2020-2021学年北京市海淀区中关村中学七上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市海淀区中关村中学七上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒 338600000 亿次．将数字 338600000 用科学记数法可表示为
A. 3.386×108B. 3.386×109C. 0.3386×109D. 33.86×107

2. 如图可知，∠MON 的大小可由量角器测得，则 ∠MON 的余角大小为
A. 70∘B. 20∘C. 110∘D. 120∘

3. 下列图形中，∠1 与 ∠2 是对顶角的是
A. B.
C. D.

4. 下列运算正确的是
A. 4m−m=3B. a3−a2=aC. a2b−ab2=0D. 2xy−yx=xy

5. 下列变形正确的是
A. 由 −3+2x=1，得 2x=1−3B. 由 3y=−4，得 y=−34
C. 由 3=x+2，得 x=3+2D. 由 x−4=9，得 x=9+4

6. 如图，下列结论正确的是
A. c>a>bB. b+a>0
C. a>bD. abc>0

7. 如图，测量运动员跳远成绩选取的是 AB 的长度，其依据是
A. 两点确定一条直线B. 两点之间直线最短
C. 两点之间线段最短D. 垂线段最短

8. 已知：如图，直线 BO⊥AO 于点 O，OB 平分 ∠COD，∠BOD=22∘，则 ∠AOC 的度数是
A. 78∘B. 68∘C. 46∘D. 22∘

9. 已知多项式 2x2+4y 的值是 −2，则多项式 x2+2y−6 的值是
A. −7B. −1C. 1D. 7

10. 在以下形状不规则的组件中，下图不可能是下面哪个组件的视图
A. B.
C. D.

11. “\（\mathbin{☆} \）”表示一种运算符号，其定义是 \（a \mathbin{☆} b=-2a+b\），例如：\（3 \mathbin{☆} 7=-2\times 3+7\），如果 \（x \mathbin{☆} \left（-5\right）=3\），那么 x 等于
A. −1B. −4C. 7D. 1

12. 下图是某区 2019 年 1 月份每天的最低和最高气温，观察此图，下列说法正确的是
A. 在 1 月份中，最高气温为 10∘C，最低气温为 −2∘C
B. 在 10 号至 16 号的气温中，每天温差最大为 7∘C
C. 1 月份每天的最高温度均高于 0∘C，最低气温均低于 0∘C
D. 从 27 日开始到月底，每天的最高气温持续走低

二、填空题（共8小题；共40分）
13. 34.24∘= ∘ ʹ ʺ．

14. 如图所示的网格是正方形网格，∠COD ∠AOB．（填“>”，“=”或“<”）

15. 写出一个一元一次方程，使它的解为 x=5，方程为 ．

16. 如图是一所住宅的建筑平面图（长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积是 m2

17. 点 A，B，C 在直线 l 上，线段 AB=6 cm，AB=2AC，则 BC 的长度为 cm．

18. 如图，AD 是 ∠EAC 的平分线，AD∥BC，∠B=30∘，则 ∠C= ．

19. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何?”译文：“有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．
问：有几个人共同出钱买鸡?”设有 x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程 ．

20. 在 2021 年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在 A，B，C 三个盘子里分别放了一些小球，小球数依次为 a0，b，c0，记为 G=a,b0,c．游戏规则如下：三个盘子中的小球数 a0≠b0≠c0，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记作一次操作；n 次操作后的小球数记为 Gn=an,bn,cn．若 G0=3,5,19，则 G3= ，G2021= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
21. 计算：
（1）−12×−8+−62．
（2）−14+−2÷+13+−9．

22. 解方程：
（1）2x+1=7−x−4．
（2）4x−16=1−3x−13．

23. 先化简，再求值：3a2b+ab2−3a2b−1−ab2−1，其中 a=1，b=−3．

24. 如图，根据下列要求画图：
（1）画线段 BC，射线 BA．
（2）画出点 A 到线段 BC 的垂线段 AD．
（3）用量角器（半圆仪）测量 ∠ABC 的度数是 ∘．（精确到度）

25. 如图，已知：BE 平分 ∠ABC，CF 平分 ∠BCD，且 BE∥CF，求证：AB∥CD．
证明：
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠1=12∠ABC，
∵CF 平分 ∠BCD，
∴∠2=12 （ ），
又 ∵BE∥CF，
∴∠1= （ ），
∴∠ABC= ，
∴AB∥CD（ ）．

26. 暑假里某班同学相约一起去某公园划船，在售票处了解到该公园划船项目收费标准如下：
（1）其中，两人船项目和八人船项目单价模糊不清，通过询问，了解到以下信息：
①一只八人船每小时的租金比一只两人船每小时的租金的 2 倍少 30 元．
②租 2 只两人船，3 只八人船，游玩一个小时，共需花费 630 元．
请根据以上信息，求出两人船项目和八人船项目每小时的租金．
（2）若该班本次共有 18 名同学一起来游玩，每人乘船的时间均为 1 小时，且每只船均坐满，试列举出可行的方案（至少四种），通过观察和比较，找到所有方案中最省钱的方案．

27. 点 O 是直线 AB 上的一点，射线 OC 从 OA 出发绕点 O 顺时针方向旋转，旋转到 OB 停止，设 ∠AOC=α0∘≤α≤180∘ 射线 OD⊥OC，作射线 OE 平分 ∠BOD．
（1）如图 1，若 α=40∘，且 OD 在直线 AB 的上方，依题意补全图形，求 ∠DOE 度数（要求写出几何推理过程）．
（2）射线 OC 顺时针旋转一定的角度得到图 2，当射线 OD 在直线 AB 的下方时，其他条件不变，请你直接用含 α 的代数式表示 ∠DOE 的度数．
（3）射线 OC 从 OA 出发绕点 O 顺时针方向旋转到 OB，在旋转过程中你发现 ∠DOE 与 ∠AOC（0∘≤∠AOC≤180∘，0∘≤∠DOE≤180∘）之间有怎样的数量关系?请你直接用含 α 的代数式表示 ∠DOE 的度数．

28. 把几个互不相等的数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1,2,−3，−2,7,34,19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数 a 是集合的元素时，代数式的值 6−a 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“完美”集合．例如集合 6,0 就是一个“完美”集合．因为：a=6 时，6−a=0；a=0 时，6−a=6；即这个集合中两个元素对应的代数式的值 6，0 也都是这个集合的元素．
（1）判断集合 1,2，−2,1,3,5,8 中，是“完美”集合的是 ．
（2）已知有理数 a，b，ca①若 A，B，C 为“完美点”，则 b= ，A，B，C 在数轴上的位置关系是 ．
②数轴上 P，Q 两点对应的有理数为 −10，30．动点 A 从 P 出发以每秒 1 个单位的速度沿数轴在 P，Q 两点之间往返运动，同时动点 C 从 Q 出发以每秒 2 个单位的速度沿数轴在 Q，P 两点之间往返运动，当运动时间为 t 秒时，存在点 B 使 A，B，C 为“完美点”（0答案
第一部分
1. A
2. B【解析】由图可知，∠MON=70∘，
∴∠MON 的余角大小为 90∘−70∘=20∘．
3. C【解析】A选项：∠1，∠2 没有公共顶点，不是对顶角，故A错误；
B选项：∠1，∠2 两边不互为反向延长线，不是对顶角，故B错误；
C选项：∠1，∠2 有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故C正确；
D选项：∠1，∠2 两边不互为反向延长线，不是对顶角，故D错误．
4. D【解析】A选项：原式=3m，所以本选项运算错误，不符合题意；
B选项：a3 和 a2 的次数不同，不是同类型，不能直接加减合并，所以本选项运算错误，不符合题意；
C选项：a2b 和 ab2 相同字母的次数不同，不是同类型，不能直接加减合并，所以本选项运算错误，不符合题意；
D选项：原式=xy，所以本选项运算正确，符合题意．
5. D
【解析】A选项：由 −3+2x=1，得 2x=1+3，故A错误．
B选项：由 3y=−4，得 y=−43，故B错误．
C选项：由 3=x+2，得 x=2−3，故C错误．
D选项：由 x−4=9，得 x=9+4，正确．
6. C【解析】由 a，b，c 在数轴上的关系可知 c>b>a；b+a<0；a>b；abc<0，
故选C．
7. D【解析】该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短．
8. B【解析】∵BO⊥AO，
∴∠AOB=90∘，
∵OB 平分 ∠COD，
∴∠BOC=∠BOD=22∘，
∴∠AOC=90∘−22∘=68∘．
9. A【解析】∵2x2+4y=−2，
∴2x2+2y=−2，
∴x2+2y=−1，
∴x2+2y−6=−1−6=−7．
10. C
【解析】观察图形可发现不可能是C项的视图．
11. B【解析】由题意可知：−2x−5=3，
∴−2x=8，
∴x=−4．
12. D【解析】A选项：如图所示，在一月份中，最高气温是 10∘C，最低气温是 −10∘C，所以本选项说法错误，不符合题意；
B选项：如图所示，14 号时，最高气温是 6∘C，最低气温是 −8∘C，温差是 14∘C，所以本选项说法错误，不符合题意；
C选项：如图所示，9 号时，最高气温是 0∘C，15 号时，最高气温是 −2∘C，所以本选项说法错误，不符合题意；
D选项：如图所示，从 27 号开始，每天的气温持续走低，所以本选项说法正确，符合题意．
第二部分
13. 34，14，24
【解析】0.24∘×60=14.4ʹ，
0.4ʹ×60=24ʺ，
34.24∘=34∘14ʹ24ʺ．
14. <
【解析】取格点 E，连接 OE，
由图可知 ∠AOB=∠DOE，∠DOE>∠COD，
∴∠AOB>∠COD，
即 ∠COD<∠AOB．
15. 2x−3=7（答案不唯一）
16. 22.5a
【解析】建筑面积 =4×6a−6a−3a−1.5a=24a−1.5a=22.5a，
故答案为：22.5a．
17. 3 或 9
【解析】分两种情况，第一种情况如下图：
∵AB=6，AB=2AC，
∴AC=12AB=12×6=3，
∴BC=AB−AC=6−3=3cm，
第二种情况如下图：
∵AB=6，AB=2AC，
AC=12AB=12×6=3，
∴BC=AB+AC=6+3=9cm，
故答案为：3 或 9．
18. 30∘
【解析】∵AD∥BC，∠B=30∘，
∴∠EAD=∠B=30∘．
又 ∵AD 是 ∠EAC 的平分线，
∴∠EAC=2∠EAD=60∘．
∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠EAC−∠B=30∘．
19. 9x−11=6x+16
【解析】等量关系为：9×买鸡人数−11=6×买鸡人数+16，即可解答．
20. 6,8,13，8,10,9
【解析】∵G0=3,5,19，
∴G1=4,6,17，G2=5,7,15，G3=6,8,13，G4=7,9,11，
G5=8,10,9，G6=9,8,10，G7=10,9,8，
G8=8,10,9，G9=9,8,10，G10=10,9,8，
⋯⋯
∴ 从 G5 开始每 3 次为一个周期循环，
∵2021−4÷3=672⋯⋯1，
∴G2021=G5=8,10,9．
第三部分
21. （1） 原式=4+36=40.
（2） 原式=−1+−2×+3+9=−1−6+9=2.
22. （1）
2x+1=7−x−4.2x+2=7−x+4.2x+x=7+4−2.3x=9.x=3.
（2）
4x−16=1−3x−13.4x−1=6−23x−1.4x−1=6−6x+2.4x+6x=6+2+1.10x=9.x=910.
23. 原式=3a2b+3ab2−3a2b+1−ab2−1=2ab2,
当 a=1，b=−3 时，
原式=2×1×−32=2×9=18.
24. （1） 线段 BC：以点 B 和点 C 为端点，连接起来．
射线 BA：以点 B 为端点，过点 A 画射线 BA．
如图所示：
（2） 过点 A 向线段 BC 作垂线，垂足为点 D．
如图所示：
（3） 70
【解析】经测量 ∠ABC 的度数为 70∘．
如图所示：
25. ∠BCD；角平分线的定义；∠2；两直线平行，内错角相等；∠BCD；内错角相等，两直线平行．
26. （1） 设两人船每艘 x 元/小时，则八人船每艘 2x−30 元/小时，
由题意，可列方程
2x+32x−30=630,
解得：
x=90.∴2x−30=150
，
答：两人船每艘 90 元/小时，则八人船每艘 150 元/小时．
（2） 如下表所示：
两人船四人船六人船八人船共花费方案一9 810方案二 3 390方案三14 490方案四1 2390⋯
两人船四人船六人船八人船共花费最省钱方案 111380
27. （1） 如图 1 所示，依题意补全图形，
∵ 点 O 是直线 AB 上一点，
∴∠AOB=180∘，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90∘，
∵∠AOC=α=40∘，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=180∘−40∘−90∘=50∘，
∵ 射线 OE 平分 ∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE，则 ∠DOE=25∘．
（2） ∠DOE=α2−45∘．
【解析】如图 2 所示，射线 OD 在直线 AB 下方，
∵ 点 O 是直线 AB 上一点，
∴∠AOB=180∘，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90∘，
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=180∘−α，
∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90∘−180∘−α=α−90∘，
∵ 射线 OE 平分 ∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE，则 ∠DOE=α2−45∘．
（3） ∠DOE=12α−45∘．
【解析】当射线 OD 在直线 AB 上方时，
∠BOD=∠AOB−∠AOC−∠COD=180∘−α−90∘=90∘−α，
∵OE 平分 ∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=45∘−α2，即 ∠DOE=45∘−12∠AOC；
当射线 OD 在直线 AB 下方时，
∠BOC=∠AOB−∠AOC=180∘−α，
∠BOD=∠COD−∠BOC=90∘−180∘−α=α−90∘．
∵OE 平分 ∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=12α−45∘，即 ∠DOE=12∠AOC−45∘，
∴∠DOE=12∠AOC−45∘，∠DOE=12α−45∘．
28. （1） −2,1,3,5,8
【解析】由题意得：“完美集合”即当 a 是集合内的元素时，6−a 也是集合内的元素，（新概念问题，理解题意），
1,2 中，当 a=1 时，6−a=5 不在集合 1,2 内，故不是，而 −2,1,3,5,8 中，a=−2 时，6−a=8，a=1 时，6−a=5，a=3 时，6−a=3，a=5 时，6−a=1，a=8 时，6−a=−2，此时 6−a 均在集合内，故是“完美集合”．
（2） ① 3；点 A 在最左侧，点 B 在中间，点 C 在最右侧，且点 A 与点 C 关于点 B 对称；
②
由题意得 PA=−10+1×t，QC=30−2×t0当点 A 与点 C 关于 3 对称，存在点 B，
∴−10+t=6−30−2t⇒t=14 或 6−−10+t=30−2t⇒t=14，
∴t=14 秒．
【解析】① ∵“完美集合”a 与 6−a 要一一对应，而集合内仅有 a，b，c 且规定 a ∴ 当 B 是在 b=6−b 时的点，那 b=3 时，明显 b 是 6−b，才会是奇数个的元素，
而无论 a 取任何值时，c 总是为 6−a，故两者关于 3a+6−a2 对称，那关于点 B 对称，
∴ 点 A 在最左侧，点 B 在中间，点 C 在最右侧，且点 A 与点 C 关于点 B 对称．