2020-2021学年上海市闵行区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年上海市闵行区八下期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，是一次函数的是
A. y=1x+1B. x+3y=1C. y=x2−1D. y=2

2. 如果关于 x 的方程 2x+m=x 有实数根 x=1，那么 m 的值是
A. −1B. 13C. 0D. 2

3. 用换元法解方程 x+1x2+x2x+1=2 时，若设 x+1x2=y，则原方程可化为关于 y 的方程是
A. y2−2y+1=0B. y2+2y+1=0C. y2+y+2=0D. y2+y−2=0

4. 从一副未曾启封的扑克牌中取出 1 张红桃，2 张黑桃的牌共 3 张，洗匀后，从这 3 张牌中任取 1 张牌恰好是黑桃的概率是
A. 12B. 13C. 23D. 1

5. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是
A. 当 AC=BD 时，四边形 ABCD 是正方形
B. 当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形
C. 当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形
D. 当 ∠ABC=90∘ 时，四边形 ABCD 是矩形

6. 我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为 5 的等腰梯形，底差等于 6，面积为 24，那么这个等腰梯形的纵横比等于
A. 54B. 56C. 23D. 35

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 一次函数 y=−x+1 的图象在 y 轴上的截距为 ．

8. 如果将直线 y=12x 沿 y 轴向下平移 2 个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ．

9. 一次函数 y=3x+m−1 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是 ．

10. 利用计算器解方程 2x3+154=0，所得的近似根是 ．（保留三个有效数字）

11. 方程 x−1=2 的解是 ．

12. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于 4 的概率是 ．

13. 一个多边形的内角和为 1440∘，则它的边数为 ．

14. 如果 ∣a∣=8，方向向西，∣b∣=5，方向向东，那么 ∣a+b∣= ．

15. 已知 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点．AC=24，BD=38，AD=28，那么 △OBC 的周长等于 ．

16. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，对角线 AC⊥BD，如果高 DE=8 cm, 那么等腰梯形 ABCD 的中位线的长为 cm．

17. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，直线 DE 垂直平分 AB，把线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90∘，使点 A 落在直线 DE 上的点 F 处，连接 CF，BF，线段 AC，BF 交于点 G，如果 CF∥AB，那么 ∠AGB= 度．

18. 如图，点 M 的坐标为 3,2, 点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴向上移动，同时过点 P 的直线关于直线 l 也随之上下平移，且直线 l 与直线 y=−x 平行，如果点 M 关于直线 l 的对称点落在坐标轴上，如果点 P 的移动时间为 t 秒，那么 t 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解关于 x 的方程：a2x2−1=−x2．

20. 解方程组：x−y=2,x2−2xy−3y2=0.

21. 闵行区政府为提高道路的绿化率，在道路两边进行植工程，计划第一期先栽种 1500 棵梧桐树．为了加快进度，绿化队在实际栽种时增加了植树人员，每天栽种的梧桐树比原计划多 200 棵，结果提前 2 天完成任务．求实际每天栽种多少棵梧桐树?

22. 如图，已知点 E 在矩形 ABCD 的边 DC 上，且 AB=AE=2AD．求 ∠EBC 的度数．

23. 如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90∘，点 E 是对角线 AC 的中点，连接 DE 并延长，交边 BC 于点 F，连接 AF．
（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形；
（2）连接 BE，如果 AF 垂直平分 BE，求证：四边形 AFCD 是菱形．

24. 已知一次函数 y=kx+2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 △AOB 的面积为 4，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小．
（1）求直线 y=kx+2 的表达式，并画出函数图象；
（2）以线段 AB 为底边在第一象限作等腰直角三角形 ABC（CB=CA，∠C=90∘），求点 C 的坐标．

25. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 A1 为边 CD 上的一个动点（不与点 C，D 重合），将正方形纸片翻折，使得点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点 B1 处，A1B1 交边 BC 于点 H，折痕为 MN，连接 AA1 交边 MN 于点 O．
（1）求证：AA1=MN．
（2）当 A1 在边 CD 的运动时，设 A1D=x，梯形 ABNM 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域．
答案
第一部分
1. B【解析】A，y=1x+1，自变量 x 的指数为 −1，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
B，x+3y=1 可整理 y=−13x+13，符合一次函数的定义，故此选项符合题意；
C，y=x2−1，自变量 x 的指数是 2，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；
D，y=2 是常数函数，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意．
2. A【解析】把 x=1 代入方程 2x+m=x，
得：2+m=1，
两边平方得：2+m=1，
解得：m=−1，
经检验 m=−1 是方程 2+m=1 的解，
即 m=−1．
3. A【解析】把 x+1x2=y 代入原方程得：y+1y=2，转化为整式方程为 y2−2y+1=0．
4. C【解析】∵1 红桃，2 黑桃的牌共 3，
∴ 这 3 牌中任取 1 张牌恰好是黑桃的概率是 23．
5. A
【解析】当 AC=BD 时，四边形 ABCD 是矩形，此说法错误，符合题意；
当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形，此说法正确，不符合题意；
当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形，此说法正确，不符合题意；
当 ∠ABC=90∘ 时，四边形 ABCD 是矩形，此说法正确，不符合题意．
故选：A．
6. C【解析】如图，
由题意得：AB=CD=5，BC−AD=6，
作 AE⊥BC 于 E，DF⊥BC 于 F，
∴BE=CF=3，
∴AE=DF=52−32=4，
∵ 梯形面积 S=12AD+BC⋅AE=12×AD+AD+6×4=24，
∴AD=3，
∴BC=9，
∴ 梯形的中位线 =AD+BC2=3+92=6，
∴ 这个等腰梯形的纵横比 =46=23，
故选：C．
第二部分
7. 1
【解析】由题意可知，一次函数 y=−x+1 与 y 轴的交点坐标为 0,1，一次函数图象如图所示，
∴ 一次函数 y=−x+1 的图象在 y 轴上的截距为 1．
8. y=12x−2
【解析】原直线的 k=12，b=0；向下平移 2 个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的 k=12，b=0−2=−2．
∴ 新直线的解析式为 y=12x−2．
9. m≤1
【解析】∵ 一次函数 y=3x+m−1 的图象不经过第二象限，
∴m−1≤0，
解得 m≤1．
10. −0.210
【解析】2x3+154=0，
2x3=−154，
x3=−1108，
x=−31108≈−0.210．
11. x=5
【解析】原方程两边平方，得：x−1=4，
所以，x=5．故答案为 x=5．
12. 13
【解析】∵ 在这 6 种情况中，掷的点数大于 4 的有 2 种结果，
∴ 掷的点数大于 4 的概率为 26=13．
故答案为 13．
13. 10
【解析】设多边形的边数为 n，
则有：180∘n−2=1440∘，
解得：n=10．
14. 3
【解析】∵∣a∣=8，方向向西，∣b∣=5，方向向东，
∴a 和 b 符号相反，
∴∣a+b∣=∣8−5∣或∣−8+5∣，
∴∣a+b∣=3．
15. 59
【解析】如图，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴BO=12BD=19，CO=12AC=12，BC=AD=28，
∴BO+CO+BC=19+12+28=59，即 △OBC 的周长为 59，
故答案为：59．
16. 8
【解析】过点 D 作 DF∥AC，交 BC 延长线于 F，
∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴AC=BD，AD∥BC，
∵DF∥AC，
∴ 四边形 ACFD 是平行四边形，
∴AC=DF，AD=CF，
∴BD=DF，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∴△BDF 是等腰直角三角形，
∵DE⊥BF，
∴DE=12BF=12BC+CF，
∴12BC+AD=8，即梯形的中位线是 8 cm．
故答案为：8．
17. 105
【解析】过点 C 作 CH⊥AB 于 H，
∵ 线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90∘，使点 A 落在直线 DE 上的点 F 处，
∴AE=EF，
∵ 直线 DE 垂直平分 AB，AB＝AC，
∴AE=BE=12AB=12AC，∠BEF=90∘，
∴EF=BE=AE，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴∠EBF=45∘，
∵DE⊥AB，CF∥AB，
∴CF⊥DE，
∵DE⊥AB，CH⊥AB，
∴ 四边形 EFCH 是矩形，
∴CH=EF=12AB＝12AC，
∴∠CAH=30∘，
∴∠AGB=180∘−∠EBF−∠CAH=180∘−45∘−30∘=105∘．
18. 2 或 3
【解析】设直线 l:y=−x+b．
如图，过点 M 作 MF⊥ 直线 l，交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 E，则点 E，F 为点 M 在坐标轴上的对称点．
过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D，
则 OD=3，MD=2，
由直线 l:y=−x+b 可知 ∠PDO=∠OPD=45∘，
∴∠MED=∠OEF=45∘，
则 △MDE 与 △OEF 均为等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E1,0，F0,−1．
∵M3,2，F0,−1，
∴ 线段 MF 中点坐标为 32,12．
直线 y=−x+b 过点 32,12，则 12=−32+b，
解得：b=2，
∴t=2．
∵M3,2，E1,0，
∴ 线段 ME 中点坐标为 2,1．
直线 y=−x+b 过点 2,1，则 1=−2+b，解得：b=3．
∴t=3．
故点 M 关于 l 的对称点，当 t=2 时，落在 y 轴上，当 t=3 时，落在 x 轴上．
故答案为：2 或 3．
第三部分
19. 移项得
a2x2+x2=1.
合并同类项得
a2+1x2=1,∵a2+1≠0
．
∴ 化简得
x2=1a2+1.∵a2≥0
；
∴a2+1>0．
∴ 解得
x=±a2+1a2+1.∴
原方程的根是 x1=a2+1a2+1，x1=−a2+1a2+1．
20.
x2−2xy−3y2="0",x−y2−4y2=0,
又 ∵：x−y=2 代入上式，
4−4y2=0,y=1或y=−1,
再将 y=1，y=−1 分别代入 x−y=2，
则
x=1,x=3.
∴x1=1,y1=−1x2=3,y2=1.
21. 设实际每天栽种 x 棵梧桐树，
根据题意，得
1500x−200−1500x=2.
化简得
x2−200x−150000=0.
解得
x1=−300,x2=500.
经检验：x1=−300，x2=500 是原方程的根，x1=−300 不合题意，舍去．
原方程的根为 x=500，且符合题意．
答：实际每天栽种 500 棵梧桐树．
22. ∵ 矩形 ABCD，
∴AB∥CD，∠ABC=∠D=90∘，
∵AE=2AD，∠D=90∘，
∠DEA=30∘，
又 ∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB=30∘，
又 ∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=75∘，
∴∠EBC=90∘−75∘=15∘．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC，∠DAC=∠ACF，
∵ 点 E 是对角线 AC 的中点，
∴AE=EC，
在 △ADE 和 △CFE 中，
∠ADF=∠DFC,∠DAC=∠ACF,AE=EC,
∴△ADE≌△CFE，
∴AD=FC，
又 ∵AD∥BC，
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形．
（2） ∵∠B=90∘，AE=EC，
∴BE=AE=EC，
又 ∵AF 垂直平分 BE，
∴AB=AE=BE，
∴∠BAC=60∘，
∵AB=AE，AF 垂直平分 BE，
∴∠BAF=∠CAF=30∘，
∵∠B=90∘，∠BAC=60∘，
∴∠ACF=30∘，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF，
又 ∵ 四边形 AFCD 是平行四边形，
∴ 四边形 AFCD 是菱形．
24. （1） 由题意得：点 A−2k,0，点 B0,2，
∵△AOB 的面积为 4，
∴12⋅−2k⋅2=4，解得 k=±12，
∵ 函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小，
∴k=−12，
∴ 所求直线表达式为 y=−12x+2，
画图如下：
（2） 如图所示，过 C 作 DE∥x轴，过 A 作 AE∥y轴，
∵∠BCA=90∘，
∴∠ECA+∠DCB=90∘，
同理：∠DBC+∠DCB=90∘，
∴∠DBC=∠ECA，
∵∠BDC=∠E=90∘，CB=CA，
∴△BCD≌△CAE，
DC=EA，DB=EC，
设 DB=EC=t，那么 DC=EA=OD=t+2，
∴DE=DC+CE=t+2+t，
又 ∵DE=OA，
∴t+2+t=4，解得 t=1，
∴DC=3，OD=3，
∴ 点 C 的坐标为 3,3．
25. （1） 过 N 作 NG⊥AD，垂足为 G．
∵ 正方形 ABCD，
∴∠BAD=∠D=90∘，AD∥BC，AB=AD．
∴∠BAD=∠NGD=90∘=∠D．
∵AD∥BC，NG⊥AD，∠BAD=90∘，
∴AB=GN=AD．
∵∠NGD=90∘，
∴∠GNM+∠GMN=90∘．
同理：∠DAA1+∠GMN=90∘．
∴∠GNM=∠DAA1．
在 ∠ADA1 和 ∠NGM 中，
∠GNM=∠DAA,GN=AD,∠NGD=∠D,
∴△ADA1≌△NGM．
∴AA1=MN．
（2） ∵ 正方形 ABCD 的边长为 4，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠D=90∘．
∴MA2=MD2+DA2，
∵MN 垂直平分 AA1，
∴AM=MA1．
设 MA=a，A1D=x，
那么 MD=4−a．
∴AM=a=x2+168．
∵△ADA1≌△NGM，
∴GM=DA1．
∴BN=x2+168−x．
∴y=12×x2+168+x2+168−x×4=x2−4x+162．
∴ 所求函数解析式为 y=x2−4x+162．
自变量 x 的取值范围是（0