2020-2021学年北京市平谷区七下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市平谷区七下期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 平谷是中国著名的大桃之乡，每年 4 月桃花竞相开放，漫山遍野，如霞似锦，如海如潮，最是壮观．吸引无数市民和游客慕名前往．桃园内弥漫着桃花花粉，桃花花粉直径约为 0.00003 米，其中 0.00003 用科学记数法表示为
A. 0.3×10−4B. 3×10−5C. 0.3×10−5D. 3×10−4

2. 若实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
A. a−b>0B. a−c<0C. a−c>0D. a+c>b

3. 下列计算正确的是
A. a2⋅a3=a6B. a23=a5C. 3a2+2a2=5a2D. 2xy3=6x3y3

4. 在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是
A. x2+2x+4=x+22B. x2−4=x+4x−4
C. x2−4x+4=x−22D. x2+4=x+22

5. “十三五”时期是北京市迄今为，止大气污染治理力度最大，历成效最明显的五年，2020 年空气质量优良天数继续增加，大气主要污染物中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现 38 微克/立方米，空气质量改善取得标志性、历史性突破．小明收集了 2021 年 3 月北京市 16 个城区的 PM2.5 的浓度均值（单位：得微克/立方米），并整理如表：
PM2.5的浓度798081838486城区的个数312451
则北京市 16 个城区的 PM2.5 的浓度均值（单位：微克/立方米）的众数和中位数分别为
A. 83，82B. 84，82C. 84，83D. 83，84

6. 关于命题“若 a=b，则 ∣a∣=∣b∣”与其逆命题的真假性，下列判断正确的是
A. 原命题与其逆命题都是真命题
B. 原命题与其逆命题都是假命题
C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题
D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题

7. 如图，将木条 a，b 与 c 钉在一起，∠1=70∘，∠2=50∘，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 需顺时针旋转度数是
A. 10∘B. 20∘C. 50∘D. 70∘

8. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分 ∠AOD，OF 平分 ∠BOD．当直线 CD 绕点 O 顺时针旋转 α∘0<α<180 时，下列各角的度数与 ∠BOD 度数变化无关的角是
A. ∠AODB. ∠AOCC. ∠EOFD. ∠DOF

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 用不等式表示：a 的 3 倍与 b 的和不小于 3 ．

10. 如果把方程 x−2y+3=0 写成用含 y 的代数式表示 x 的形式，那么 x= ．

11. 若多项式 x−1x+3=x2+ax+b，则 a+b= ．

12. 若 x=2,y=−1 是方程 3x+ay=4 的解，则 a 的值为 ．

13. 计算：
（1）x÷3⋅x3= ；
（2）2x+y2= ．

14. 将一副直角三角板如图摆放，点 D 落在 AB 边上，BC∥DE，则 ∠1= ∘．

15. 已知方程组 2x+y=5,x+2y=1, 则 x+y 的值为 ．

16. 2020 年比较流行一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏：
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③ 6 的左边至少有一张是 8；
④ 8 的右边至少有一张是 8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是： （填写正确的序号）
①红桃 8，方块 6，方块 8；②红桃 8 红桃 6，方块 8；③红桃 8，方块 8，红桃 6．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 分解因式：
（1）a2−9；
（2）a3−8a2+16a．

18. 解不等式 2x−15≤31−x10，并求出非负整数解．

19. 解不等式组 3x−1+2≤4x+1,2x+5−3x>x+1, 并把它的解集在数轴上表示出来．

20. 用适当的方法解下列方程组．
（1）2x−3y=1,y=x−4.
（2）4x−2y=10,3x−4y=5.

21. 计算：−3a23+a32+a2⋅a4．

22. 已知 3x2+2x−5=0，求代数式 2x+12x−1−xx−2 的值．

23. 2021 年 4 月世界休闲大会在北京平谷举办，本届大会秉承了“全域、全季、全民休闲”的理念，多角度呈现．大会的主会场馆 — 金海湖国际会展中心，位于金海湖畔，屹立于桃花海中，将为大家呈现了一幅用建筑写就的“山水画卷”．周末小明与父母去金海湖参观，在迎宾大道看到一种园艺造型，他们一家子有如下交流：
（1）爸爸说：“如果搭配这个园艺造型需要花卉 50 盆，绿植 90 盆，每盆花卉的价格比每盆绿植的价格贵 2 元，而搭配这样一个园艺造型需要花费 1500 元，你知道每盆花卉和绿植各多少元吗?”请你帮小明解决此问题并写出求解过程．
（2）妈妈说：“若需要同样的花卉和绿植布置某个展厅，要求绿植比花卉多 100 盆，花费不低于 6500 元但也不能超过 7000 元，”请你帮小明写出一种购买方案．

24. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，AD 和 BC 交于点 O，E 为 OA 上一点，作 ∠AEF=∠AOB，交 AB 于点 F．
求证：∠EFA=∠C．
证明：∵∠AEF=∠AOB．
∴ ∥ （ ）．
∴∠EFA=∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C ．
∴∠EFA=∠C ．

25. 2021 年平谷区创建文明城区的工作已全面启动．区教育系统结合《北京市生活垃圾管理条例》实施周年的重要节点，大力普及中学生垃圾分类知识，某校组织学生收集废弃塑料瓶活动以减少环境污染，现从七年级（2）班随机抽取了 20 名学生，对这 20 名学生一周内进行收集废弃塑料瓶活动的数量进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
过程如下：
a．收集废弃塑料瓶的数量：
6670717871787578588063908085808985868087b
．整理、描述数据：
数量50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100人数12m91c
．收集废弃塑料瓶的数量统计图：
d．样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级平均数中位数众数七年级2班77.5nk
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ，k= ；
（2）在扇形统计图中，“60≤x<70”所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）七年级共有 200 人，估计七年级收集数量不少于 80 个塑料瓶的学生总人数为 ．

26. 已知：直线 MN，PQ 被 AB 所截，且 MN∥PQ，点 C 是线段 AB 上一定点，点 D 是射线 AN 上一动点，连接 CD．
（1）在图 1 中过点 C 作 CE⊥CD，与射线 BQ 交于 E 点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC=90∘；
（2）如图 2 所示，点 F 是射线 BQ 上一动点，连接 CF，∠DCF=α，分别作 ∠NDC 与 ∠CFQ 的角平分线交于点 G，请用含有 α 的代数式来表示 ∠DGF，直接写出无需证明．

27. 定义：若一个整数能表示成 a2+b2，（a，b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为 13=32+22，所以 13 是“完美数”；
再如：因为 a2+2ab+2b2=a+b2+b2，所以 a2+2ab+2b2 也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于 10 的“完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断 53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知 M=x2+4x+k（x 是整数，k 是常数），要使 M 为“完美数”，试求出符合条件的一个 k 值，并说明理由；
（4）如果数 m，n 都是“完美数”，试说明 mn 也是“完美数”．
答案
第一部分
1. B【解析】0.00003=3×10−5．
故选：B．
2. C【解析】∵a ∴a−b<0；
∴ A选项不符合题意；
∵a>c，
∴a−c>0；
∴ B选项不符合题意；
∵a>c，
∴a−c>0；
∴ C选项符合题意；
∵c<0 ∴a+c ∴ D选项不符合题意．
3. C【解析】A、 a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
B、 a23=a6，故此选项不符合题意；
C、 3a2+2a2=5a2，正确，故此选项符合题意；
D、 2xy3=8x3y3，故此选项不符合题意．
4. C【解析】A、原式不能分解，不符合题意；
B、 原式=x+2x−2，不符合题意；
C、 原式=x−22，符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
5. C
【解析】∵84 出现了 5 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 84 微克/立方米，
把这些数从小到大排列，中位数是第 8 、第 9 个数的平均数，
则中位数是 83+832=83（微克/立方米）．
6. D【解析】命题“若 a=b，则 ∣a∣=∣b∣”的逆命题为：若 ∣a∣=∣b∣，则 a=b，是假命题，
而命题“若 a=b，则 ∣a∣=∣b∣”是真命题；
故选：D．
7. B【解析】如图．
∵∠AOC=∠2=50∘ 时，OA∥b，
∴ 要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至少是 70∘−50∘=20∘．
8. C【解析】∵OE 平分 ∠AOD，OF 平分 ∠BOD，
∴∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD=180∘，
∴∠EOD+∠DOF=90∘，
即 ∠EOF=90∘，
∴ 当直线 CD 绕点 O 顺时针旋转 α∘0<α<180 时，∠EOF 的度数与 ∠BOD 度数变化无关．
故选：C．
第二部分
9. 3a+b≥3
10. 2y−3
11. −1
【解析】x−1x+3=x⋅x+3x−x−3=x2+2x−3，
因为 x−1x+3=x2+ax+b，
所以 x2+2x−3=x2+ax+b，
所以 a=2，b=−3，
所以 a+b=2−3=−1．
12. 2
【解析】将 x=2,y=−1 代入方程 3x+ay=4 得 3×2−a=4，
解得 a=2．
13. x29，4x2+4xy+y2
【解析】（1）
原式=x3⋅x3=x29.
（2）原式=4x2+4xy+y2，
故答案为：x29，4x2+4xy+y2．
14. 135
【解析】如图：
∵BC∥DE，
∴∠2=∠C=45∘．
由邻补角的性质可得：∠1+∠2=180∘，
∴∠1=180∘−45∘=135∘．
15. 2
【解析】2x+y=5, ⋯⋯①x+2y=1, ⋯⋯②
① + ②得：3x+3y=6，
∴x+y=2．
16. ③
【解析】一共有三张牌：由条件②即可判断红桃右边有两张牌，一张红桃，张方块，由条件③即可判断 6 的左边有两张；由条件④即可判断 8 的右边有两张，所以三张牌的顺次为：红桃 8，方块 8，红桃 6．
第三部分
17. （1） 原式=a+3a−3．
（2） 原式=aa2−8a+16=aa−42．
18. 去分母得：4x−1≤31−x，
去括号得：4x−4≤3−3x，
移项得：4x+3x≤3+4，
合并得：7x≤7，
解得：x≤1，
则不等式的非负整数解为 0，1．
19.
3x−1+2≤4x+1, ⋯⋯①2x+5−3x>x+1. ⋯⋯②
由①得：
x≥−2.
由②得：
x<2.∴
不等式组的解集为
−2≤x<2.
20. （1）
2x−3y=1, ⋯⋯①y=x−4, ⋯⋯②
将②代入①得
2x−3x−4=1,
解得
x=11,
将 x=11 代入②得
y=11−4=7,∴
方程组的解为
x=11,y=7.
（2）
4x−2y=10, ⋯⋯①3x−4y=5, ⋯⋯②
① ×2− ②得
5x=15,
解得
x=3,
将 x=3 代入①得
3×4−2y=10,
解得
y=1,∴
方程组的解为
x=3,y=1.
21. 原式=−27a6+a6+a6=−25a6.
22. 2x+12x−1−xx−2=4x2−1−x2+2x=3x2+2x−1,
当 3x2+2x−5=0 时，原式=3x2+2x−5+4=0+4=4．
23. （1） 设每盆绿植的价格为 x 元，则每盆花卉的价格为 x+2 元，
依题意得：
50x+2+90x=1500.
解得：
x=10.∴x+2=12
．
答：每盆花卉的价格为 12 元，每盆绿植的价格为 10 元．
（2） 设购买花卉 m 盆，则购买绿植 m+100 盆，
依题意得：
12m+10m+100≥6500,12m+10m+100≤7000
解得：
250≤m≤300011.∵m
为整数，
∴m 可以为 250，此时 m+100=350，
∴ 购买 250 盆花卉，350 盆绿植．
24. ∵∠AEF=∠AOB，
∴EF∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EFA=∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EFA=∠C（等量代换）．
25. （1） 7；79；80；
【解析】由题意知 m=7，
将数据重新排列为 58，63，66，70，71，71，75，78，78，78，80，80，80，80，85，85，86，87，89，90，
所以这组数据的中位数 n=78+802=79，众数 k=80，
（2） 36
【解析】在扇形统计图中，“60≤x<70”所在的扇形的圆心角等于 360∘×220=36∘，
（3） 100 人
【解析】估计七年级收集数量不少于 80 个塑料瓶的学生总人数为 200×9+120=100（人）．
26. （1） ①图形如图所示．
②证明：过点 C 作 CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90∘，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90∘．
（2） ∠DGF=180∘−12α．
【解析】如图 2 中，
结论：∠DGF=180∘−12α，
由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG 平分 ∠NDC，GF 平分 ∠CFQ，
∴∠GDN=12∠CDN，∠GFQ=12∠CFQ，
∴∠DGF=12∠CDN+∠CFQ=12180∘−∠ADC+180∘−∠BFC=180∘−12α．
27. （1） 2 或 5 或 8；
【解析】根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，
故 2，5，8 都是“完美数”，且都小于 10，
故答案为：2 或 5 或 8（写一个即可）；
（2） 是
【解析】53=22+72，
故 53 是“完美数”，
故答案为：是；
（3） k=5（答案不唯一），
理由：
∵M=x2+4x+k，
∴M=x2+4x+4+k−4，
M=x+22+k−4，
则当 k−4 为完全平方数时，M 为“完美数”，如当 k−4=1 时，解得：k=5．
（4） 设 m=a2+b2，n=c2+d2，
则有
mn=a2+b2c2+d2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd−2abcd=ac+bd2+ad−bc2.
故 mn 是一个“完美数”．