苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试当堂检测题

这是一份苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试当堂检测题，共12页。
1．下列各组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．5，12，13
2．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ ）
A．3B．12C．9D．4
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c．下列条件中；不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．a2＝b2+c2
C．∠A+∠B＝∠CD．a：b：c＝3：4：5
4．如图，∠C＝90，AB＝12，BC＝3，CD＝4，若∠ABD＝90°，则AD的长为（ ）
A．8B．10C．13D．15
5．如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（ ）
A．5米B．8米C．9米D．25
6．若a、b、c是△ABC三条边的长，且满足a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
7．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．0≤h≤12B．12≤h≤13C．11≤h≤12D．12≤h≤24
8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①③
二．填空题
9．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ．
10．在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝46°，则∠B＝ °．
11．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝ ．
12．如图，是一个直角三角形以三边为边长向外作三个正方形，则字母A所代表的正方形的面积为 ．
13．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝12，BC＝5，则CD＝ ．
14．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m．
15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为 ．
16．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝ ．
三．解答题
17．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（加图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．
18．如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求证AC⊥CD．
19．八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得BD的长度为25米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；
（3）牵线放风筝的小明身高1.68米．
求风筝的高度CE．
20．三水九道谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，经过10秒后游船移动到点D的位置，此时BD＝6m，问工作人员拉绳子的速度是多少？
21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
22．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形．
（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；
（2）已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图1、图2的面积相等，请你根据此图证明（1）中的定理．
参考答案
一．选择题
1．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；
B、42+52≠62，不是勾股数，此选项正确；
C、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项错误．
故选：B．
2．解：如图，
由题意可得：AB＝4，AC＝5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴BC2＝25﹣16＝9，
∴S＝9，
故选：C．
3．解：A、∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不为直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
4．解：在Rt△BCD中，∠C＝90，
由勾股定理得：BD＝，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
由勾股定理得：AD＝，
故选：C．
5．解：设大树高约有x米，由勾股定理得：
（x﹣3）2＝32+42，
解得：x＝8，
答：大树高约8米．
故选：B．
6．解：∵a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，
即（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴（a﹣b）2＝0，且|a2+b2﹣c2|＝0，
∴（a﹣b）2＝0，且a2+b2＝c2，
∴a＝b，且△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选：B．
7．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝＝＝13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．
故选：C．
8．解：由题意知，
由①﹣②得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝．
∴结论①②③正确，④错误．
故选：C．
二．填空题
9．解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
10．解：∵∠C＝90°，∠A＝46°，
∴∠B＝90°﹣46°＝44°，
故答案为：44．
11．解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴，
故答案为：13．
12．解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故答案是：64．
13．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB＝，
由S△ABC＝得：
∴5×12＝13×CD，
∴CD＝．
故答案为：．
14．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故答案为：17．
15．解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，（x+1）2＝x2+25，
故答案为：（x+1）2＝x2+25．
16．解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，AH＝DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
三．解答题
17．解：连接AC，如图：
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝•AB•BC+•AD•DC
＝×24×7+×20×15
＝234（m2）．
答：这块四边形草坪的面积是234m2．
18．证明：∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
即AC⊥CD．
19．解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝652﹣252＝3600，
所以，CD＝±60（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝60+1.68＝61.68（米），
答：风筝的高度CE为61.68米．
20．解：由题意得：∠B＝90°，
∵BC＝8m，BD＝6m，
∴CD＝＝＝10m，
∵AC＝17m，
∴绳子移动了AC﹣DC＝17﹣10＝7（m），用时10秒，
∴工作人员拉绳子的速度是7÷10＝0.7米/秒．
21．解：公路AB不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
因为BC＝800米，AC＝600米，
所以，根据勾股定理有AB＝＝1000（米）．
因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC
所以CD＝＝＝480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
22．解：（1）勾股定理：
直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2；
（2）图1的面积为：S1＝，
图2的面积为S2＝，
∵图1、图2的面积相等，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．