2020-2021学年天津市南开区七下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市南开区七下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列命题中的真命题是
A. 在所有连接两点的线中直线最短
B. 经过两点有且只有一条直线
C. 内错角互补则两直线平行
D. 空间中，如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直

2. 下列调查中，适合普查的是
A. 一批手机电池的使用寿命B. 中国公民保护环境的意识
C. 你所在学校的男女同学的人数D. 了解全国人民对建设高铁的意见

3. 已知 a＜b，则下列不等式变形不正确的是
A. 4a<4bB. −2a+4<−2b+4
C. −4a>−4bD. 3a−4<3b−4

4. 如图，在下列图形中，最具有稳定性的是
A. B.
C. D.

5. 16 的算术平方根是
A. ±4B. 4C. ±2D. 2

6. 不等式 a+1x>a+1 的解集是 x<1，则 a 必满足
A. a<0B. a>−1C. a<−1D. a≤1

7. 如图所示，点 E 在 AC 的延长线上，下列条件中能判断 AB∥CD
A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4
C. ∠D=∠DCED. ∠D+∠ACD=180∘

8. 若一个三角形三个内角度数的比为 2:5:8，那么这个三角形是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形

9. 长度分别为 3 cm，5 cm，7 cm，9 cm 的四根木棒，能搭成（首尾连接）三角形的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是
A. 180∘B. 270∘C. 360∘D. 540∘

11. 已知点 Aa,b 位于第二象限，并且 b≤3a+7，a，b 均为整数，则满足条件的点 A 个数有
A. 4 个B. 5 个C. 6 个D. 7 个

12. 按如图所示的运算程序，输出 y 的值为 11 的是
A. x=−3B. x=0C. x=5D. x=−1

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算：−3a32= ．

14. 若直角三角形的一个锐角为 15∘，则另一个锐角等于 ．

15. 一个长方形花园，长为 a，宽为 b，中间有两条互相垂直的宽为 c 的路，则可种花的面积为 ．

16. 如图，△ABC 中，点 E 是 BC 上的一点，CE=2BE，点 D 是 AC 中点，若 S△ABC=12，则 S△ADF−S△BEF= ．

17. 已知 5a=2b=10，那么 aba+b 的值为 ．

18. 将一副三角板中的两个直角顶点 C 叠放在一起，其中 ∠A=30∘，∠B=60∘，∠D=∠E=45∘．若按住三角板 ABC 不动，绕顶点 C 转动三角板 DCE，在旋转过程中始终要求点 E 在直线 BC 上方，当三角板 DCE 运动中，有一边和 AB 平行时，则 ∠BCE 的度数为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
19. 学习强国推出了“青年大学习”专题学习，让广大青少年通过丰富多彩的学习形式，形成大格局、富有大智慧．某校为了解学生对此次专题学习的关注程度，抽取了部分学生做问卷调查，用“A”表示“非常了解”，“B”表示“了解”，“C”表示“有所了解”，“D”表示“不了解”，如图甲、乙是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）设本次问卷调查抽取了 n 名学生，请直接写出 n 的值；
（2）将图甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）如果该校有学生 1000 人，请你估计该校学生对此次专题学习关注程度“不了解”的约有多少人?

20. 解不等式组：x−1≤3x+1, ⋯⋯①x3请结合题意填空，完成本题的解答，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示．
所以不等式得解集为 ．

21. 若 an+1⋅am+n=a6，且 m−2n=1，求 mn 的值．

22. 已知如图，在 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，AE 是 BC 边上的高，∠ABC=30∘，∠ACB=70∘．
（1）求 ∠DAE 的度数．
（2）如图二，若点 F 为 AD 延长线上一点，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求 ∠AFG 的度数．

23. 为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共 310 人参加一次大型公益活动，租用 4 辆大客车和 6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多 15 个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了 40 人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆?

24. 已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为 O，点 A 在射线 OQ 上运动，点 B 在射线 OM 上运动，点 A，B 均不与点 O 重合．
（1）如图 1，AI 平分 ∠BAO，BI 平分 ∠ABO，则 ∠AIB= ．
（2）如图 2，AI 平分 ∠BAO 交 OB 于点 I，BC 平分 ∠ABM，BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点 D．
①若 ∠BAO=30∘，则 ∠ADB= ∘．
②在点 A，B 的运动过程中，∠ADB 的大小是否会发生变化?若不变，求出 ∠ADB 的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图 3，已知点 E 在 BA 的延长线上，∠BAO 的平分线 AI，∠OAE 的平分线 AF 与 ∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点 D，F．在 △ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的 3 倍，请直接写出 ∠ABO 的度数．
答案
第一部分
1. B【解析】A，在所有连接两点的线中，线段最短，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B，经过两点有且只有一条直线，正确，是真命题，符合题意；
C，内错角相等，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D，空间中，如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
2. C【解析】A．一批手机电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B．中国公民保护环境的意识，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C．你所在学校的男女同学的人数，适合普查，故本选项符合题意；
D．了解全国人民对建设高铁的意见，调查范围广，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
3. B【解析】A、由 aB、由 a−2b，继而得 −2a+4>−2b+4，此选项错误；
C、由 a−4b，此选项正确；
D、由 a4. D【解析】根据三角形具有稳定性，可得最具有稳定性的是D．
故选：D．
5. D
【解析】∵16=4，
∴4 的算术平方根是 2，
∴16 的算术平方根是 2．
6. C【解析】∵ 不等式 a+1x>a+1 的解集是 x<1，
∴a+1<0，
解得：a<−1．
7. A【解析】A、根据内错角相等，两直线平行可得 AB∥CD，故此选项正确；
B、根据内错角相等，两直线平行可得 BD∥AC，故此选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行可得 BD∥AC，故此选项错误；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可得 BD∥AC，故此选项错误；
故选：A．
8. C【解析】设其三个内角分别是 2k∘，8k∘，5k∘．
根据三角形的内角和定理，得：
2k+8k+5k=180，
解得：k=12，
所以 8k∘=96∘，
所以这个三角形是钝角三角形，
故选：C．
9. C【解析】根据三角形的三边关系，得 3，5，7；3，7，9；5，7，9 都能组成三角形．
故有 3 个．
10. B
【解析】剪去一个角，若边数减少 1，则内角和 =3−2×180∘=180∘，
若边数不变，则内角和 =4−2×180∘=360∘，
若边数增加 1，则内角和 =5−2×180∘=540∘，
所以，所得多边形内角和的度数可能是 180∘，360∘，540∘，不可能是 270∘．
11. B【解析】由点 Aa,b 在第二象限，得 a<0，b>0，
又因为 b≤3a+7，a，b 均为整数，
所以 a=−2,b=1 或 a=−1,b=4 或 a=−1,b=3 或 a=−1,b=2 或 a=−1,b=1,
所以满足条件的点 A 个数有 5 个．
12. D【解析】A，x=−3 时，y=4，不符合题意；
B，x=0 时，y=20，不符合题意；
C，x=5 时，y=20，不符合题意；
D，x=−1，y=11，符合题意．
第二部分
13. 9a6
【解析】原式=−32a3×2=9a6 .
14. 75∘
【解析】∵ 直角三角形的一个锐角为 15∘，
∴ 另一个锐角 =90∘−15∘=75∘．
15. ab−ac−bc+c2
【解析】将路平移到花园两边，所得种花的两边的长度分别为：a−c，b−c．
所以种花的面积为：a−cb−c=ab−ac−bc+c2．
故答案为：ab−ac−bc+c2．
16. 2
【解析】∵ 点 D 是 AC 的中点，
∴AD=12AC，
∵S△ABC=12，
∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6，
∵EC=2BE，S△ABC=12，
∴S△ABE=13S△ABC=13×12=4，
∵S△ABD−S△ABE=S△ADF+S△ABF−S△ABF+S△BEF=S△ADF−S△BEF，
即 S△ADF−S△BEF=S△ABD−S△ABE=6−4=2．
17. 1
【解析】因为 5a=2b=10，
所以 5ab=10b，2ba=10a，
因为 5ab=10b，2ab=10a，
所以 5ab×2ab=10b×10a，
所以 10ab=10a+b，
所以 ab=a+b，
所以 原式=1．
18. 30∘ 或 120∘ 或 165∘
【解析】分三种情况：
①如图 1，CD∥AB 时，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD=30∘，
∵∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠BCE=∠ACD=30∘；
②如图 2，CE∥AB 时，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=30∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘+30∘=120∘；
③ DE∥AB 时，如图 3，
当 DE∥AB 时，延长 BC 交 DE 于 M，
∴∠B=∠DMC=60∘，
∵∠DMC+∠EMC=180∘，∠EMC+∠E+∠MCE=180∘，
∴∠DMC=∠E+∠MCE，
∴∠ECM=15∘，
∴∠BCE=165∘．
故答案为 30∘ 或 120∘ 或 165∘．
第三部分
19. （1） 200；
【解析】由统计图可得，
n=40÷20%=200，
即 n 的值是 200；
（2） B等级的人数为：200×50%=100，
补全的条形统计图如图所示；
（3） 1000×1−50%−25%−20%=50（人），
即估计该校学生对此次专题学习关注程度“不了解”的约有 50 人．
20. x≥−1；x<3；−1≤x<3
【解析】解不等式①，得 x≥−1，
解不等式②，得 x<3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示，
所以不等式的解集为 −1≤x<3．
21. 由题意得，an+1⋅am+n=am+2n+1=a6，
则 m+2n=5，
因为 m+2n=5,m−2n=1,
所以 m=3,n=1,
故 mn=3．
22. （1） 在 △ABC 中，
∵∠ABC=30∘，∠ACB=70∘，
∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−30∘−70∘=80∘，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80∘=40∘，
在 △ABD 中，
∠ADC=∠BAD+∠ABD=40∘+30∘=70∘，
∵AE 为三角形的高，
∴∠AED=90∘，
在 △AED 中，
∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=180∘−70∘−90∘=20∘．
（2） ∵FG⊥BC，
∴∠FGD=90∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠FGD=∠AED，
∴FG∥AE，
∴∠AFG=∠DAE，
由（1）可知 ∠DAE=20∘，
∴∠AFG=20∘．
23. （1） 设每辆小客车的座位数是 x 个，每辆大客车的座位数是 y 个，
根据题意可得：
y−x=15,4y+6x=310,
解得：
x=25,y=40.
答：每辆大客车的座位数是 40 个，每辆小客车的座位数是 25 个．
（2） 设租用 a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，
则
25a+4010−a≥310+40.
解得：
a≤313.
符合条件的 a 最大整数为 3．
答：最多租用小客车 3 辆．
24. （1） 135∘
【解析】∵AI 平分 ∠BAO，BI 平分 ∠ABO，
∴∠OBI=∠ABI=12∠OBA，∠OAI=∠BAI=12∠OAB，
∴∠BIC=180∘−∠IBA−∠IAB=180∘−12∠OBA−12∠OAB=180∘−12∠OBA+∠OAB=180∘−12180∘−∠BOA=180∘−90∘+12∠BOA=90∘+α,
∵ 直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为 O，
∴∠BOA=90∘，
∴∠AIB=90∘+12×90∘=135∘．
（2） ① 45；
②不变．∠ADB=45∘．
设 ∠BAO=α，
∵AI 平分 ∠BAO 交 OB 于点 I，BC 平分 ∠ABM，
∴∠BAI=12∠OBA=12α，∠MBA=90∘+α，
∠CBA=12∠MBA=1290∘+α=45∘+12α，
∴∠ADB=∠CBA−∠BAD=45∘+12α−12α=45∘，
∴ 不变，∠ADB=45∘．
【解析】① ∵ 直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为 O，
∴∠BOA=90∘，
∵∠BAO=30∘，
∴∠ABM=120∘，
∵AI 平分 ∠BAO 交 OB 于点 I，BC 平分 ∠ABM，
∴∠CBA=12∠ABM=12×120∘=60∘，∠BAD=12∠BAO=12×30∘=15∘，
∴∠ADB=∠CBA−∠BAD=60∘−15∘=45∘．
故答案为：45．
（3） 60∘ 或 50∘．
【解析】∵∠BAO 的平分线 AI，∠OAE 的平分线 AF，
∴∠DAF=90∘，
∵ 一个角是另一角的 3 倍，
∴ 分两种倩况讨论：
①当 ∠DAF=3∠ADF 时，∠ADF=30∘，
∵OF 为 ∠BOP 的平分线，
∴∠DOA=135∘，
∴∠OAI=15∘，
∴∠OAB=30∘，
∴∠OBA=90∘−30∘=60∘；
②当 ∠AFD=3∠ADF 时，∠ADF=25∘，
∵OF 为 ∠BOP 的平分线，
∴∠DOA=135∘，
∴∠OAI=20∘，
∴∠OAB=40∘，
∴∠OBA=90∘−40∘=50∘．
∴∠OBA 等于 60∘ 或 50∘．