米）故的长约为米                   ………………………6分 （2）如图2，线段平分的面积.设，由知          ………………………8分又(当且仅当时取等号)，……10分此时（米），            ………………………12分（米）综上，的最小值约为米，此时直道的长度约为米．…14分   20．[解]（1）可求点的坐标分别为， 2分设，则，所以；…4分（2）设点，则直线的方程为………………………6分
令得，所以点的坐标为………8分由得，所以，所以直线的方程为.………………………10分（3）同（2），设点，直线的方程为同理可求直线的方程为：，令得， 所以点的坐标为 中点      ………………………12分  ………………………14分要使为定值，只需，解得，此时所以在轴上存在定点，使得为定值.………16分 21． [解]（1）记，存在函数，……………2分使得，所以数列是数列．………………………4分（2）因为函数在区间上是减函数，所以，………………………6分因为递增数列（）是数列，所以……8分
记，则所以．              ………………………10分(3)不妨设
1°当时，考察
因为，故，
且，…………12分即所以是等比数列，，此时存在变换，使得，故集合是集合．………14分
2°当时，考察
因为，故，………………………16分
即，所以是等比数列，，此时存在变换，使得，故集合是一个集合．
综合1°2°可知，集合是一个集合．………………………18分