2020-2021学年北京市西城区七上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区七上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −23 的相反数是
A. −23B. 32C. 23D. −32

2. 国家统计局公布的数据显示，经初步核算，2020 年尽管受到新冠疫情的影响，前三个季度国内生产总值仍然达到近 697800 亿元，按可比价格计算，同比增长了 6.2%．将数据 697800 用科学记数法表示为
A. 697.8×103B. 69.78×104C. 6.978×105D. 0.6978×106

3. 下列计算正确的是
A. −2a−b=−2a+bB. 2c2−c2=2
C. 3a+2b=5abD. x2y−4x2y=−3x2y

4. 下图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是
A. 长方体B. 三棱柱C. 四棱锥D. 三棱锥

5. 下列方程变形中，正确的是
A. 方程 x−12−x5=1，去分母得 5x−1−2x=10
B. 方程 3−x=2−5x−1，去括号得 3−x=2−5x−1
C. 方程 23t=32，系数化为 1 得 t=1
D. 方程 3x−2=2x+1，移项得 3x−2x=−1+2

6. 如图，OA 表示北偏东 20∘ 方向的一条射线，OB 表示南偏西 50∘ 方向的一条射线，则 ∠AOB 的度数是
A. 100∘B. 120∘C. 140∘D. 150∘

7. 若 x2−3x=4，则 3x2−9x+8 的值是
A. 20B. 16C. 4D. −4

8. 如图，数轴上的点 A 表示的数为有理数 a，下列各数中在 0，1 之间的是
A. aB. −aC. a−1D. a+1

9. 下列说法正确的是
（1）如果互余的两个角的度数之比为 1:3，那么这两个角分别为 45∘ 和 135∘；
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等；
（3）如果两个角的度数分别是 73∘42ʹ 和 16∘18ʹ，那么这两个角互余；
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小 90∘．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图表示 3×3 的数表，数表每个位置所对应的数都是 1，2 或 3．定义 a*b 为数表中第 a 行第 b 列的数．例如，数表第 3 行第 1 列所对应的数是 2，所以 3*1=2．若 2*3=2x+1*2，则 x 的值为
A. 0，2B. 1，2C. 1，0D. 1，3

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 用四舍五入法取近似数：2.7982≈ （精确到 0.01）．

12. 若 x=−1 是关于 x 的方程 2x−m=5 的解，则 m 的值是 ．

13. 若 −12xm+3y 与 2x4yn+1 是同类项，则 m+n2017= ．

14. 如图所示的网格是正方形网格，则 ∠AOB ∠MPN．（填“>”，“=”，“<”）

15. 用符号 a,b 表示 a，b 两数中的较大者，用符号 a,b 表示 a，b 两数中的较小者，则 −1,−12+0,−32 的值为 ．

16. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子 60 颗，人别加三颗，问五人各得几何?”题目大意是：诸侯 5 人，共同分 60 个橘子，若后面的人总比前一个人多分 3 个，问每个人各分得多少个橘子?若设中间的那个人分得 x 个，依题意可列方程得 ．

17. 如图，C，D，E 为线段 AB 上三点．
（1）若 DE=15AB=2，则 AB 的长为 ．
（2）在（1）的条件下，若点 E 是 DB 的中点，AC=13CD，则 CD 的长为 ．

18. 有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是 ．（用含 m，n 的式子表示）

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 如图，已知平面内有四个点 A，B，C，D．根据下列语句按要求画图．
（1）连接 AB．
（2）作射线 AD，并在线段 AD 的延长线上用圆规截取 DE=AB．
（3）作直线 BC 与射线 AD 交于点 F．观察图形发现，线段 AF+BF>AB，得出这个结论的依据是： ．

20. 计算：
（1）13+−24−25−−20．
（2）25÷5×−15÷−34．
（3）−79+56−34×−36．
（4）−14−1−0.5×13×∣1−−52∣．

21. 先化简：再求值：3ab2−a2b−a2b−22ab2−a2b，求中 a=1，b=−2．

22. 解下列方程：
（1）3x+1=5x−1．
（2）2x−13=2x+16−1．

23. 解方程组：2x+3y=−3,4x+5y=−7.

24. 请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
已知：如图，点 A，O，B 在同一条直线上，OD 平分 ∠AOE，∠COD=90∘．
求证：OC 是 ∠BOE 的平分线．
证明：因为 OD 是 ∠AOE 的平分线，
所以 ∠AOD=∠DOE．（理由： ）
因为 ∠COD=90∘，
所以 ∠DOE+∠ =90∘，
∠AOD+∠BOC=180∘−∠COD= ∘．
因为 ∠AOD=∠DOE，
所以 ∠ =∠ ．（理由： ）
所以 OC 是 ∠BOE 的平分线．

25. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车．据了解，2 辆A型汽车和 3 辆B型汽车的进价共计 80 万元；3 辆A型汽车和 2 辆B型汽车的进价共计 95 万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元．
（2）该公司计划恰好用 200 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．

26. 数轴上有 A，B 两个点，点 A 在点 B 的左侧，已知点 B 表示的数是 2，点 A 表示的数是 a．
（1）若 a=−3，则线段 AB 的长为 ；（直接写出结果）
（2）若点 C 在线段 AB 之间，且 AC−BC=2，求点 C 表示的数；（用含 a 的式子表示）
（3）在（2）的条件下，点 D 在数轴上 C 点左侧，AC=2AD，BD=4BC，求 a 的值．

四、填空题（共1小题；共5分）
27. 观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
1+8=32，
1+8+16=52，
1+8+16+24=72，
1+8+16+24+32=k2，
⋯，
（1）第 4 个等式中正整数 k 的值是 ．
（2）第 5 个等式是： ．
（3）第 n 个等式是： ．（其中 n 是正整数）

五、解答题（共2小题；共26分）
28. 下图所示的三种拼块 A，B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为 1 个单位的小正方形组成，如编号为 A 的拼块的面积为 3 个单位．
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．
（1）若用 1 个 A 种拼块，2 个 B 种拼块，4 个 C 种拼块，则拼出的正方形的面积为 个单位．
（2）在图 1 和图 2 中，各画出了一个正方形拼图中 1 个 A 种拼块和 1 个 B 种拼块，请分别用不同的拼法将图 1 和图 2 中的正方形拼图补充完整．要求所用的 A，B，C 三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．

29. 对于数轴上的点 A，B，C，D，点 M，N 分别是线段 AB，CD 的中点，若 MN=e2AB+CD，则将 e 的值称为线段 AB，CD 的相对离散度．特别地，当点 M，N 重合时，规定 e=0，设数轴上点 O 表示的数为 0，点 T 表示的数为 2．
（1）若数轴上点 E，F，G，H 表示的数分别是 −3，−1，3，5，则线段 EF，OT 的相对离散度是 ，线段 FG，EH 的相对离散度是 ．
（2）设数轴上点 O 右侧的点 S 表示的数是 s，若线段 OS，OT 的相对离散度为 e=12，求 s 的值．
（3）数轴上点 P，Q 都在点 O 的右侧（其中点 P，Q 不重合），点 R 是线段 PQ 的中点，设线段 OP，OT 的相对离散度为 e1，线段 OQ，OT 的相对离散度为 e2，当 e1=e2 时，直接写出点 R 所表示的数 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. D【解析】A选项：−2a−b=−2a+2b，故A错误；
B选项：2c2−c2=c2，故B错误；
C选项：3a+2b 无法计算，故C错误；
D选项：x2y−4x2y=−3x2y，故D正确．
4. C
5. A
【解析】A选项：去分母得 5x−1−2x=10，故A正确；
B选项：去括号得 3−x=2−5x+5，故B错误；
C选项：系数化 1 得，t=94，故C错误；
D选项：移项得 3x−2x=1+2，故D错误．
6. D【解析】∠AOB=90∘−50∘+90∘+20∘=150∘．
故选D．
7. A【解析】3x2−9x+8=3x2−3x+8，
当 x2−3x=4 时，
原式=3×4+8=20．
8. C【解析】A选项：a>1，故A错误；
B选项：−a>1，故B错误；
C选项：a 在 1，2 之间，
∴a−1 在 0，1 之间，故C正确；
D选项：a+1 在 −1，0 之间，故D错误．
9. B【解析】（1）设两个角分别为 x 和 3x，则 x+3x=90∘，
∴x=22.5∘，3x=67.5∘，故（1）错误．
（2）同角的补角一定相等，故（2）错误．
（3）73∘42ʹ+16∘18ʹ=90∘，故（3）正确．
（4）设该锐角为 x，则 180∘−x−90∘−x=90∘ 恒成立，故（4）正确．
综上所述，正确的有 2 个．
10. C
【解析】2*3=3，
∴2x+1*2=3，
∴2x+1=1或3，
∴x=0或1．
第二部分
11. 2.80
12. −7
【解析】将 x=−1 代入可得：−2−m=5，
∴m=−7．
13. 1
【解析】∵−12xm+3y 与 2x4yn+1 是同类项，
∴m+3=4，n+1=1，
∴m=1，n=0，
∴m+n2017=1+02017=1，
故答案为：1．
14. =
【解析】由图可知，
Rt△ABO 中：
AB=4，AO=2，
Rt△NMP 中：
NM=2，PN=1，
∵ABNM=AOPN=21，
∴Rt△ABO∽Rt△NMP，
∴∠AOB=∠MPN，
故填：“=”．
15. −2
【解析】∵a,b 表示 a，b 两数中较大者在 −1,−12 中，−12>−1，
∴−1,−12=−12，
∵a,b 表示 a，b 两数中较小者在 0,−32 中，−32<0，
∴0,−32=−32，
∴−1,−12+0,−32=−12+−32=−2．
16. x−6+x−3+x+x+3+x+6=60 或 5x=60
【解析】设中间那个人分得 x 个，
则根据题意可知 5 个人，分别可得 x−6，x−3，x，x+3，x+6，
则依题意可有 x−6+x−3+x+x+3+x+6=60 或 5x=60．
17. 10，92
【解析】（1）∵DE=15AB=2，
∴AB=10．
（2）∵ 点 E 是 DB 的中点，DE=2，
∴EB=2，DB=4，AD=AB−DB=6．
设 CD 为 x，则 AC=13x，
∴13x+x=6，
∴x=92，
∴CD=92．
18. m−n2
【解析】设长方形的长为 x，小长方形的长为 a，宽为 b，
则根据左图可得：x+a−b=m ⋯⋯①，
则根据右图可得：x+b−a=n ⋯⋯②，
① − ②：2a−2b=m−n，
所以小长方形的长与宽的差为：a−b=m−n2．
第三部分
19. （1）
（2）
（3）
两点之间线段最短
20. （1） 13+−24−25−−20=−11−25+20=−36+20=−16.
（2） 25÷5×−15÷−34=5×−15×−43=43.
（3） −79+56−34×−36=28−30+27=25.
（4） −14−1−0.5×13×∣1−−52∣=−1−12×13×∣1−25∣=−1−16×24=−1−4=−5.
21. 原式=3ab2−a2b−a2b−4ab2+2a2b=−ab2,
当 a=1，b=−2 时，
原式=−1×−22=−4.
22. （1）
3x+3=5x−1−2x=−4x=2.
（2）
22x−1=2x+1−64x−2=2x−52x=−3x=−32.
23.
2x+3y=−3, ⋯⋯①4x+5y=−7, ⋯⋯②
① ×2− ②：
y=1,
把 y=1 代入①得
2x+3=−3,x=−3,∴x=−3,y=1
是原方程组的解．
24. 角平分线的定义；COE；90；BOC；COE；等角的余角相等
25. （1） 设A型汽车每辆进价 x 万元，B型汽车每辆进价 y 万元，
2x+3y=80,3x+2y=95.
所以
x=25,y=10.
答：A型汽车每辆进价 25 万元，B型汽车每辆进价 10 万元．
（2） 采购A型汽车 2 辆，B型汽车 15 辆，或采购A型汽车 4 辆，B型汽车 10 辆．
【解析】设采购 m 辆A型汽车，n 辆B型汽车，
25m+10n=200，
所以 5m+2n=40，
因为 n>m，且 m，n 均为正整数，
所以 m=2,n=15 或 m=4,n=10.
所以有两种采购方案．
采购A型汽车 2 辆，B型汽车 15 辆，或采购A型汽车 4 辆，B型汽车 10 辆．
26. （1） 5
【解析】AB=∣xB−xA∣=∣2−a∣，
a=−3 时，AB=∣5∣=5．
（2） ∵A 在 B 左侧，
∴a<2，
点 C 线段 AB 之间，设点 C 表示的数为 x，
则 AC=x−a，BC=2−x，
∵AC−BC=2，
∴x−a−2−x=2，
得 x=a+42，
∴ 点 C 表示的数是 a+42．
（3） 设点 D 表示的数为 y，
∵ 点 D 在点 C 左侧，
（1）当点 D 在点 A 左侧时，
AC=a+42−a=4−a2，AD=a−y，
∵AC=2AD，
∴4−a2=2a−y, ⋯⋯①
BD=2−y，BC=2−a+42=−a2，
∵BD=4BC，
∴2−y=4×−a2, ⋯⋯②
由②得 y=2+2a, ⋯⋯③
把③代入①得 a=−4；
（2）当点 D 在点 A 右侧时，
AC=4−a2，AD=y−a，
∵AC=2AD，
∴4−a2=2y−a, ⋯⋯⑤
BD=2−y，BC=2−a+42=−a2，
∵BD=4BC，
∴2−y=4×−a2, ⋯⋯⑥
由⑥得 y=2+2a, ⋯⋯⑦
把⑦代入⑤得 a=−45，
综上：a=−4或−45．
第四部分
27. 9，1+8+16+24+32+40=112，1+8+16+32+⋯+8n=2n+12
【解析】（1）第 1 等式 k=3，
第 2 等式 k=5，
第 3 等式 k=7，
所以第 4 等式 k=9．
（2）等式左边第二行在第一行末尾加 8×2，
第三行在第二行末尾加 8×3，
第四行在第三行末尾加 8×4，
所以第五行在第四行末尾加 8×5，
等式右边为 112，
所以第 5 个等式：1+8+16+24+32+40=112．
（3）等式左边：
1+8×1+8×2+8×3⋯⋯8n=1+81+2+3+⋯+n=1+8×nn+12=1+4nn+1=4n2+4n+1=2n+12.
所以第 n 个等式是：1+8+16+32+⋯+8n=2n+12．
第五部分
28. （1） 25
【解析】A 种拼块的面积为 3 个单位，
B 种拼块的面积为 3 个单位，
C 种拼块的面积为 4 个单位，
所以 1 个 A 种拼块，2 个 B 种拼块，4 个 C 种拼块的面积为 3×1+3×2+4×4=25 个单位．
（2） 所作图形如下：
（答案不唯一）
29. （1） 32；0
【解析】∵E，F，G，H 表示的数分别是 −3，−1，3，5，
∴EF 中点 I：−3+−12=−2，
OT 中点 J：0+22=1，
FG 中点 K：−1+32=1，
EH 中点 L：−3+52=1，
O 表示的数为 0，T 表示的数为 2，
∴EF=−1−−3=2，
OT=2−0=2，
FG=3−−1=4，
EH=5−−3=8，
∴IJ=1−−2=3，
3=e22+2，
∴ 线段 EF，OT 的相对离散度为 e=32，
∵K，L 重合，
∴ 线段 FG，EH 的相对离散度为：e=0．
（2） ∵ 点 S 在点 O 右侧，
∴OS=S−0=S，
OT=2−0=2，
OS 中点 U：0+S2=S2，
OT 中点 V：0+22=1，
∵UV=e2OS+OT，e=12，
∴S2−1=14×S+2，
当 S2−1≥0 时，即 S≥2 时，S2−1=14S+2，S=6 符合题意．
当 S2−1<0 时，
∵S>0，
∴0 −S2−1=14×S+2，
S=23，符合题意，
∴，综上：S=6 或 23．
（3） r≥2．
【解析】设点 P，Q 表示的数分别为 p，q，
∵ 点 P，Q 在点 O 的右侧，
∴p>0，q>0，
OP=p−0=p，
OQ=q−0=q，
OT=2−0=2，
PQ 中点 R：r=p+q2，
OP 中点 W：0+P2=p2，
OQ 中点 X：0+q2=q2，
OT 中点 V：0+22=1，
∴WV=e12OP+OT，
XV=e22OQ+OT，
∴p2−1=e12p+2，q2−1=e22q+2，
∵e1=e2，
∴p2−1p+2=q2−1q+2，
∵P，Q 不重合，
∴p≠q，
整理可得 p−2p+2=q−2q+2，p−2q−2=p+2q+2，
两边同时平方得 p−2q−22=p+2q+22，
p−22q+22=p+22q−22，
p2−4p+4q2+4q+4=p2+4p+4q2−4q+4，
p2q2+4p2q+4p2−4pq2−16pq−16p+4q2+16q+16=p2q2−4p2q+4p2+4pq2−16pq+16p+4q2−16q+16,
4p2q−4pq2−16p+16q=−4p2q+4pq2+16p−16q，
p2q−pq2−4p+4q=−p2q+pq2+4p−4q，
2p2q−2pq2−8p+8q=0，
p2q−pq2−4p+4q=0，
pqp−q−4p−q=0，
pq−4p−q=0，
∵p≠q，
∴p−q≠0，
∴pq−4=0，pq=4，
∵p−q2≥0，
∴p+q≥2pq=4，
∴p+q2≥2，即 r≥2．