初中数学第1章 二次函数综合与测试课后复习题

这是一份初中数学第1章 二次函数综合与测试课后复习题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数 是二次函数，则等于（ ）
A．±2B．2C．-2D．±1
2．抛物线对称轴是（ ）
A．直线x=3B．直线x=1
C．直线x=-1D．直线x=-3
3．如果将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )
A．B．
C．D．
4．函数的图象是以为顶点的抛物线，则这个函数的关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为( )
A．B．C．D．
6．关于二次函数的最大（小）值，叙述正确的是（ ）
A．当时，函数有最大值B．当时，函数有最小值
C．当时，函数有最大值D．当时，函数有最小值
7．函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
8．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．②④
二、填空题
9．用配方法把函数化成的形式是________．
10．抛物线y=2x2+4x+5的图象开口___,当x___时,函数值y随x的增大而增大.
11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为________．
12．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是_______cm2．
13．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，该同学的成绩是________．
14．二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是________．
15．如图是二次函数和一次函数的图象，当，的取值范围是________．
三、解答题
16．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
17．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
18．一种商品进价为每件元，如果售价为每件元，一周可卖出件．市场调查表明：这种商品如果每件涨价元，每周要少卖件；每件降价元，每周要多卖件．
求销售该商品所获利润（元）与上涨价格（元）之间的函数关系式；
求涨价多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？
19．已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.
(1)求函数的解析式;
(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.
20．如图，已知二次函数的图象经过点，点
求此二次函数的表达式；
若该图象上的点在第三象限，且的面积为，求，的值．
21．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交坐标轴于A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点，点B是抛物线与x轴的交点，点P是抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POB是以OB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在一点P，x轴上有一点F，使得以P、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，令m2-2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范围．
【详解】
∵y=(m+2)是二次函数，
∴m2−2=2，且m+2≠0，
∴m=2.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义及运用.
2．D
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式方程y=-2（x+3）2+1可以直接写出它的对称轴直线方程．
【详解】
∵抛物线y=−2(x+3)2+1的对称轴直线是该图象的顶点坐标的横坐标，
∴抛物线的对称轴是直线x=−3；
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质及运用.
3．B
【分析】
先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】
抛物线y=x2+3的顶点坐标为（0，3），
向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，2），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2+2．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
4．C
【解析】
【分析】
根据条件得出二次函数的顶点式，整理成一般形式即可．
【详解】
根据顶点式得：y=(x−3)2+2；
整理成一般形式为：y=x2−6x+11.
故答案选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质及运用.
5．D
【分析】
先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可得出答案．
【详解】
A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误；
B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误；
C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误；
D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故D正确；
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题关键.
6．D
【解析】
【分析】
根据二次函数开口方向向上可知：有最小值，当时，函数有最小值为：.
【详解】
解：二次函数开口向上，
当时，函数有最小值为：，
故答案为D.
【点睛】
本题考查了二次函数的最值.求二次函数的最值，常用图像法，配方法，公式法求解.当自变量取不到对称轴时，需根据图像用代入法求解.
7．A
【解析】
【分析】
由图可知ax2+bx+c-2=0的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．
【详解】
∵函数的顶点的纵坐标为3，
∴直线y=3与函数图象只有一个交点，
∴y=ax2+bx+c−2,相当于函数y=ax2+bx+c的图象向下平移2个单位，
∴方程ax2+bx+c−2=0的根为两个不相等的实数根.
故选：A.
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象的相关知识.
8．C
【解析】
【分析】
根据二次函数图像开口向下可知，对称轴位于y轴右侧可知,函数图像与y轴正半轴相交，由此判断是否成立；x=-1时由抛物线图像判断是否成立；x=2时由抛物线图像判断是否成立；由抛物线与x轴交点个数判断是否成立.
【详解】
解：二次函数的图象开口向下，，
对称轴x=1=，，
函数图像与y轴正半轴相交，，
，故①错误；
当x=-1时，由图像可知：，，故②错误；
当x=2时，有图像可知与x=0的y值相同，所以：，，故③正确；
抛物线与x轴有两个交点，，故④正确；
故答案为C.
【点睛】
此题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，利用对称轴判断a和b之间的关系，二次函数与方程之间的转换以及判别式的运用.
9．
【解析】
【分析】
配方法：首先提出二次项系数，再加上一次项系数绝对值一半的平方凑出完全平方式，将一般式转化为顶点式即可得到结论.
【详解】
解：函数==；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式的形式转换，二次函数的解析式有三种形式，分别为：
（1）一般式:(为常数)；
（2）顶点式：(为常数)；
（3）交点式：（为常数）.
10．向上, >-1
【分析】
将二次函数y=2x2+4x+5化为顶点式，再依次判断对称轴、开口方向及函数增减性
【详解】
二次函数y=2x2+4x+5通过配方化为顶点式为y=2（x+1）2+3，
∴对称轴是直线x=-1，顶点坐标为（-1，3），
∵a>0 ，
∴抛物线开口向上，当x＞-1时，y随x的增大而增大；
故答案为向上；>-1
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，把二次函数化为顶点式，判断出对称轴及顶点坐标是解题关键.
11．或
【分析】
根据函数图像求出二次函数与x轴的交点,利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题.
【详解】
解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴关于的一元二次方程的根为或.
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
12．64．
【详解】
试题解析：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16-x）cm．
则矩形的面积S=x（16-x），即S=-x2+16x，
当x=-时，S有最大值是：64．
考点：二次函数的最值．
13．
【解析】
【分析】
由题可知，该同学的成绩是站立位置到铅球落点间的水平距离，即原点到抛物线与x轴右交点间的距离，求出交点横坐标即可得到结论.
【详解】
解：在抛物线中，当y=0时，解方程得：，故该同学的成绩是；
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次函数实际应用，关键把抽象的函数问题与实际问题结合，此题容易将成绩距离理解为抛物线顶点到x轴右交点间的水平距离，造成错误答案.
14．-1≤tn.
【分析】
（1）根据题意设解析式为y=a(x-3)2-2，把（0， ）代入，求出a的值即可得二次函数的解析式；（2）利用函数解析式确定抛物线的开口方向，对称轴，根据二次函数的性质判断函数的增减性即可得答案.
【详解】
(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,
根据题意得9a-2=
解得a=，
所以函数解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,
又因为二次函数的对称轴是直线x=3.
所以当x>3时,y随x增大而增大,
因为p>q>5>3,
所以m>n.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，当二次函数的顶点坐标已知时，可设顶点式，熟练掌握二次函数的性质，根据对称轴判断函数的增减性是解题关键.
20．(1);(2)，的值为，．
【解析】
【分析】
（1）把A与B的坐标，代入二次函数解析式求出a与b的值，即可确定出解析式．
（2）根据三角形的面积为5，从而求出其m，n的值．
【详解】
)将，点代入，
得：，
解得．
则二次函数解析式为；
∵的面积为，，，
∴，
∴，
∵点在第三象限，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，的值为，．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的综合知识，熟练掌握待定系数法是解本题的关键，注意第二问有难度．
21．（1）详见解析；（2）①抛物线解析式为y=x2﹣5x+6；②.
【详解】
试题分析：（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△=1＞0，于是根据△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到=-，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△=52-4（6+k）=0，然后解关于k的方程即可．
试题解析：（1）y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，
∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①∵x=-，
∴m=2，
∴抛物线解析式为y=x2-5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，
∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△=52-4（6+k）=0，
∴k=，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数图象与几何变换；3．待定系数法求二次函数解析式．
22．（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）点P坐标为（2，﹣6）；（3）点P坐标为：（，4）或（，4）或（3，﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c，可求出b、c的值即可求得二次函数的解析式；（2）过OB的中点D作垂线交抛物线于点P，则△POB就是所求的三角形，根据抛物线的解析式可求出B点坐标，由DP是OB的垂直平分线，可知直线DP为：x=2，进而可得P点坐标；（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），分别讨论AC为边和AC为对角线两种况，根据平行四边形的性质，列方程求出m的值即可求得P点坐标.
【详解】
（1）将A（﹣1，0），C（0，﹣4）两点代入y=x2+bx+c得：，
∴ ，
所以此二次函数的解析式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵△POB是以OB为底边的等腰三角形，
∴过OB的中点D作垂线交抛物线于点P
即△POB就是所求的三角形，如图1，
∵点B是抛物线y=x2﹣3x﹣4与x轴的一个交点，
∴B（4，0）
∴直线DP可以表示为：x=2
∵点P是抛物线y=x2﹣3x﹣4与直线x=2的交点，
∴根据方程组的解得：点P坐标为（2，﹣6）；
（3）设P（m，m2﹣3m﹣4），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴CO=4，
①以AC作为边，如图2，过点P1向x轴作垂线交x轴于点M
根据平行四边形的性质：AC=P1F1，CO=MP1，
∵∠P1MF1=∠AOC=90°，
∴Rt△P1MF1≌Rt△COA，
∴CO=P1M
∵CO=P1M=4，
∴m2﹣3m﹣4=4或m2﹣3m﹣4=﹣4，
解之得：m= 或m=0（舍）或m=3，
∴点P坐标为（，4）或（，4）或（3，﹣4），
②以AC作为对角线，如图2，CP∥AF，
∴点P坐标为（3，﹣4）
∴点P坐标为：（，4）或（，4）或（3，﹣4）．