2020-2021学年北京市海淀区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区九上期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 A2,3，则 k 的值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000 多年的历史．2017 年 5 月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人 AlphaG 进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是
A. B.
C. D.

3. 不透明袋子中有 1 个红球和 2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，恰好是红球的概率为
A. 13B. 12C. 23D. 1

4. 如图，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 的反向延长线上，且 DE∥BC．若 AE=2，AC=4，AD=3，则 AB 为
A. 9B. 6C. 3D. 32

5. 在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是
A. x−1=0B. x2+x=0C. x2−1=0D. x2+1=0

6. 如图，⊙O 的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 1，则 BC 的长为
A. 14πB. 13πC. 23πD. π

7. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则使得函数值 y 大于 2 的自变量 x 的取值可以是
A. −4B. −2C. 0D. 2

8. 下列选项中，能够被半径为 1 的圆及其内部所覆盖的图形是
A. 长度为 5 的线段
B. 斜边为 3 的直角三角形
C. 面积为 4 的菱形
D. 半径为 2，圆心角为 90∘ 的扇形

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 ．

10. 若点 1,a，2,b 都在反比例函数 y=4x 的图象上，则 a，b 大小关系是：a b（填“>”“=”或“<”）．

11. 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，若腰 AB 与 ⊙O 相切．则 AC 与 ⊙O 的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．

12. 关于 x 的一元二次方程 x2−3x+m=0 有一个根是 x=1，则 m= ．

13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率
估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．

14. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 AB=1.5m，同时量得 BC=2m，CD=12m，则旗杆高度 DE= m．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC=3．点 D 在 AC 上，且 AD=2，将点 D 绕着点 A 顺时针方向旋转，使得点 D 的对应点 E 恰好落在 AB 边上，则旋转角的度数为 ，CE 的长为 ．

16. 已知双曲线 y=−3x 与直线 y=kx+b 交于点 Ax1,y1，Bx2,y2．
（1）若 x1+x2=0，则 y1+y2= ．
（2）若 x1+x2>0 时，y1+y2>0，则 k 0，b 0（填“>”，“=”或“<”）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−4x+3=0

18. 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△ACD 中，∠B=∠ACD=90∘，AC 平分 ∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD．
（2）若 AB=4，AC=5，求 BC 和 CD 的长．

19. 如图 1 是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼 ⋅ 考工记》记载：“⋯⋯ 故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸 ⋯⋯”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图 2 所示，在车轮上取 A，B 两点，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 rcm．
作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，则 D 是 AB 的中点，其推理依据是： ，
经测量：AB=90cm，CD=15cm，则 AD= cm；
用含 r 的代数式表示 OD，OD= cm．
在 Rt△OAD 中，由勾股定理可列出关于 r 的方程：r2= ，
解得 r=75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

20. 文具店购进了 20 盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了 2 支“HB”铅笔，具体数据见下表：
混入"HB"铅笔数012盒数6mn
（1）用等式写出 m，n 所满足的数量关系 ．
（2）从 20 盒铅笔中任意选取 1 盒：
①“盒中没有混入‘ HB ’铅笔”是事件 （填“必然”、“不可能”或“随机”）．
②若“盒中混入 1 支‘ HB ’铅笔”的概率为 14，求 m 和 n 的值．

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A1,2，B4,2，以点 O 为位似中心，相似比为 2，在第一象限内将线段 AB 放大得到线段 CD，已知点 B 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上．
（1）求反比例函数的解析式，并画出图象．
（2）判断点 C 是否在此函数图象上．
（3）点 M 为直线 CD 上一动点，过 M 作 x 轴的垂线，与反比例函数的图象交于点 N，若 MN≥AB，直接写出点 M 横坐标 m 的取值范围．

22. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 在 BC 边上，以 CD 为直径的 ⊙O 与直线 AB 相切于点 E 、且 E 是 AB 中点，连接 OA．
（1）求证：OA=OB．
（2）连接 AD，若 AD=7，求 ⊙O 的半径．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 Pm,y1 在二次函数 y=x2+bx+c 的图象上点 Qm,y2 在一次函数 y=−x+4 的图象上．
（1）若二次函数图象经过点 0,4，4,4．
①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标．
②判断 m<0 时，y1 与 y2 的大小关系．
（2）若只有当 m≥1 时，满足 y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．

24. 已知 ∠MAN=45∘，点 B 为射线 AN 上一定点，点 C 为射线 AM 上一动点（不与点 A 重合）点 D 在线段 BC 的延长线上，且 CD=CB．过点 D 作 DE⊥AM 于点 E．
（1）当点 C 运动到如图 1 的位置时，点 E 恰好与点 C 重合，此时 AC 与 DE 的数量关系是 ．
（2）当点 C 运动到如图 2 的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE．
（3）在点 C 运动的过程中，点 E 能否在射线 AM 的反向延长线上?若能，直接用等式表示线段 AC，AE，DE 之间的数量关系；若不能，请说明理由．

25. 如图 1，对于 △PMN 的顶点 P 及其对边 MN 上的一点 Q，给出如下定义：以 P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线 MN 的公共点都在线段 MN 上，则称点 Q 为 △PMN 关于点 P 的内联点．在平面直角坐标系 xOy 中：
（1）如图 2，已知点 A7,0，点 B 在直线 y=x+1 上．
①若点 B3,4，点 C3,0，则在点 O，C，A 中，点 是 △AOB 关于点 B 的内联点．
②若 △AOB 关于点 B 的内联点存在，求点 B 纵坐标 n 的取值范围．
（2）已知点 D2,0，点 E4,2，将点 D 绕原点 O 旋转得到点 F．若 △EOF 关于点 E 的内联点存在．直接写出点 F 横坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 A2,3，
∴k=2×3=6．
2. A
3. A【解析】∵ 不透明袋子中有 1 个红球和 2 个绿球，共有 3 个球，
∴ 从袋子中随机取出 1 个球是红球的概率是 13．
4. B【解析】∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB，
∵AE=2，AC=4，AD=3，
∴24=ADAB，
∴AB=6．
5. C
【解析】A选项：x−1=0，得 x=1，故A错误；
B选项：x2+x=xx+1=0，解得 x=0 或 x=−1，故B错误；
C选项：x2−1=x+1x−1=0，解得 x=±1，故C正确；
D选项：x2+1=0，得 x2=−1，解不存在，无解，故D错误．
6. B【解析】连接 OB，OC．
∵ 六边形 ABCDEF 是 ⊙O 的内接正六边形，
∴∠BOC=360∘6=60∘，
∴BC=60π×1180=π3．
7. B【解析】由二次函数的图象可得当 0≤x 时，y 的范围为 y≤2，则排除选项C，D，
又二次函数的对称值 x=x1，其值 −2则依据对称性有当 x=−4 时，其函数值 y 与 x=1 时的值比较接近，
即 y 值在 0 的附近，故排除A选项，
又依据对称性，当 x=−2 时，其值与 x=−1 时的值接近，
由图象很明显的可得到 x=−1 时或当 x 值介于对称轴与 0 之间时 x≠0，其函数值明显大于 2．
8. D【解析】A选项：半径为 1 的圆中，最长的弦为 2．
∵5>4．
∴5>2．
∴ 半径为 1 的圆不能覆盖长度为 5 的线段．
故A错误；
B选项：半径为 1 的圆能覆盖的直角三角形的斜边长最大为 2．
故半径为 1 的圆不能覆盖斜边为 3 的直角三角形．故B错误；
C选项：半径为 1 的圆能覆盖的菱形最大面积为 12×2×2=2，
故半径为 1 的圆不能覆盖面积为 4 的菱形．故C错误；
D选项：如图所示，⊙O 的半径为 1．
AC=BC=2，∠ACB=90∘．
扇形 ACB 是半径为 2，圆心角为 90∘．
∴ 半径为 1 的圆能覆盖半径为 2，圆心角为 90∘ 的扇形．
故D正确．
第二部分
9. y=x2（答案不唯一，开口向上的二次函数即可）
10. >
【解析】把 A1,a，B2,b 代入反比例函数 y=4x 中得：
a=41=4，b=42=2，
则 a>b．
11. 相切
【解析】根据题意以点为圆心作圆切 AB 于点 D，
连接 OD，作 OF⊥AC 于 F，如图，
∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，
∴AO⊥BC，AO 平分 ∠BAC，
∵AB 与 ⊙O 相切于点 D，
∴OD⊥AB，
而 OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
12. 2
【解析】将 x=1 代入式中 x 有一解为 1，
代入式中求出 m 值，
x2−3x+m=0
1−3+m=0
m=2．
13. 0.9
【解析】由表格中树苗的成活频率估计概率可知，树苗移植成活的概率是 0.9．
14. 9
【解析】根据镜面反射原理可知，∠ACB=∠DCE，
∵∠ABC=∠EDC=90∘，
∴△ABC∽△EDC．
∴ABED=BCCD．
∵CD=12，AB=1.5，BC=2，
∴ED=9．
故旗杆的高度 DE 为 9 米．
15. 45∘，10
【解析】∵AB=BC=3，∠ABC=90∘，
∴∠BAC=∠C=45∘，
∴ 旋转角为 45∘，
∵AD=AE=2，
∴BE=AB−AE=1，
在 Rt△BCE 中，CE=BC2+BE2=32+12=10．
16. 0，<，>
【解析】（1）∵y1=−3x1，y2=−3x2，
x1+x2=0 代入，
y1+y2=−3x1+−3x2=−3x1+x2x1x2=0.
（2）∵x1+x2>0，y1+y2>0，
x1,y1，x2,y2 相当于两个方程联立的解，即 kx+b=−3x，
∴−kx2−bx−3=0，
又 ∵x1+x2=−bk>0，两根之和为 −ba，
又 ∵y1+y2=kx1+x2+2b=b>0，（x1+x2=−bk 代入），
∴b>0，
又 ∵−bk>0，
∴k<0，
∴k<0，b>0．
第三部分
17.
x2−4x+3=0,x−1x−3=0,
x−1=0,x−3=0,
x1=1,x2=3.
18. （1） ∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠B=∠ACD=90∘，
∴△ABC∽△ACD．
（2） 在 Rt△ABC 中，
BC=AC2−AB2=52−42=3，
由（1）知 △ABC∽△ACD，
∴ABBC=ACCD，
∵AB=4，BC=3，
∴43=5CD，解得 CD=154．
19. 垂直于弦的直径平分弦；45；r−15；r−152+452
20. （1） m+n=14
【解析】根据题意可得：
m+n=20−6，
即 m+n=14．
（2） ① 随机；
②根据题意，可得 m20=14，
∴m=5，
∴n=20−6−m=14−5=9.
【解析】①“盒中没有混入‘ HB ’ 铅笔”是随机事件．
21. （1） ∵ 点 B4,2 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，
∴k=4×2=8，
∴ 反比例函数的解析式为 y=8x，
反比例函数 y=8x 经过 1,8，2,4，4,2，8,1 等点，描点用平滑的曲线连接各点，即可得到函数图象，如图所示：
（2） 以 O 为位似中心，相似比为 2，将线段 AB 放大得到线段 CD，如图所示，
则 C 点坐标为 2,4，
∵2×4=8，
∴ 点 C2,4 在反比例函数 y=8x 的图象上．
（3） 0【解析】∵ 点 C 的坐标为 2,4，
点 D 的坐标为 8,4，
∴ 直线 CD 即为 y=4，
∵ 点 M 在直线 CD 上，
∴ 设 M 点坐标为 m,4，
∵MN⊥x轴，
∴N 点坐标为 m,8m，
∴MN=8m−4，
∵MN≥AB，AB=3，
∴MN≥3，
∴8m−4≥3，
当 8m−4≥3 时，8m≥7，0当 4−8m≥3 时，8m≤1，m≥8，
∴ 点 M 横坐标 m 的取值范围是 022. （1） 连接 OE，
∵⊙O 与直线 AB 相切于 E，
∴OE⊥AB．
又 ∵E 为 AB 的中点，
∴OE 为 AB 的垂直平分线，
∴OA=OB．
（2） ∵OE⊥AB，故 ∠OEB=90∘．
又 ∵∠ACB=90∘，∠B 为 △OEB 与 △ACB 的公共角，
∴△OEB∽△ACB，
∴OBAB=OEAC，设 AC=x，OC=OE=r．
在 △ADE 和 △AOC 中，
OE=OC,∠OEA=∠OEB=90∘,AO=AO,
∴△AOE≌△AOCSAS，
∴AC=AE=x．
∵E 为 AB 中点，
∴AB=2AE=2AC=2x，
OB=OE2+BE2=r2+x2，
OBAB=OEAC 即 x2+r22x=rx 可得 x=3r，
在 Rt△AOC 中 AO=BO=r2+x2，
在 Rt△ADC 中 AD2=AC2+DC2，
即 72=x2+2r2，将 x=3r 代入，
即 7r2=7，r=1．
23. （1） ①代入 0,4，4,4，
c=4,16+4b+c=4,
∴b=−4,c=4,
∴y=x2−4x+4．
顶点 2,0．
②如图所示，
当 m=0 时，y1=y2，
当 m<0 时，y1 在 y2 上方，故 y1>y2．
（2） 当 m≥1 时，y1⋅y2≤0，即 m2+mb+c−m+4≤0，
当 1≤m≤4 时，m2+mb+c≤0．
m>4 时，m2+mb+c>0．
题中“只有”当 m≥1 时，说明 1 、 4 是二次函数两个根，
代入可得 b=−5，c=4，
∴ 二次函数解析式：y=x2−5x+4．
24. （1） AC=DE
【解析】∵DE⊥AM，D 在线段 BC 的延长线上，
∴B，C，D 三点共线，
∴BC⊥AC，
在 Rt△ABC 中，∠BAC=45∘，
∴∠ABC=45∘，
∴AC=BC，
又 ∵CD=CB，
∴AC=DC=DE．
（2） 补全图如图二：
在射线 AM 取点 F，使 AC=CF，
在 △ABC 和 △FDC 中，
AC=CF,∠BCA=∠DCF,BE=DC,
∴△ABC≌△FDCSAS，
∵DE⊥AM，∠DFC=∠BAC=45∘，
∴DE=EF，
∴AF=2AC=AE+EF=AE+DE，
∴2AC=AE+DE．
（3） 2AC=AE−DE．
【解析】结论：2AC=AE−DE，
证明：如图三，作 BF⊥EM，
在 △CED 和 △CFB 中，
∠BCF=∠DCE,∠BFC=∠DEC,BC=CD,
∴△CED≌△CFBAAS，
∴DE=BF，CE=CF，
∵∠MAN=45∘，
∴BF=AF，
∴AF=DE，
∴AF=AC+CF=AC+EC=AC+AC+AE=2AC+AE，
∵AF=DE，
∴DE=2AC+AE，
∴2AC=AE−DE．
25. （1） ① O，C
②
①点 B 为 0,1 时，此时以 BO 为半径作圆可以得到点 O 是 △ADB 关于点 B 的内联点，
∴n≥1，
此时若 B 往左移，作图发现将不再有内联点．
②点 B 为 7,8 时，以 BA 为半径作圆可以得到点 A 是 △AOB 关于点 B 的内联点，
∴n≤8，
此时若点 B 往右移，作图发现将不再有内联点，
综上，1≤n≤8
【解析】①分别以 BO，BC，BA 为半径作圆，如图所示，以 BO 为半径作圆，
OB 与 OA 有 2 个公共点，且都在线段 OA 上，
∴ 点 O 是 ADB 关于点 B 的内联点；
以 BC 为半径作圆，只有一个公共点 C，在线段 OA 上，符合定义；
以 BA 为半径作圆，有 2 个公共点，但其中一个不在线段 OA 上，不符合；
综上，O，C 是 △AOB 关于点 B 的内联点．
故答案为：O；C．
（2） −255≤m≤0 或 255≤m≤85．
【解析】将点 D 绕原点 O 旋转得到点 F，说明点 F 在以 O 为圆心，半径为 2 的圆上，如下图：
当 ∠EFO 为直角时，如下图：
有两处满足条件，即上图中的点 F 和 Fʹ，其中点 F 横坐标为 0，EF=4，OF=2，同时 △EOF≌△EOFʹ，
过点 Fʹ 作 y 轴的垂线，过点 E 作 x 轴的垂线，如下图：
我们可证明 △OGFʹ∽△FʹHE，
其中 OFʹ=2，EFʹ=4，即相似比为 1:2，
而 GFʹ=m，FH=2m，FʹH=4−m，
在 Rt△EFʹH 中，由勾股定理 16=4−m2+2m2，
解得 m=0或85．
当 ∠EOF 为直角时，如下图：
同样有两处满足条件，即上图中的点 F 和 Fʹ，以点 F 横坐标求解为例，
我们过点 F，E 分别向 x 轴作垂线，如下图：
我们可证明 △FOM∽△OEN，
其中 OE=25，OF=2，EN=2，OM=255，
而点 F 与 Fʹ 关于原点 O 对称，
因此点 F 横坐标为 −255，点 Fʹ 横坐标为 255．
故当 −255≤m≤0 或 255≤m≤85 时，
△EOF 关于点 F 的内联点存在．