2020-2021学年北京市朝阳区七上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区七上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列几何体中，是圆锥的为
A. B.
C. D.

2. 5 的相反数为
A. 5B. 15C. −15D. −5

3. “奋斗者”号全海深载人潜水器在马里亚纳海沟开展 1 万米深的深潜海试时，钛合金载人舱承受的巨大水压接近 1100 个大气压、将 1100 用科学记数法表示应为
A. 0.11×104B. 1.1×104C. 1.1×103D. 11×102

4. 如图，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的中点，若 AB=8，则 CD 的长为
A. 2B. 4C. 6D. 8

5. 若 x=1 是关于 x 的方程 2x+a=5 的解，则 a 的值为
A. 7B. 3C. −3D. −7

6. 将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于 ∠α 与 ∠β 之间的关系一定正确的是
A. ∠α=∠βB. ∠α=12∠β
C. ∠α+∠β=90∘D. ∠α+∠β=180∘

7. 某个长方体的展开图如图所示，各个面上分别标有 1∼6 的不同数字，若将其围成长体，则这个长方体有公共顶点的三个面上的数字之和最大是
A. 15B. 14C. 9D. 7

8. 设 a，b，c 为非零有理数，a>b>c，则下列大小关系一定成立的是
A. a−b>b−cB. 1a<1b<1cC. a2>b2>c2D. a−c>b−c

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 计算：−22= ．

10. 如图所示的网络是正方形网格，∠BAC ∠DAE（填“>”，“=”或“<”）

11. 一种零件的图纸如图所示，若 AB=10mm，BC=50mm，CD=20mm，则 AD 的长为 mm．

12. 若单项式 2amb 与 −3a2b 是同类项，则 m= ．

13. 有理数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数 b 满足 b
14. 如图，在一条笔直的马路（直线 l）两侧各有一个居民区（点 M，N），如果要在这条马路旁建一个购物中心，使购物中心到这两个小区的距离之和最小，那么购物中心应建在线段 MN 与直线 l 的交点 P 处，这样做的依据是 ．

15. 用“\（\mathbin{\dividentimes}\）”定义一种新运算：对于任意有理数 x 和 y，\（x\mathbin{\dividentimes}y=xy+a\left（x+y\right）+1\）（a 为常数）．例如：\（2\mathbin{\dividentimes}3=2\times 3+\left（2+3\right）a+1=5a+7\）．若 \（2\mathbin{\dividentimes}\left（-1\right）\） 的值为 3，则 a 的值为 ．

16. 小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：
小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有 11 份盖饭，x 杯饮料和 5 份小菜，
（1）他们共点了 份 B 餐．（用含 x 的式子表示）
（2）若他们至少需要 6 杯饮料，要使所花费的钱数最少，则应该点 份 B 餐．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：−312+4.4−2.4+312．

18. 计算：12×112−16−14．

19. 计算：1412m+4+2m−1．

20. 解方程：3x+5=30−2x．

21. 解方程：3y−14=1+5y−76．

22. 已知 a−2b=4，求 3a+b−a−5b−1 的值．

23. 近年来，我国数字经济规模不断扩张，贡献不断增强，逐渐成为驱动我国经济增长的关键．已知我国 2005 年与 2019 年数字经济增加值规模之和为 38.4 万亿元，2019 年数字经济增加值规模比 2005 年数字经济增加值规模的 14 倍少 0.6 万亿元．求我国 2005 年数字经济增加值规模．

24. 阅读材料：
数学活动课上，小智同学提出一个猜想，把一个三位正整数的百位上的与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于 99 乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：782−287=99×7−2．
回答问题：
（1）小智的猜想是否正确?若正确，对任意情况进行说明，若不正确，说明理由．
（2）已知一个五位正整数的万位上的数为 m，个位上的数为 n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 ．（用含 m，n 的式子表示）

25. 已知 ∠AOB=120∘，射线 OC 在 ∠AOB 的内部，射线 OM 是 ∠AOC 靠近 OA 的三等分线，射线 ON 是 ∠BOC 靠近 OB 的三等分线．
（1）若 OC 平分 ∠AOB．
①依题意补全图 1．
② ∠MON 的度数为 ．
（2）当射线 OC 绕点 O 在 ∠AOB 的内部旋转时，∠MON 的度数是否改变?若不变求 ∠MON 的度数；若改变，说明理由．

26. 在数轴上，点 A 表示的数为 1，点 B 表示的数为 3．对于数轴上的图形 M，给出如下定义；P 为图形 M 上任意一点，Q 为线段 AB 上任意一点，如果线段 PQ 的长度有最小值，那么称这个最小值为图形 M 关于线段 AB 的极小距离，记作 d1M,线段AB；如果线段 PQ 的长度有最大值，那么称这个最大值为图形 M 关于线段 AB 的极大距离，记作 d2M,线段AB．例如：点 K 表示的数为 4，则 d1点K,线段AB=1，d2点K,线段AB=3．已知点 O 为数轴原点，点 C，D 为数轴上的动点．
（1）d1点O,线段AB= ，d2点O,线段AB= ．
（2）若点 C，D 表示的数分别为 m，m+2，d1线段CD,线段AB=2．求 m 的值．
（3）点 C 从原点出发，以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向匀速运动；点 D 从表示数 −2 的点出发，第 1 秒以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向匀速运动，第 2 秒以每秒 4 个单位长度沿 x 轴负方向匀速运动，第 3 秒以每秒 6 个单位长度沿 x 轴正方向匀速运动，第 4 秒以每秒 8 个单位长度沿 x 轴负方向匀速运动，⋯，按此规律运动，C，D 两点同时出发，设运动的时间为 t 秒，若 d2线段CD,线段AB 小于或等于 6，直接写出 t 的取值范围（t 可以等于 0）．
答案
第一部分
1. B【解析】A选项：是圆柱，故不符合题意，故A错误；
B选项：是圆锥，故符合题意，故B正确；
C选项：是四棱锥，故不符合题意，故C错误；
D选项：是四棱柱，故不符合题意，故D错误．
2. D【解析】绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
∴5 的相反数是 −5．
3. C【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤a<10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 >1 时，n 是正数；当原数的绝对值 <1 时，n 是负数．
将 1100 用科学记数法表示为 1.1×103．
4. A【解析】∵C 是线段 AB 的中点且 AB=8，
∴AC=BC=12AB=4，
又 ∵D 是线段 AC 的中点，
∴CD=12AC=2．
5. B
【解析】将 x=1 代入方程，得 2+a=5，解得 a=3．
6. C【解析】由题意得：∠α+∠β+90∘=180∘，
∴∠α+∠β=90∘．
7. B【解析】由图可知：2 与 5 相对，4 与 6 相对，1 与 3 相对，
因此，有公共顶点的三个角上的数字之和为：5+6+3=14．
8. D【解析】∵a，b，c 为非零实数，且 a>b>c，
A选项：
∴−b<−c，
又 ∵a>b，
由于不等号不一致，不可加减，故A排除；
B选项：若 a>0，c<0，则B不符合题意；
对于选项C：当 a=−1，b=−2，c=−3 时，a2>b2>c2 错误．
D选项：若 a>b，则根据不等式的性质可得 a−c>b−c，
∴ D一定成立．
第二部分
9. 4
【解析】−22=−2×−2=4．
10. <
【解析】由直角三角形 ABC 可知 ∠BCA>45∘，
∵∠BCA+∠BAC=90∘，
∴∠BAC<45∘．
由直角三角形 ADE 可知，∠DEA=∠DAE=45∘，
∴∠BAC<∠DAE．
11. 80
【解析】∵AB=10mm，BC=50mm，CD=20mm．
∴AD=AB+BC+CD=10+50+20=80mm．
12. 2
【解析】∵2amb 与 −3a2b 是同类项，
∴m=2．
13. 1（答案不唯一）
【解析】由图可知：2 ∵b ∴b=1．
14. 两点之间线段最短
【解析】用到两点之间线段最短，P 若在其他位置，MP 和 PN 与原来的 MN 组成三角形，在三角形中，两边之和大于第三边，所以在交点处距离最短．
15. 4
【解析】\（\because x\mathbin{\dividentimes}y=xy+a\left（x+y\right）+1\） 且 \（2\mathbin{\dividentimes}\left（-1\right）=3\），
∴2×−1+a2−1+1=3，即 −2+a+1=3，
∴a=4．
16. x−5，3
【解析】（1）由图表可知，只有 C 餐有小菜，大家共点了 5 份小菜，
∴ 共点了 5 份 C 餐，
由图表可知，只有 B 和 C 餐有饮料，
∵ 大家一共点了 x 杯饮料，C 餐有 5 份，
∴ B 餐共有 x−5 份．
（2）由（1）可知 C 餐 5 份，B 餐 x−5 份，
∵B 和 C 中都含有盖饭 1 份，
∴B 和 C 中共有盖饭：x−5+5=x（份），
又 ∵A 餐中只含 1 份盖饭，
∴A 餐共有 11−x 份，
∴ 一共花费：20×11−x+28×x−5+32×5=8x+2406≤x≤11，
∵ 消费满 150 元减 24 元，消费满 300 元减 48 元，
∴ 当 x=6 时，6×8+240−24=264（元），
当 x=7 时，7×8+240−24=272（元），
当 x=8 时，8×8+240−48=256（元），
当 x=9 时，9×8+240−48=264（元），
当 x=10 时，10×8+240−48=272（元），
当 x=11 时，11×8+240−48=280（元）．
综上所述，只有 x=8 时，花费最少，此时应点 B 餐 x−5=8−5=3 份．
第三部分
17. 原式=−312+312+4.4−2.4=0+2=2.
18. 原式=12×112−12×16−12×14=1−2−3=1−5=−4.
19. 原式=14×12m+14×4+2m−2=3m+1+2m−2=5m−1.
20.
3x+5=30−2x.
移项，得
3x+2x=30−5.
合并同类项，得
5x=25.
系数化为 1，得
x=5.
21.
3y−14=1+5y−76.9y−3=12+10y−14.9y−10y=12+3−14.−y=1.y=−1.
22. 3a+b−a−5b−1=3a+b−a−5b+1=2a−4b+1.
∵a−2b=4，
∴2a−4b=2a−2b=8，
∴2a−4b+1=9．
23. 设 2005 年数字经济增长规模为 x 万亿元，
则 2019 年为 14x−0.6 万亿元．
x+14x−0.6=
答：2005 年数字经济增长规模为 2.6 万亿元．
24. （1） 小智的猜想正确．
说明如下：设一个三位正整数百位上的数为 a，十位上的数为 b，
个位上的数为 c（a 为不大于 9 的正整数，b，c 为不大于 9 的非负整数），
则这个三位正整数为 100a+10b+c．
∴ 交换百位上的数与个位上的数的所得数为 100c+10b+a．
∵ 100a+10b+c−100c+10b+a=100a+10b+c−100c−10b−a=99a−99c=99a−c.
∴ 小智的猜想正确．
（2） 9999m−n
【解析】设这个五位数中间三位数上的数字分别为 a，b，c，
则这个五位数为 10000m+1000a+100b+10c+n，
万位与个位上的数字调换之后，其余各位上的数字不变，
得到的五位数为：10000n+1000a+100b+10c+m，
∴ 10000m+1000a+100b+10c+n−10000n+1000a+100b+10c+m=9999m−9999n=9999m−n.
25. （1） ①补全图形如下：
② 80∘
【解析】② ∵OC 平分 ∠AOB，∠AOB=120∘，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60∘，
∵OM，ON 分别为 ∠AOC，∠BOC 三等分点，
∴∠AOM=13∠AOC=20∘，∠BON=13∠BOC=20∘，
∴∠MON=∠AOB−∠AOM−∠BON=120∘−20∘−20∘=80∘.
（2） ∠MON 度数不变，
∵OM，ON 分别为 ∠AOC，∠BOC 三等分点，
∴∠AOM=13∠AOC，
∠BON=13∠BOC，
∴∠AOM+∠BON=13∠AOC+∠BOC=13∠AOB=40∘，
∴∠MON=∠AOB−∠AOM+∠BON=120∘−40∘=80∘.
26. （1） 1；3
【解析】∵ 点 O 到线段 AB 最小值为 1，
∴d1点O,线段AB=1，
∵ 点 O 到线段 AB 最大值为 3，
∴d2点O,线段AB=3．
（2） d1线段CD,线段AB=2，
∴ 线段 CD 上点到线段 AB 上点最小距离为 2，
点 C，D 表示数分别为 m，m+2，
又 m ∴ 点 D 在点 C 右侧，
当 m+2<1 时，即 m<1，点 D 在 A 点左侧，
d1线段CD,线段AB=DA=1−m+2=2，
∴m=−3，
当点 C 在 B 点右侧时，即 m>3，
d1线段CD,线段AB=BC=m−3=2，
∴m=5，
故 m=−3 或 m=5．
（3） 0≤t≤74 或 136≤t≤72．
【解析】当 t=1 时，C 点为 2，D 点为 O，
则 d2线段CD,线段AB=BD=3<6，
当 t=2 时，C 点为 4，D 点为 −4，
则 d2线段CD,线段AB=BD=7>6，
则 1 d2线段CD,线段AB=BD=3−4−4t≤6，
∴4t≤7，即 t≤74，
∴ 当 0≤t≤74 时，d2线段CD,线段AB≤6，
当 t=3 时，C 点为 4，D 点为 2，
d2线段CD,线段AB=AC=3<6，
当 t=4 时，C 点为 8，D 点为 −6，
d2线段CD,线段AB=BD=3−−6=9>6，
则 2 D 点为 −2+2−4+6t−2=6t−16，
即 −4<6t−16≤2，4<2t≤6，
∴ 点 D 在 −4 与 2 之间，点 C 在 4 与 6 之间，
∴d2线段CD,线段AB=BD=3−6t−16≤6，
∴t≥136，
则 3 D 点为 −2+2−4+6−8t−3=−8t+26，在 2 与 6 之间，
∴d2线段CD,线段AB=AD=−8t+26−1≤6，
或 d2线段CD,线段AB=AC=2t−1≤6，
∴t≥198,t≤72,
∴136≤t≤72，
当 t=5 时，C 点为 10，D 点为 −2+2−4+6−8+10=4，
d2线段CD,线段AB=AC=10−1=9>6，
则 4 D 点为 −2+2−4+6−8+10t−4=10t−46，−6<10t−46≤4，
∴0≤BD≤9，7 ∴d2线段CD,线段AB>6，不符合题意，
即当 t>4 时，AC=2t−1>7，不符合题意．
综上所述：若 d2线段CD,线段AB 小于或等于 6 时，0≤t≤74 或 136≤t≤72．