2020-2021学年北京市东城区北京市第二中学七上期末数学试卷（北京二中教育集团）

这是一份2020-2021学年北京市东城区北京市第二中学七上期末数学试卷（北京二中教育集团），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 【例 4 】 2018 年 10 月 23 日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式开通，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海底隧道于一身，全长约 55000 米．其中 55000 用科学记数法可表示为
A. 5.5×103B. 55×103C. 5.5×104D. 6×104

2. 下列运算中，正确的是
A. 3a+2a=5a2B. 3a−a=3
C. 3a+b=3abD. −3a2b+2a2b=−a2b

3. 有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是
A. a+b>0B. ab>0
C. b−a>0D. b−a>0

4. 有 5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中 A，B，C，D 中的 位置接正方形．
A. AB. BC. CD. D

5. 如图，将一个三角板 60 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27∘40ʹ，则 ∠2 的余角是
A. 17∘20ʹB. 32∘20ʹC. 33∘20ʹD. 58∘20ʹ

6. 如图，点 A 在点 O 的北偏西 60∘ 的方向上，点 B 在点 O 的南偏东 20∘ 的方向上，那么 ∠AOB 的大小为
A. 110∘B. 130∘C. 140∘D. 150∘

7. 在下列说法中，正确的是
A. 连接 A，B 就得到 AB 的距离B. 延长 ∠AOB 的平分线
C. 一个有理数不是整数就是分数D. a−23 是单项式

8. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 2ax+by=3,ax−by=1 的解为 x=1,y=−1, 则 a−2b 的值为
A. 23B. 2C. −2D. −3

9. 已知关于 x，y 的二元一次方程组的解 2x+m=4,y−3=m 满足 2x−y=3，则 m 的值是
A. 2B. −2C. 1D. −1

10. 小明计划和爸爸一起自驾游，图 A 是这月份的日历，用图 B 框住 5 个日期，他们的和是 50，图 B 中 x 是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗?
（注：北京市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为 1 和 6，每周二限行尾号为 2 和 7，每周三限行尾号为 3 和 8，每周四限行尾号为 4 和 9，每周五限行尾号为 0 和 5）
图 A：
周日周一周二周三周四周五周六12345678910111213141516171819202122232425262728293031
A. 11，不能B. 11，能C. 10，能D. 10，不能

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 单项式 −3xy2 的系数是 ，次数是 ．

12. 已知 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则 3cd−2021a+b 的值为 ．

13. 若 ∠α 的补角比它的余角的 2 倍大 30∘，则 ∠α 的度数为 ∘．

14. 如图，将长方形 ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG 为折痕，点 A 落在 Aʹ，点 B 落在 Bʹ，点 Aʹ，Bʹ，E 在同一直线上，则 ∠FEG= ∘．

15. 已知 A，B，C 三点在一条直线上，AB=6 cm，且 BC=2AC，则线段 BC 的长为 cm．

16. 《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，现在传世的共有三卷，卷中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何?”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺，问木长多少尺?”设绳子长 x 尺，木长 y 尺，可列方程组为 ．

17. 关于 x 的一元一次方程 2x−kx−3=0 的解是正整数，整数 k 的值是 ．

18. 一个自然数的 n 次方（n=1,2,3,⋯）的末位数字是按照一定规律变化的．末位数字 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 的 n 次方后的末位数字如下表所示．那么 6732021 的末位数字是 ．
末位数字0123456789n次方1次方01234567892次方01496569413次方01874563294次方01616561615次方01234567896次方01496569417次方01874563298次方01616561619次方012345678910次方0149656941

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）734−+2−−1.25+3．
（2）−12−5−−32÷4．

20. 解方程（组）：
（1）2x+13−5x−16=1；
（2）x−y=4,3x+2y=−3.

21. 先化简，再求值 3a2−ab+4+5ab−5a2−2ab，其中 a2−ab=2．

22. 已知 A=2x2+3xy−2x−1，B=x2−xy+1．
（1）求 A−2B 的值．
（2）若 A−2B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值．

23. 按要求画图，并回答问题：
如图，同一平面上有四点 A，B，C，D．
（1）画出直线 AB．
（2）求作点 P，使点 P 到 A，B，C，D 四点的距离和最小，作图依据为 ．
（3）画 ∠ADC，用量角器度量 ∠ADC 的大小约为 ∘．（精确到度）

24. 如图，∠AOB=90∘，∠COD=90∘，OA 平分 ∠DOE，若 ∠BOC=20∘，求 ∠COE 的度数．请将下面的证明过程补充完整：
解：∵∠AOB=90∘，
∴∠BOC+∠AOC=90∘．
∵∠COD=90∘，
∴∠AOD+∠AOC=90∘，
∴∠BOC=∠AOD，（ ）
∵∠BOC=20∘，
∴∠AOD=20∘，
∵OA 平分 ∠DOE，
∴ =2∠AOD= ∘，（ ）
∴∠COE=∠COD−∠DOE= ∘．

25. 如图，已知线段 a 和线段 AB．
（1）延长线段 AB 到 C，使 BC=a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若 AB=5，BC=3，点 O 是线段 AC 的中点，求线段 OB 的长．

26. 列方程（组）解应用题：
（1）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过 20 m3，每立方米收费 2 元，若用水超过 20 m3，超过部分每立方米加收 1 元．小明家 5 月份交水费 64 元，则他家该月用了多少立方米的水?
（2）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于 30 人，其中有 15 名男同学，景点门票全票价为 50 元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票的九折购票；
方案二：前 30 人全票，从第 31 人开始每人按全票价的八折购票．
①若共有 40 名同学，则选择哪种方案较省钱?
②当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多?

27. 对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 m（m≠0），再把所得数对应的点沿数轴向右平移 n 个单位长度，得到点 Pʹ，我们称 Pʹ 为点 P 的“倍移点”．例如点 P 表示的数是 1，当 m=2，n=3 时，那么倍移点 Pʹ 表示的数是 1×2+3=5．数轴上，点 A，B，C，D 的“倍移点”分别为 Aʹ，Bʹ，Cʹ，Dʹ．
（1）当 m=12，n=1 时．
①若点 A 表示的数为 −2，则点 Aʹ 表示的数为 ．
②若点 Bʹ 表示的数是 3，则点 B 表示的数为 ．
（2）当 n=4 时，若点 D 表示的数为 3，点 Dʹ 表示的数为 −5，则 m 的值为 ．
（3）若线段 AʹBʹ=5AB，请写出你能由此得到的结论，并说明理由．

28. 如图 1，O 是直线 AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分 ∠BOC．
（1）若 ∠AOC=30∘，则 ∠BOD= ∘，∠DOE= ∘．
（2）将图 1 中的 ∠COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图 2 的位置，其他条件不变，若 ∠AOC=α，求 ∠DOE 的度数（用含 α 的式子表示）．
（3）将图 1 中的 ∠COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图 3 的位置，其他条件不变，直接写出 ∠AOC 和 ∠DOE 的度数之间的关系： ．（不用证明）
答案
第一部分
1. C【解析】55000=5.5×104．
故选：C．
2. D【解析】A选项：3a+2a=5a；
B选项：3a−a=2a；
C选项：3a+b 不能合并同类项；
D选项：−3a2b+2a2b=−a2b．
3. D【解析】A选项：a+b<0，故A错误；
B选项：a>0，b<0，故 ab<0，故B错误；
C选项：b−a<0，故C错误；
D选项：b−a>0，故D正确；
故选D．
4. A【解析】如图所示：
根据立方体的展开图可知，不能选择图中 A 的位置接正方形．
5. B
【解析】∵∠BAC=60∘，∠1=27∘40ʹ，
∴∠CAE=∠BAC−∠1=60∘−27∘40ʹ=32∘20ʹ.
∵∠DAE=90∘，
∴∠CAE+∠2=90∘．
∴∠2 的余角为 ∠CAE=32∘20ʹ．
6. C【解析】由题意得 ∠3=60∘，∠2=20∘，
∴∠1=30∘，
∴∠AOB=30∘+90∘+20∘=140∘．
7. C【解析】A选项：连接 AB，AB 两点之间线段的长度叫做 AB 的距离；
B选项：平分线是平分 ∠AOB 的射线；
C选项：整数和分数统称有理数；
D选项：a−23 是多项式．
8. B【解析】∵ 方程的解为
x=1,y=−1,
∴2a−b=3, ⋯⋯①a+b=1, ⋯⋯②
① − ②得，a−2b=2，
∴ 选B．
9. D【解析】因为 2x+m=4, ⋯⋯①y−3=m ⋯⋯② 满足 2x−y=3，
所以① − ②得：
2x−y+m+3=4−m，
2x−y=4−m−m−3，
2x−y=1−2m，
所以 1−2m=3，
−2m=2，
m=−1．
故选D．
10. A
【解析】由题意得：x+x−1+x−2+x−8+x+6=50，
5x−5=50，
x=11．
第二部分
11. −3，3
12. 3
【解析】∵a，b 互为相反数，
∴a+b=0，
∵c，d 互为倒数，
∴cd=1，
∴原式=3×1−2021×0=3．
13. 30
【解析】由题意得：
180∘−∠α=290∘−∠α+30∘，
180∘−∠α=180∘−2∠α+30∘，
∠α=180∘+30∘−180∘，
∴∠α=30∘．
14. 90
【解析】由题意得：
∠AEF=∠AʹEF，
∠BEG=∠BʹEG，
2∠AʹEF+2∠BʹEG=180∘，
∴2∠AʹEF+∠BʹEG=180∘，
∴∠FEG=90∘．
15. 12 或 4
【解析】①当 C 在 A 左侧时，
∵BC=2AC，
∴AC+AB=2AC，
∴AB=AC=6 cm，
∴BC=12 cm．
②当 C 在 AB 中间时，
∵BC=2AC，BC+AC=AB，
∴3AC=AB，
∴AC=2 cm，
∴BC=4 cm．

故 BC 长为 12 cm 或 4 cm．
16. x−y=4.5,y−x2=1
17. 1 或 −1
【解析】2x−kx−3=0，
2−kx=3，
x=32−k．
∵ 方程的解为正整数，
∴2−k=1 或 2−k=3，
∴k=1 或 k=−1．
∴k 的值为 1 或 −1．
18. 3
【解析】∵673 末位数为 3，
∴2021÷4=505⋯⋯1，
∴6732021 的末位数为 3．
第三部分
19. （1） 734−+2−−1.25+3=734−2+114+3=9+1=10.
（2） −12−5−−32÷4=−1−5−9÷4=−1−−4÷4=−1+1=0.
20. （1）
2x+13−5x−16=1,22x+1−5x−1=6,4x+2−5x+1=6,−x=6−1−2,−x=3,x=−3.
（2）
x−y=4,⋯⋯①3x+2y=−3,⋯⋯②
① ×2 得：
2x−2y=8, ⋯⋯③
② + ③得：
5x=5,
x=1,
将 x=1 代入①得
1−y=4,y=−3,
所以
x=1,y=−3.
21. 3a2−ab+4+5ab−5a2−2ab=−2a2+2ab+4=−2a2−ab+4,
∵a2−ab=2，
∴原式=−2×2+4=0.
22. （1） A−2B=2x2+3xy−2x−1−2x2−xy+1=2x2+3xy−2x−1−2x2+2xy−2=5xy−2x−3.
（2） A−2B=5xy−2x−3=5y−2x−3.
∵A−2B 的值与 x 无关，
∴5y−2=0，
∴y=25．
23. （1） 如图所示．
（2）
三角形两边之和大于第三边．
（3） 如图，
120．
24. 同角的余角相等；∠DOE；40∘；角平分线的定义；50∘．
【解析】∵∠AOB=90∘，
∴∠BOC+∠AOC=90∘．
∵∠COD=90∘，
∴∠AOD+∠AOC=90∘，
∴∠BOC=∠AOD，（同角的余角相等）
∵∠BOC=20∘，
∴∠AOD=20∘，
∵OA 平分 ∠DOE，
∴∠DOE=2∠AOD=40∘，（角平分线的定义）
∴∠COE=∠COD−∠DOE=50∘．
25. （1） 图形如下所示：
（2） ∵AB=5，BC=3，
∴AC=AB+BC=5+3=8，
∵O 是线段AC中点，
∴OC=12AC=4，
∴OB=OC−BC=4−3=1．
26. （1） 设小明家 5 月份用水 x m3，
当用水量为 20 m3 时，
应交水费 20×2=40（元），
∵40<64，
∴x>20，
根据题意得
40+2+1x−20=64,∴x=28,
答：小明家 5 月份用水 28 m3．
（2） ①方案一收费：40×50×90%=1800（元），
方案二收费：30×50+40−30×50×80%=1900（元），
∵1800<1900，
∴ 方案一较省钱．
②设女生有 x 人，
15+x⋅50⋅90%=30⋅50+15+x−30⋅50⋅80%4515+x=1500+40x−15915+x=300+8x+15135+9x=300+8x−120x=45,∴
当有女生 45 人时，两种方案付费一样多．
27. （1） 0；4
【解析】①当 m=12，n=1 时，A 表示数为 −2，
−2×12+1=0，
∴Aʹ 表示数为 0．
② Bʹ 表示数为 3，设点 B 表示数为 b，
12b+1=3，
∴b=4，
∴B 表示数为 4．
（2） −3
【解析】由题意得 3m+4=−5，
∴m=−3．
（3） 结论：
m=±5,
设 A 表示数为 x，B 表示数为 y，
则 Aʹ 表示数为 xm+n，Bʹ 表示数为 ym+n，
因为
AʹBʹ=5AB,
所以
∣xm+n−ym−n∣=5∣x−y∣,
所以
∣x−ym∣=5∣x−y∣,∣m∣⋅∣x−y∣=5∣x−y∣,∣m∣=5,
所以
m=±5.
28. （1） 60；15
【解析】由已知得 ∠BOC=180∘−∠AOC=150∘，
又 ∵∠COD 是直角，OE 平分 ∠BOC，
∴∠BOE=12180∘−∠AOC=75∘，
∠DOE=∠COD−12∠BOC=90∘−12×150∘=15∘，
∴∠BOD=∠BOE−∠DOE=60∘．
即 ∠BOD=60∘，∠DOE=15∘．
（2） ∠DOE=12α．
∵∠COD 是直角，OE 平分 ∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90∘−∠DOE，
∴∠AOC=180∘−∠BOC=180∘−2∠COE=180∘−290∘−∠DOE=2∠DOE,
∴∠DOE=12∠AOC=12α．
（3） ∠AOC=360∘−2∠DOE
【解析】∠AOC=360∘−2∠DOE．
∵OE 平分 ∠BOC，
∴∠BOE=2∠COE，
∴∠AOC=180∘−∠BOE=180∘−2∠COE=180∘−2∠DOE−90∘=360∘−2∠DOE,
∴∠AOC=360∘−2∠DOE．