2020-2021学年北京市密云区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市密云区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=x+22−1 的顶点坐标是
A. 2,−1B. −2,−1C. 2,1D. −2,1

2. 如图，直线 l1∥l2∥l3．直线 l4 被 l1，l2，l3 所截得的两条线段分别为 CD，DE，直线 l5 被 l1，l2，l3 所截得的两条线段分别为 FG，GH．若 CD=1，DE=2，FG=1.2，则 GH 的长为
A. 0.6B. 1.2C. 2.4D. 3.6

3. 已知点 P1,y1，Q2,y2 是反比例函数 y=3x 图象上的两点，则
A. y1
4. 将 Rt△ABC 的各边长都缩小为原来的 12，则锐角 A 的正弦值
A. 不变B. 缩小为原来的 12
C. 扩大为原来的 2 倍D. 缩小为原来的 14

5. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A−1,0，B3,0 和 C0,−1，则下列结论错误的是
A. 二次函数图象的对称轴是 x=1
B. 方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=−1，x2=3
C. 当 x<1 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小
D. 函数 y=ax2+bx+c 的最小值是 −2

6. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点，∠CDB=20∘，则 ∠ABC 的度数为
A. 20∘B. 40∘C. 70∘D. 90∘

7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中有两点 A−2,0 和 B−2,−1，以原点 O 为位似中心作 △COD，△COD 与 △AOB 的相似比为 2，其中点 C 与点 A 对应，点 D 与点 B 对应，且 CD 在 y 轴左侧，则点 D 的坐标为
A. 4,2B. −4,−2C. 1,12D. −1,−12

8. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=4，P 是圆周上一动点（点 P 与点 A 、点 B 不重合），PC⊥AB，垂足为 C，点 M 是 PC 的中点，设 AC 长为 x，AM 长为 y，则表示 y 与 x 之间函数关系的图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 已知扇形的圆心角为 60∘，半径为 2，则该扇形的弧长为 ．

10. 已知 △ABC 中，D 是 BC 上一点，添加一个条件使得 △ABC∽△DAC，则添加的条件可以是 ．

11. 已知点 Px1,y1，Qx2,y2 是反比例函数 y=2x 图象上的两点，其中 x1+x2=0，则 y1+y2= ．

12. 如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 中点，BE 与 AC 交于点 F，则 △AEF 与 △CBF 的面积比为 ．

13. 二次函数 y=x2−2x−3 的最小值是 ．

14. 如图，A，B，C 是 ⊙O 上三点，BC⊥OA，垂足为 D．已知 OA=3，AD=1，则 BC 长为 ．

15. 如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯 AB 的倾斜角为 30∘，在自动扶梯下方地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60∘，A，C 之间的距离为 6 m，则自动扶梯的垂直高度 BD= m．（结果保留根号）

16. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何?”
译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步?”
根据题意，该直角三角形内切圆的直径为 步．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：8−2sin45∘+2cs60∘+∣1−2∣．

18. 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过两点 A4,0，B2,−4．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）在平面直角坐标系 xOy 内画出抛物线的示意图．
（3）若直线 y=mx+n 经过 A，B 两点，结合图象直接写出不等式 x2+bx+c
19. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点 D 在 BC 上，AB=1，BD=2，CD=3，CE=6．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）求 ∠ADE 的度数．

20. 如图，四边形 ABCD 中，∠CBA=∠CAD=90∘，∠BCA=45∘，∠ACD=60∘，BC=2，求 AD 的长．

21. 已知双曲线 y=kx 与直线 l1 交于 A1,2 和 B−2,m．
（1）求 k，m 值．
（2）将直线 l1 平移得到 l2：y=ax+b，且 l1，l2 与双曲线围成的封闭区域内（不含边界）恰有 3 个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出 b 的取值范围．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是圆上两点，CD=BD，过点 D 作 AC 的垂线分别交 AC，AB 延长线于点 E，F．
（1）求证：EF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AE=3，sin∠EAF=45，求 ⊙O 的半径．

23. 已知抛物线 y=ax2+bx+3a 与 y 轴交于点 P，将点 P 向右平移 4 个单位得到点 Q，点 Q 也在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线 x= ．
（2）用含 a 的代数式表示 b．
（3）已知点 M1,1，N4,4a−1，抛物线与线段 MN 恰有一个公共点，求 a 的取值范围．

24. 如图，矩形 ABCD 中，AD>AB，DE 平分 ∠ADC 交 BC 于点 E，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到线段 AF，连接 EF，AD 与 FE 交于点 O．
（1）①补全图形．
②设 ∠EAB 的度数为 α，直接写出 ∠AOE 的度数（用含 α 的代数式表示）．
（2）连接 DF，用等式表示线段 DF，DE，AE 之间的数量关系，并证明．

25. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N．给出如下定义：P 是图形 M 上的任意一点，Q 是图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形 M，N 的“最小距离”，记作 dM,N．已知 ⊙O 的半径为 1．
（1）如图，P4,3，则 d点O,⊙O= ，d点P,⊙O= ．
（2）已知 A，B 是 ⊙O 上两点，且 AB 的度数为 60∘．
①若 AB∥x 轴且在 x 轴上方，直线 l：y=3x−2，求 dl,AB 的值．
②若点 R 坐标为 2,1，直接写出 d点R,AB 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 当 x=−2 时，y=−2+22−1=−1，
∴ 抛物线 y=x+22−1 的顶点坐标为 −2,−1，故B正确．
2. C【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴CDDE=FGGH，
∵CD=1，DE=2，FG=1.2，
∴12=1.2GH，
∴GH=2.4．
3. D【解析】∵ 反比例系数 k=3>0，
∴ 当 x>0 时，y>0，y 随 x 的增大而减小，
∵0<1<2，
∴0故答案选D．
4. A【解析】将 Rt△ABC 的各边长都缩小为原来的 12，则锐角 A 的正弦值不变．
5. D
【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A−1,0，B3,0，
∴ 二次函数图象的对称轴 x=−1+32=1，故A正确；
方程 ax2+bx+c=0 的根为 x1=−1，x2=3，即图象与 x 轴相交时，
当 x=−1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，故B正确；
由已知图象可知，当 x<1 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，故C正确；
将 A−1,0，B3,0，C0,−1 代入 y=ax2+bx+c 得：
a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=−1,
解得 a=13,b=−23,c=−1,
∴y=13x2−23x−1=13x2−2x+1−43=13x−12−43.
∴ 函数 y=ax2+bx+c 的最小值为 −43，故D错误．
6. C【解析】∵∠CDB=20∘，且 BC=BC，
∴∠CAB=∠CDB=20∘，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
则
∠ABC=∠ACB−∠CAB=90∘−20∘=70∘.
7. B【解析】∵B−2,−1，
以顶点 O 为位似中心作 △COD，△COD 与 △AOB 的相似比为 2，
其中点 D 与点 B 对应，且 CD 在 y 轴左侧，
∴ 点 D 的坐标为 −2×2,−1×2，即为 −4,−2．
8. B【解析】
当 x=1 时，画图可知 AM>AC，y>x，排除C，D，
当 x=3 时，画图可知 AM>AC，y>x，排除A．
故选B．
第二部分
9. 23π
【解析】依题意，n=60，r=2，
∴ 扇形的弧长 =nπr180=60π×2180=23π．
10. ∠B=∠CAD 或 ∠BAC=∠CDA 或 ACCD=BCAC
【解析】∵∠C=∠C，
∴ 添加 ∠B=∠CAD 或 ∠BAC=∠CDA 或 ACCD=BCAC 都可以证明 △ABC∽△DAC．
11. 0
【解析】∵ 点 Ax1,y1，Bx2,y2 是反比例函数 y=2x 图象上两点，
∴y1=2x1，y2=2x2，
∴y1+y2=2x1+2x2=2x1+x2x1x2，
∴ 若 x1+x2=0，则 y1+y2=0．
12. 14
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE，则 BC=2AE，
∴△AEF∽△CBF，
则 S△AEFS△CBF=AEBC2=AE2AE2=14．
13. −4
【解析】∵ 二次函数 y=x2−2x−3 可化为 y=x−12−4，
∴ 最小值是 −4．
14. 25
【解析】连接 OB，
∵OA⊥BC，
∴BD=CD，
∵OA=OB=3，AD=1，
∴OD=OA−AD=2，
在 Rt△ODB 中，BD=OB2−OD2=32−22=5
∴BC=2BD=25．
15. 33
【解析】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60∘，∠BAC=30∘，
∴∠ABC=30∘，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=6 m，
在 Rt△BCD 中，BD=BCsin60∘=6×32=33 m．
故答案为：33．
16. 4
【解析】连接 OA，OB，OC，OF，OD，OE，
由题意可知 F，D，E，为边 AB，BC，AC 与内切圆的切点，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，
在 Rt△ABC 中，AC=12，BC=5，∠C=90∘，
∴AB=AC2+BC2=122+52=13，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×12×5=30，
且
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB⋅r+12BC⋅r+12AC⋅r=12rAB+BC+AC=12r13+5+12=15r,
则有 15r=30，
解得 r=2，
∴ 内切圆的直径为 4 步．
第三部分
17. 8−2sin45∘+2cs60∘+∣1−2∣=22−2×22+2×12+2−1=22−2+1+2−1=22.
18. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过两点 4,0，2,4，
∴16+4b+c=0,4+2b+c=−4, 解得 b=−4,c=0,
∴ 该抛物线的表达式为 y=x2−4x．
（2） y=x2−4x=x−22−4，顶点坐标 2,−4，
令 y=0 得 x2−4x=0，解得 x1=0，x2=4，
∴ 与 x 轴交于 0,0，4,0，
x=1 时，y=1−4=−3，
x=3 时，y=9−12=−3，
图象如下图所示．
（3） 2【解析】∵ 直线 y=mx+n 经过 A，B，
∴x2+bx+c19. （1） ∵AB⊥BC，EC⊥BC，点 D 在 BC 上，
∴∠ABD=∠DCE=90∘，
∵AB=1，BD=2，CD=3，CE=6，
∴ABBD=12，DCCE=12，
∴ABBD=DCCE，
∴△ABD∽△DCE．
（2） ∵△ABD∽△DCE，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠BAD+∠ADB=90∘，
∴∠ADB+∠EDC=90∘，
∴∠ADE=180∘−∠ADB−∠EDC=90∘．
20. ∵∠CBA=90∘，∠BCA=45∘，BC=2，
∴AC=2sin45∘=2，
∵∠CAD=90∘，∠ACD=60∘，
∴ADAC=tan60∘=3，
∴AD=23．
21. （1） ∵ 双曲线 y=kx 与直线 l1 交于 A1,2 和 B−2,m，
∴k=2，
∴m=2−2=−1，
即 k=2，m=−1．
（2） −1【解析】已知 A1,2，B−2,−1 在 l1 上，
∴ 设 l1：y=k1x+b1（k1≠0），
∴2=k1+b1,−1=−2k1+b1,
∴k1=1,b1=1,
∴l1：y=x+1，
∵l1∥l2，
∴l2：y=x+b．
①当 l2 在 l1 上方时，l1l2 与双曲线围成封闭区域内恰有 3 个整点为 −2,0，−1,1，0,2，
当 l2 过点 0,2 时，b=2，
当 l2 过点 0,3 时 b=3，
∴ 满足要求的 b 为 2②当 l2 在 l1 下方时，l1l2 与双曲线围成封闭区域内恰有 3 个整点为 −1,1，0,0，1,1，
当 l2 过 0,0 时，b=0，
当 l2 过 0,−1 时，b=−1，
∴ 满足要求的 b 为 −1综上 b 的取值范围为 −122. （1） 连接 OD，AD，
∵CD=BD，
∴∠CAD=∠DAB．
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAB，
∴∠CAD=∠ADO．
∵AE⊥ED，
∴∠AED=90∘，
∴∠EAD+∠EDA=90∘ ，
∴∠ADO+∠EDA=90∘，
∴EF⊥OD，
∴EF 是 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△AEF 中，∠AEF=90∘，
∴sin∠EAF=EFAF，
∴sin∠EAF=45，
设 EF=4k，AF=5kk>0，解得 AE=3k，
∵AE=3，
∴k=1，
∴AF=5，
∵EF⊥OD，EF⊥AE，
∴OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE ，
∴FOFA=ODAE ，
∴5−r5=r3，
解得：r=158．
23. （1） 2
【解析】∵ 点 P 在 y 轴上，所以点 P 的横坐标是 0，
∵ 点 P 向右平移 4 个单位得到点 Q，所以点 Q 的横坐标是 4，
∵ 点 P 和点 Q 都在抛物线上，且纵坐标相等，0+42=2，
∴ 抛物线的对称轴是直线 x=2．
（2） ∵ 抛物线的对称轴是直线 x=2，
∴−b2a=2，
∴b=−4a．
（3） 由（2）可知，抛物线的表达式为 y=ax2−4ax+3a，
令 y=0，解得：x1=1，x2=3，
∴ 抛物线经过 1,0 和 3,0，
设点 R1,y1，S4,y2 在抛物线上，则 y1=0，y2=3a．故此点 M 在 R 上方．
①当 a>0 时，若使抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点 N 与点 S 重合（如图 1）或点 N 在点 S 下方（如图 2 ），即 3a≥4a−1，解得：a≤1，即 0②当 a<0 时，3a>4a−1，故此点 N 在点 S 下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图 3）．
综上所述：a 的取值范围是：a<0 或 024. （1） ①补全图形如下：
② ∠AOE=45∘+α．
【解析】② ∵ 线段 AE 绕 A 逆时针旋转 90∘ 得到线段 AF，
∴AF=AE，∠FAE=90∘，
∴∠F=45∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB=90∘，
∴∠DAB=∠FAE，
∴∠DAB−∠DAE=∠FAE−∠DAE，
即 ∠FAD=∠EAB=α，
∴∠AOE=∠F+∠FAD=45∘+α．
（2） DF2+DE2=2AE2．
延长 DE，AB 交于点 G．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90∘．
∵DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADE=45∘，
∴AD=AG．
∵∠FAE=90∘，
∴∠FAD+∠DAE=90∘．
∵∠DAE+∠EAG=90∘，
∴∠FAD=∠EAG．
∵AF=AE，
在 △FAD 和 △EAG 中，
AF=AE,∠FAD=∠EAG,AD=AG,
∴△FAD≌△EAGSAS ，
∴∠FDA=∠EGA=45∘，
∴∠FDE=∠FDA+∠ADE=45∘+45∘=90∘，
∴DF2+DE2=FE2，
∵FE2=AE2+AF2=2AE2，
∴DF2+DE2=2AE2．
25. （1） 1；4
【解析】d点O,⊙O=r=1，
d点P,⊙O=PO−r=42+32−1=4．
（2） ①方法一：不妨设点 B 在点 A 右侧，AB 与 y 轴交于点 P，连接 OA，OB，
∵AB 的度数为 60∘，
∴∠AOB=60∘，
∴∠POB=30∘，
∴∠BOC=60∘，
设直线 l 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，则点 C233,0，D0,−2，
∴tan∠OCD=223=33，
∴∠OCD=60∘．
∴OB∥CD．
观察图形可知，点 B 到 CD 的距离就是 AB 与直线 l 的“最小距离”，
过点 O 作 OE⊥CD，垂足为 E，
∵∠OCD=60∘，
∴∠ODC=30∘，
∴OE=1，
∴dl,AB=1．
② 3−1,3+1．
【解析】方法二：dl,AB 即为 B 到直线 l 的距离，
B12,32，l：3x−y−2=0，
d=∣3×12−32−2∣32+−12=1．
点到直线的距离d=∣Ax0+By0+c∣A2+B2
②连接 OR，
则 d点R,AB，最短为：OR−r，最长为：OR+r，
OR=22+12=3，
∴3−1≤d点r,AB≤3+1 ，
∴d点R,AB 取值范围为 3−1,3+1．