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2021年宁夏回族自治区银川市六盘山高级中学高考二模拟数学试卷（文科）
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这是一份2021年宁夏回族自治区银川市六盘山高级中学高考二模拟数学试卷（文科），共25页。试卷主要包含了设i•z＝4﹣3i，函数f，已知函数，则下列说法错误的是，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
2021年宁夏六盘山高级中学高考数学二模试卷（文科）
一．选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1] B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．设i•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
3．单位向量，满足|+|＝|﹣|，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是（ ）
A．2022年我国5G用户规模年增长率最高
B．2025年我国5G用户数规模最大
C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x＝2，n＝2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s＝（ ）
A．10 B．11 C．16 D．17
7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）＝log2021x，则＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2021
8．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）的图象关于的对称
C．f（x）在[﹣，]上为减函数
D．f（x）的一条对称轴是
10．已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
11．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36°＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知点A（﹣，0），B（，0），C（﹣1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记∠PCD＝α，∠PDC＝β，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（每小题5分）.
13．点P（x，y）满足，则由点P构成的平面区域的面积是 ．
14．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2＝96，a3＝16，则S4的值为 ．
15．能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 、 ．
16．三棱锥A﹣BCD的一条棱长为a，其余棱长均为1，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）＝3x2﹣2x的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，其中∠ABD＝60°，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
（1）求证：EF⊥平面CDG；
（2）求三棱锥G﹣ACD的体积．
19．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接种人数y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．
参考数据：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．
参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回归方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
20．如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）．
（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA•yB的值；
（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）＝1﹣axcosx（a≠0）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[0，]的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．
（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标．
[选修4-5不等式证明选讲]
23．已知：a2+b2＝1，其中a，b∈R．
（1）求证：≤1；
（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．
参考答案
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1] B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．设i•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
解：∵i•z＝4﹣3i，
∴z＝＝＝＝﹣3﹣4i，
∴复数z的虚部为﹣4，
故选：A．
3．单位向量，满足|+|＝|﹣|，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，设与的夹角为θ，
单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|+|2＝|﹣|2，
变形可得：2+2+2•＝42+2﹣4•，变形可得cosθ＝，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
故选：B．
4．若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．
现要抽调两人前往湖北进行支援，
基本事件总数n＝＝10，
抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数m＝＝6，
则抽调的两人刚好为一男一女的概率为P＝．
故选：C．
5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是（ ）
A．2022年我国5G用户规模年增长率最高
B．2025年我国5G用户数规模最大
C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
解：由某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，知：
对于A，2022年我国5G用户规模年增长率超过300.0%，达到最高，故A正确；
对于B，2029年我国5G用户数达到137205.3万人，规模最大，故B错误；
对于C，从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故C正确；
对于D，这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，
后5年的方差小于前5年的方差，故D错误．
故选：AC．
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x＝2，n＝2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s＝（ ）
A．10 B．11 C．16 D．17
解：∵输入的x＝2，n＝2，
当输入的a为1时，S＝1，k＝1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S＝4，k＝2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为3时，S＝11，k＝3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为11，
故选：B．
7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）＝log2021x，则＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2021
解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）＝log2021x，
则＝﹣f（）＝﹣log2021＝1．
故选：A．
8．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
解：取CD的中点M，连结ME，FM，
因为F，M分别为AB，DC的中点，所以FM∥AD，
又A'D'∥AD，
所以A'D'∥FM，
则∠EFM即为异面直线A'D'与EF所成角，
不妨设正方体的棱长为2，
则FM＝2，EM＝，
所以EF＝，
在Rt△EFM中，cos∠EFM＝，
所以异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是．
故选：A．
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）的图象关于的对称
C．f（x）在[﹣，]上为减函数
D．f（x）的一条对称轴是
解：对于函数，它的最小正周期为＝π，故A正确；
令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得f（x）的图象关于的对称，故B正确；
当x∈[﹣，]，2x∈[0，]，故f（x）在[﹣，]上为减函数，故C正确；
令x＝，求得f（x）＝0，故x＝ 不是 f（x）的一条对称轴，故D错误，
故选：D．
10．已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解：如图所示：双曲线C：的右焦点为F（c，0），
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则点F到y＝±x的距离AF＝＝b，
∴OA＝＝a，
∵以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，
∴a＝2b．
∴e＝＝＝．
故选：A．
11．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36°＝（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
设AB＝AC＝1，AD＝x，则CD＝1﹣x，
由AD2＝CD•AC，得x2＝1﹣x，解得x＝或x＝（舍）．
∴AD＝．
∴cos36°＝．
故选：B．
12．已知点A（﹣，0），B（，0），C（﹣1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记∠PCD＝α，∠PDC＝β，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
解：因为直线PA，PB的斜率之积为，
所以＝﹣，
整理得，（x），
则C（﹣1，0），D（1，0）为椭圆的焦点，
所以＝＝＝．
故选：C．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点P（x，y）满足，则由点P构成的平面区域的面积是 2 ．
解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：
由，解得A（3，3）；
由，解得B（1，1）；
由，解得C（2，0）；
因为直线x﹣y＝0与直线x+y＝2互相垂直，
且|AB|＝＝2，
|BC|＝＝，
所以由点P构成的平面区域的面积是S△ABC＝•|AB|•|BC|＝×2×＝2．
故答案为：2．
14．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2＝96，a3＝16，则S4的值为 120 ．
解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q＞0，
因为a1+a2＝96，
所以a1（1+q）＝96，
又a3＝a1q2＝16，
所以，整理可得：6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，或q＝﹣（舍去），
所以a1＝64，
所以S4＝＝120．
故答案为：120．
15．能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 1 、 ﹣1 ．
解：因为u＝x+在R上单调递增，y＝，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，
于是y＝的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．
所以当a＞0，b＞0时，或者当a＜0，b＜0时，命题“若a＞b，则＜”是真命题，
当a＞0，b＜0时，a＞b成立，但＞0，＜0，所以＞，所以命题“若a＞b，则＜”是假命题，
于是取一组特值满足a＞0，b＜0即可，不妨取a＝1，b＝﹣1．
故答案为：1、﹣1．
16．三棱锥A﹣BCD的一条棱长为a，其余棱长均为1，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
解：由题意画出三棱锥的图形，
其中AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝1，AD＝a．
取BC，AD的中点分别为E，F，
可知AE⊥BC，DE⊥BC，且AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED，
∴平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，
此时AD＝a＝AE＝×＝．
设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，由球体的对称性知，
球心O在线段EF上，∴OA＝OC＝R，
又EF＝＝，
设OF＝xOE＝，
∴R2＝+x2＝，
解得x＝．
∴球的半径R满足R2＝＝，
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2＝4π×＝．
故答案为：．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）＝3x2﹣2x的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）由题意可知：Sn＝3n2﹣2n
当n≥2，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）＝6n﹣5．
又因为a1＝S1＝1..
所以an＝6n﹣5．
（2）
所以Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．
18．现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，其中∠ABD＝60°，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
（1）求证：EF⊥平面CDG；
（2）求三棱锥G﹣ACD的体积．
【解答】（1）证明：根据已知得AD＝BD，又G为AB的中点，所以DG⊥AB，
因为AC＝BC，G为AB的中点，所以CG⊥AB，
又DG∩CG＝G，DG⊂平面CDG，CG⊂平面CDG，所以AB⊥平面CDG，
又因为AB∥EF，所以EF⊥平面CDG．
（2）解：因为CD⊥AD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，
取BD中点H，连接AH，FH，则AH⊥平面BDC，
所以对于三棱锥A﹣BCD的体积，以三角形BCD为底，AH为高，
所以，
所以．
19．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接种人数y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．
参考数据：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．
参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回归方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
解：（1）由题意可得，，
所以＝，
故＝＝12.25﹣1.667×4.5≈4.75，
所以y关于t的回归方程为＝1.67t+4.75；
（2）第10天接种人数的预报值为2145人，
当t＝12时，的预报值为＝1.67×12+4.75＝24.79，
当t＝13时，的预报值为＝1.67×13+4.75＝26.46＞25，
故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人．
20．如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）．
（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA•yB的值；
（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：（1）设直线AB的方程为x＝my+1，代入y2＝2x得y2﹣2my﹣2＝0，则yA•yB＝﹣2，
（2）由（1）同理得yM•yN＝﹣2，
设直线AN的方程为x＝ny+2，代入y2＝2x得y2﹣2ny﹣4＝0，则yA•yN＝﹣4，
又k1＝＝＝，同理k2＝，
则λ＝＝＝＝＝2，
∴存在实数λ＝2，使得k2＝2k1成立．
21．已知函数f（x）＝1﹣axcosx（a≠0）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[0，]的最小值．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝1﹣xcosx，∴f'（x）＝xsinx﹣cosx，
又f（0）＝1得切点（0，1），∴k＝f'（0）＝﹣1，
所以切线方程为y﹣1＝﹣x，即x+y﹣1＝0；
（2）法一：f（x）＝1﹣axcosx，∴f′（x）＝a（xsinx﹣cosx），x∈[0，]，
令g（x）＝xsinx﹣cosx，∴g'（x）＝2sinx+xcosx，
由，得g'（x）≥0，所以g（x）在上为单调增函数，
又，
所以g（x）＜0在上恒成立，
即，
当a＞0时，f'（x）＜0，知f（x）在上为减函数，从而，
当a＜0时，f'（x）＞0，知f（x）在上为增函数，从而f（x）min＝f（0）＝1；
综上，当a＞0时；当a＜0时f（x）min＝f（0）＝1．
法二：∵f（x）＝1﹣axcosx，∴f′（x）＝a（xsinx﹣cosx），x∈[0，]，
由，得cosx≥sinx≥0，1≥x≥0，∴cosx﹣xsinx≥0，
当a＞0时，f'（x）＜0知f（x）在上为减函数，从而，
当a＜0时，f'（x）＞0知f（x）在上为增函数，从而f（x）min＝f（0）＝1，
综上，当a＞0时；
当a＜0时f（x）min＝f（0）＝1．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．
（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标．
解：（1）以极点为圆心的单位圆，为ρ＝1与ρ＝2sin2θ联立，
得到2sin2θ＝1，
所以sin2θ＝，
由于，
所以，
故极坐标为．
（2）直线，转换为，转换为直角坐标方程为，
当点 为 时，取得的最小值为1．
[选修4-5不等式证明选讲]
23．已知：a2+b2＝1，其中a，b∈R．
（1）求证：≤1；
（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．
解：（1）证明：根据题意，≤1⇒|a﹣b|≤|1﹣ab|⇒（a﹣b）2≤（1﹣ab）2，
变形可得：（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，
又由a2+b2＝1，则a2≤1，b2≤1，
则有（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，
故原不等式成立．
（2）根据题意，（a+b）（a3+b3）＝a4+ab3+a3b+b4≥a4+2+b4＝（a2+b2）2＝1，
当且仅当a＝b＝或﹣时，等号成立，
则（a+b）（a3+b3）的最小值为1．
2021年宁夏六盘山高级中学高考数学二模试卷（文科）
一．选择题（每小题5分）.
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1] B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．设i•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
3．单位向量，满足|+|＝|﹣|，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是（ ）
A．2022年我国5G用户规模年增长率最高
B．2025年我国5G用户数规模最大
C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x＝2，n＝2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s＝（ ）
A．10 B．11 C．16 D．17
7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）＝log2021x，则＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2021
8．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）的图象关于的对称
C．f（x）在[﹣，]上为减函数
D．f（x）的一条对称轴是
10．已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
11．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36°＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知点A（﹣，0），B（，0），C（﹣1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记∠PCD＝α，∠PDC＝β，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（每小题5分）.
13．点P（x，y）满足，则由点P构成的平面区域的面积是 ．
14．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2＝96，a3＝16，则S4的值为 ．
15．能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 、 ．
16．三棱锥A﹣BCD的一条棱长为a，其余棱长均为1，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）＝3x2﹣2x的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，其中∠ABD＝60°，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
（1）求证：EF⊥平面CDG；
（2）求三棱锥G﹣ACD的体积．
19．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接种人数y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．
参考数据：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．
参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回归方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
20．如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）．
（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA•yB的值；
（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）＝1﹣axcosx（a≠0）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[0，]的最小值．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．
（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标．
[选修4-5不等式证明选讲]
23．已知：a2+b2＝1，其中a，b∈R．
（1）求证：≤1；
（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．
参考答案
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1] B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x≤1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．设i•z＝4﹣3i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i
解：∵i•z＝4﹣3i，
∴z＝＝＝＝﹣3﹣4i，
∴复数z的虚部为﹣4，
故选：A．
3．单位向量，满足|+|＝|﹣|，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，设与的夹角为θ，
单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|+|2＝|﹣|2，
变形可得：2+2+2•＝42+2﹣4•，变形可得cosθ＝，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
故选：B．
4．若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．
现要抽调两人前往湖北进行支援，
基本事件总数n＝＝10，
抽调的两人刚好为一男一女包含的基本事件个数m＝＝6，
则抽调的两人刚好为一男一女的概率为P＝．
故选：C．
5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图关于下列说法，其中正确的是（ ）
A．2022年我国5G用户规模年增长率最高
B．2025年我国5G用户数规模最大
C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
解：由某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，知：
对于A，2022年我国5G用户规模年增长率超过300.0%，达到最高，故A正确；
对于B，2029年我国5G用户数达到137205.3万人，规模最大，故B错误；
对于C，从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故C正确；
对于D，这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，
后5年的方差小于前5年的方差，故D错误．
故选：AC．
6．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x＝2，n＝2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s＝（ ）
A．10 B．11 C．16 D．17
解：∵输入的x＝2，n＝2，
当输入的a为1时，S＝1，k＝1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S＝4，k＝2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为3时，S＝11，k＝3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为11，
故选：B．
7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）＝log2021x，则＝（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2021
解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）＝log2021x，
则＝﹣f（）＝﹣log2021＝1．
故选：A．
8．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E、F分别为棱CC'、AB的中点，则异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
解：取CD的中点M，连结ME，FM，
因为F，M分别为AB，DC的中点，所以FM∥AD，
又A'D'∥AD，
所以A'D'∥FM，
则∠EFM即为异面直线A'D'与EF所成角，
不妨设正方体的棱长为2，
则FM＝2，EM＝，
所以EF＝，
在Rt△EFM中，cos∠EFM＝，
所以异面直线A'D'与EF所成角的余弦值是．
故选：A．
9．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）的图象关于的对称
C．f（x）在[﹣，]上为减函数
D．f（x）的一条对称轴是
解：对于函数，它的最小正周期为＝π，故A正确；
令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得f（x）的图象关于的对称，故B正确；
当x∈[﹣，]，2x∈[0，]，故f（x）在[﹣，]上为减函数，故C正确；
令x＝，求得f（x）＝0，故x＝ 不是 f（x）的一条对称轴，故D错误，
故选：D．
10．已知双曲线C：的右焦点为F，若以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解：如图所示：双曲线C：的右焦点为F（c，0），
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
则点F到y＝±x的距离AF＝＝b，
∴OA＝＝a，
∵以OF（O为坐标原点）为直径的圆被双曲线C的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C的虚轴长，
∴a＝2b．
∴e＝＝＝．
故选：A．
11．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36°＝（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
设AB＝AC＝1，AD＝x，则CD＝1﹣x，
由AD2＝CD•AC，得x2＝1﹣x，解得x＝或x＝（舍）．
∴AD＝．
∴cos36°＝．
故选：B．
12．已知点A（﹣，0），B（，0），C（﹣1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为，记∠PCD＝α，∠PDC＝β，则＝（ ）
A． B．2 C． D．
解：因为直线PA，PB的斜率之积为，
所以＝﹣，
整理得，（x），
则C（﹣1，0），D（1，0）为椭圆的焦点，
所以＝＝＝．
故选：C．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点P（x，y）满足，则由点P构成的平面区域的面积是 2 ．
解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：
由，解得A（3，3）；
由，解得B（1，1）；
由，解得C（2，0）；
因为直线x﹣y＝0与直线x+y＝2互相垂直，
且|AB|＝＝2，
|BC|＝＝，
所以由点P构成的平面区域的面积是S△ABC＝•|AB|•|BC|＝×2×＝2．
故答案为：2．
14．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2＝96，a3＝16，则S4的值为 120 ．
解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q＞0，
因为a1+a2＝96，
所以a1（1+q）＝96，
又a3＝a1q2＝16，
所以，整理可得：6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，或q＝﹣（舍去），
所以a1＝64，
所以S4＝＝120．
故答案为：120．
15．能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为 1 、 ﹣1 ．
解：因为u＝x+在R上单调递增，y＝，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，
于是y＝的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．
所以当a＞0，b＞0时，或者当a＜0，b＜0时，命题“若a＞b，则＜”是真命题，
当a＞0，b＜0时，a＞b成立，但＞0，＜0，所以＞，所以命题“若a＞b，则＜”是假命题，
于是取一组特值满足a＞0，b＜0即可，不妨取a＝1，b＝﹣1．
故答案为：1、﹣1．
16．三棱锥A﹣BCD的一条棱长为a，其余棱长均为1，当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
解：由题意画出三棱锥的图形，
其中AB＝BC＝CD＝BD＝AC＝1，AD＝a．
取BC，AD的中点分别为E，F，
可知AE⊥BC，DE⊥BC，且AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED，
∴平面ABC⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，
此时AD＝a＝AE＝×＝．
设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，由球体的对称性知，
球心O在线段EF上，∴OA＝OC＝R，
又EF＝＝，
设OF＝xOE＝，
∴R2＝+x2＝，
解得x＝．
∴球的半径R满足R2＝＝，
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2＝4π×＝．
故答案为：．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数f（x）＝3x2﹣2x的图象上，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）由题意可知：Sn＝3n2﹣2n
当n≥2，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）＝6n﹣5．
又因为a1＝S1＝1..
所以an＝6n﹣5．
（2）
所以Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．
18．现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，其中∠ABD＝60°，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
（1）求证：EF⊥平面CDG；
（2）求三棱锥G﹣ACD的体积．
【解答】（1）证明：根据已知得AD＝BD，又G为AB的中点，所以DG⊥AB，
因为AC＝BC，G为AB的中点，所以CG⊥AB，
又DG∩CG＝G，DG⊂平面CDG，CG⊂平面CDG，所以AB⊥平面CDG，
又因为AB∥EF，所以EF⊥平面CDG．
（2）解：因为CD⊥AD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，
取BD中点H，连接AH，FH，则AH⊥平面BDC，
所以对于三棱锥A﹣BCD的体积，以三角形BCD为底，AH为高，
所以，
所以．
19．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务，现统计了前8天，每天（用t＝1，2，…，8表示）的接种人数y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．
参考数据：＝12.25，（ti﹣）2＝42，（yi﹣）（ti﹣）＝70．
参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（tn，yn），回归方程＝+t中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．
解：（1）由题意可得，，
所以＝，
故＝＝12.25﹣1.667×4.5≈4.75，
所以y关于t的回归方程为＝1.67t+4.75；
（2）第10天接种人数的预报值为2145人，
当t＝12时，的预报值为＝1.67×12+4.75＝24.79，
当t＝13时，的预报值为＝1.67×13+4.75＝26.46＞25，
故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人．
20．如图，A，B，M，N为抛物线y2＝2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点（1，0），直线AN过点（2，0）．
（1）记A，B的纵坐标分别为yA，yB，求yA•yB的值；
（2）记直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ，使得k2＝λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：（1）设直线AB的方程为x＝my+1，代入y2＝2x得y2﹣2my﹣2＝0，则yA•yB＝﹣2，
（2）由（1）同理得yM•yN＝﹣2，
设直线AN的方程为x＝ny+2，代入y2＝2x得y2﹣2ny﹣4＝0，则yA•yN＝﹣4，
又k1＝＝＝，同理k2＝，
则λ＝＝＝＝＝2，
∴存在实数λ＝2，使得k2＝2k1成立．
21．已知函数f（x）＝1﹣axcosx（a≠0）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[0，]的最小值．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝1﹣xcosx，∴f'（x）＝xsinx﹣cosx，
又f（0）＝1得切点（0，1），∴k＝f'（0）＝﹣1，
所以切线方程为y﹣1＝﹣x，即x+y﹣1＝0；
（2）法一：f（x）＝1﹣axcosx，∴f′（x）＝a（xsinx﹣cosx），x∈[0，]，
令g（x）＝xsinx﹣cosx，∴g'（x）＝2sinx+xcosx，
由，得g'（x）≥0，所以g（x）在上为单调增函数，
又，
所以g（x）＜0在上恒成立，
即，
当a＞0时，f'（x）＜0，知f（x）在上为减函数，从而，
当a＜0时，f'（x）＞0，知f（x）在上为增函数，从而f（x）min＝f（0）＝1；
综上，当a＞0时；当a＜0时f（x）min＝f（0）＝1．
法二：∵f（x）＝1﹣axcosx，∴f′（x）＝a（xsinx﹣cosx），x∈[0，]，
由，得cosx≥sinx≥0，1≥x≥0，∴cosx﹣xsinx≥0，
当a＞0时，f'（x）＜0知f（x）在上为减函数，从而，
当a＜0时，f'（x）＞0知f（x）在上为增函数，从而f（x）min＝f（0）＝1，
综上，当a＞0时；
当a＜0时f（x）min＝f（0）＝1．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在花语中，四叶草象征幸运．已知在极坐标系下，方程ρ＝2sin2θ对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”．
（1）当“四叶草”中的时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；
（2）已知A为“四叶草”上的点，求点A到直线距离的最小值以及此时点A的极坐标．
解：（1）以极点为圆心的单位圆，为ρ＝1与ρ＝2sin2θ联立，
得到2sin2θ＝1，
所以sin2θ＝，
由于，
所以，
故极坐标为．
（2）直线，转换为，转换为直角坐标方程为，
当点 为 时，取得的最小值为1．
[选修4-5不等式证明选讲]
23．已知：a2+b2＝1，其中a，b∈R．
（1）求证：≤1；
（2）若ab＞0，求（a+b）（a3+b3）的最小值．
解：（1）证明：根据题意，≤1⇒|a﹣b|≤|1﹣ab|⇒（a﹣b）2≤（1﹣ab）2，
变形可得：（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，
又由a2+b2＝1，则a2≤1，b2≤1，
则有（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，
故原不等式成立．
（2）根据题意，（a+b）（a3+b3）＝a4+ab3+a3b+b4≥a4+2+b4＝（a2+b2）2＝1，
当且仅当a＝b＝或﹣时，等号成立，
则（a+b）（a3+b3）的最小值为1．
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