2020-2021学年北京市丰台区九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市丰台区九下期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 长方体

2. 2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥 5 号返回器携带月球样本成功着陆．已知地球到月球的平均距离约为 380000 千米．将 380000 用科学记数法表示为
A. 3.8×105B. 3.8×106C. 38×104D. 0.38×106

3. 下列交通标志中，是中心对称图形的是
A.
禁止驶入
B.
靠左侧道路行驶
C.
向左和向右转弯
D.
环岛行驶

4. 若 a>b，则下列不等式一定成立的是
A. a+3
5. 下列计算正确的是
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. 2a3=6a3D. a23=a6

6. 如图，l1∥l2，点 O 在直线 l1 上，将三角板的直角顶点放在点 O 处，三角板的两条直角边与 l2 交于 A，B 两点，若 ∠1=35∘，则 ∠2 的度数为
A. 35∘B. 45∘C. 55∘D. 65∘

7. 学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加 100 米短跑项目的比赛，预赛分 A，B，C 三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 19

8. 某公司新产品上市 30 天全部售完．图 1 表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图 2 表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是
A. 第 30 天该产品的市场日销售量最大
B. 第 20 天至 30 天该产品的单件产品的销售利润最大
C. 第 20 天该产品的日销售总利润最大
D. 第 20 天至 30 天该产品的日销售总利润逐日增多

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若二次根式 x+1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 已知多边形的内角和为 540∘，则该多边形的边数为 ．

11. 写出一个比 2 大且比 3 小的无理数 ．

12. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，半径是 2，∠BAC=60∘，则 BC 的长是 ．

13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则 △ABC 与 △DBC 面积的大小关系为：S△ABC S△DBC（填“>”，“=”或“<”）．

14. 随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型 5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产 30 万件产品，现在生产 500 万件产品所需的时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产 x 万件，依据题意列出关于 x 的方程 ．

15. 已知抛物线 y=x2−m+1x 与 x 轴的一个交点的横坐标大于 1 且小于 2，则 m 的取值范围是 ．

16. 某单位有 10000 名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验 10000 次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按 5 人一组分组，然后将各组 5 个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这 5 个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占 0.05%．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 （填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这 10000 名职工中该种病毒的携带者．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：8+13−1−20210−2cs45∘．

18. 解不等式组：2x+3≤x+6,2x+53>x−1.

19. 如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．

20. 已知 x=2y，求代数式 1y−1x÷x2−2xy+y2x2y 的值．

21. 下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P（如图 1），
求作：⊙P，使它与直线 l 相切．
作法：如图 2，
①在直线 l 上任取两点 A，B；
②分别以点 A，点 B 为圆心，AP，BP 的长为半径画弧，两弧交于点 Q；
③作直线 PQ，交直线 l 于点 C；
④以点 P 为圆心，PC 的长为半径画 ⊙P，
所以 ⊙P 即为所求．
根据小融设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 AP，AQ，BP，BQ，
∵AP= ，BP= ，
∴ 点 A，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上，
∴ 直线 AB 是线段 PQ 的垂直平分线，
∵PQ⊥l，PC 是 ⊙P 的半径，
∴⊙P 与直线 l 相切（ ）（填推理的依据）．

22. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AD 是 BC 边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）连接 BE，若 ∠ABC=30∘，AC=2，求 BE 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+bk≠0 与反比例函数 y=mxm≠0 的图象交于点 A−1,n，B2,−1 两点．
（1）求 m，n 的值；
（2）已知点 Pa,0a>0，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交直线 y=kx+bk≠0 和反比例函数 y=mxm≠0 的图象于点 M，N，若线段 MN 的长随 a 的增大而增大，直接写出 a 的取值范围．

24. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，过点 A 作 ⊙O 的切线交直线 OD 于点 P，连接 PC．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）若 BC=4，tan∠APO=12，求 PA 的长．

25. 2021 年 7 月 1 日是中国共产党成立 100 周年纪念日，为了让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动．八、九年级各 300 名学生举行了一次党史知识竞赛（百分制），然后随机抽取了八、九年级各 20 名学生的成绩进行了整理与分析，部分信息如下：
a．抽取九年级 20 名学生的成绩如表：
8688979194625194877194789255979294948598b
．抽取九年级 20 名学生的成绩频数分布直方图如图（数据分成 5 组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
c．九年级抽取的 20 名学生成绩的平均数、中位数、方差如表：
年级平均数中位数方差九年级85m192
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，写出表中 m 的值；
（2）若 90 分及以上为优秀，估计此次知识竞赛中九年级成绩优秀的学生人数；
（3）通过分析随机抽取的八年级 20 名学生的成绩发现：这 20 名学生成绩的中位数为 88，方差为 80.4，且八、九两个年级随机抽取的共 40 名学生成绩的平均数是 85.2．
①求八年级这 20 名学生成绩的平均数；
②你认为哪个年级的成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+a−5a≠0 的对称轴是直线 x=1．
（1）用含 a 的式子表示 b；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若抛物线与 y 轴的一个交点为 A0,−4，且当 m≤x≤n 时，y 的取值范围是 −5≤y≤n，结合函数图象，直接写出一个满足条件的 n 的值和对应 m 的取值范围．

27. 已知 ∠MON=90∘，点 A，B 分别在射线 OM，ON 上（不与点 O 重合），且 OA>OB，OP 平分 ∠MON，线段 AB 的垂直平分线分别与 OP，AB，OM 交于点 C，D，E，连接 CB，在射线 ON 上取点 F，使得 OF=OA，连接 CF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：CB=CF；
（3）用等式表示线段 CF 与 AB 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面内点 P 和 ⊙G，给出如下定义：T 是 ⊙G 上任意一点，点 P 绕点 T 旋转 180∘ 后得到点 Pʹ，则称点 Pʹ 为点 P 关于 ⊙G 的旋转点．如图为点 P 及其关于 ⊙G 的旋转点 Pʹ 的示意图．
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1，点 P0,−2．
（1）在点 A−1,0，B0,4，C2,2 中，是点 P 关于 ⊙O 的旋转点的是 ；
（2）若在直线 y=x+b 上存在点 P 关于 ⊙O 的旋转点，求 b 的取值范围；
（3）若点 D 在 ⊙O 上，⊙D 的半径为 1，点 P 关于 ⊙D 的旋转点为点 Pʹ，请直接写出点 Pʹ 的横坐标 xPʹ 的取值范围．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，
∴ 该几何体是长方体，
故选：D．
2. A【解析】380000=3.8×105．
故选：A．
3. A
4. B【解析】A、 ∵a>b，
∴a+3>b+3，本选项不等式不成立，不符合题意；
B、 ∵a>b，
∴−2a<−2b，本选项不等式成立，符合题意；
C、 ∵a>b，
∴a4>b4，本选项不等式不成立，不符合题意；
D、当 a>b>0 时，a2>b2，本选项不等式不成立，不符合题意；
故选：B．
5. D
【解析】A、 a2 与 a3 不是同类项，故A不符合题意．
B、 原式=a5，故B不符合题意．
C、 原式=8a3，故C不符合题意．
D、 原式=a6，故D符合题意．
故选：D．
6. C【解析】如图，
∵∠1=35∘，∠AOB=90∘，
∴∠COB=180∘−∠1−∠AOB=55∘，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠COB=55∘．
7. B【解析】如图，
总共有 9 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，
其中，小亮和小刚在同一个组的结果有 3 种：A,A，B,B，C,C，
∴ 小亮和小刚恰好在同一个组的概率 =39=13．
故选：B．
8. C【解析】A．从图 1 中可知，第 30 天日销售量为 60 件，日销售量最大，故该选项正确，不符合题意；
B．从图 2 中可知，单件产品的销售利润最大的是第 20 天至 30 天，单件销售利润为 30 元，故该选项正确，不符合题意；
C．应该是第 30 天，因为第 30 天的单件销售利润最大，日销售量最大，故该选项错误，符合题意；
D．第 20 天至 30 天，单件销售利润都是 30 元，日销售量在增大，所以销售总利润逐日增多，故该选项正确，不符合题意．
故选：C．
第二部分
9. x≥−1
【解析】若二次根式 x+1 在实数范围内有意义，
则 x+1≥0，
解得 x≥−1．
10. 5
【解析】设所求多边形边数为 n，
则 n−2⋅180∘=540∘，
解得 n=5．
11. 5
12. 43π
【解析】如图，连接 OC 和 OB，
由圆周角定理得 ∠BOC=2∠BAC=120∘，
∴ 弧 BC 的长为：120∘360∘×2π×2=43π．
13. >
【解析】设每个小网格边长为 1，
则 S△ABC=12×3×2=3，
S△DBC=2×3−12×1×2−12×1×2−12×1×3=52，
∵3>52，
∴S△ABC>S△DBC．
14. 50030+x=400x
【解析】设更新技术前每天生产 x 万件，则现在每天生产 30+x 万件，
∵ 现在生产 500 万件产品所需的时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，
∴50030+x=400x．
故答案为：50030+x=400x．
15. 0【解析】令 y=x2−m+1x=0，
解得：x=0，xʹ=m+1，
∴ 抛物线与 x 轴的两个交点为 0,0 和 m+1,0，
∵ 其中一个交点的横坐标大于 1 且小于 2，
∴1故答案为：016. 是，2030
【解析】（1）是，
1000÷5=2000 次 <10000 次，明显减少；
（2）10000×0.06%=6 人，
故有 6 人是携带者，
第一轮：10000÷5=2000 次，
至多化验次数，故而这 6 个人都在不同组，
这样次数最多，
∴ 第二轮有 6 个组需要化验，
6×5=30 次，
2000+30=2030 次，
故至多需要 2030 次化验.
第三部分
17. 原式=22+113−1−2×22=22+3−1−2=2+2.
18.
2x+3≤x+6, ⋯⋯①2x+53>x−1. ⋯⋯②
由①得，
x≤3.
由②得，
x<8.
故不等式组的解集为：
x≤3.
19. ∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠CAB=∠EAD，且 AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADESAS，
∴∠C=∠E．
20. 原式=x−yxy⋅x2yx−y2=xx−y,
当 x=2y 时，
原式=2y2y−y=2.
21. （1） 根据题干作图步骤得：
（2） AQ；QB；切线判定定理
【解析】AP=AQ，BP=QB，AB=AB，
∴△APB≌△AQBSAS，
则 ∠PAB=∠QAB，
∵AP=AQ，∠PAB=∠QAB，AC=AC，
∴△APC≌△AQC，
则 PC=CQ，∠APC=∠ACQ=90∘，
即 AB 是线段 PQ 的垂直平分线，
∵PQ⊥l，PC 是 ⊙P 半径，
∴⊙P 与直线 l 相切（切线判定定理）．
22. （1） ∵AE∥BC，CE∥AD．
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
∵∠BAC=90∘，AD 是斜边 BC 边上的中线．
∴AD=CD．
∴ 四边形 ADCE 是菱形．
（2） 连接 BE，过点 E 作 EF 垂直 BA，垂足为 F，如图：
∵∠ABC=30∘，AC=2．
∴BC=4，AB=BC2−AC2=23．
∵∠BAC=90∘，AD 是斜边 BC 边上的中线．
∴AD=BD=CD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵∠ABC=30∘，
∴∠CDA=60∘．
∴△ADC 的等边三角形．
∵AC=2，
∴AD=AE=2．
∵ 四边形 ADCE 是菱形，
∴∠ECA=∠CAD=60∘．
∴∠EAF=30∘．
∴EF=12AE=1．
∴AF=AE2−EF2=3．
∴BF=33．
∴BE=EF2+BF2=27．
23. （1） 将 B2,−1 代入 y=mx，
得：−1=m2，
解得 m=−2，
∴ 反比例函数为 y=2x，
将 A−1,n 代入 y=2x 得：
n=−2−1=2，
即 A−1,2，
∴m=−2，n=2；
（2） a 的取值范围为 a≥2．
【解析】如图，
当 0当 a=2 时，MN=0，此时 MN 最小，
当 a≥2 时，MN 随 a 的增大而增大，
∴a≥2，
即 a 的取值范围为 a≥2．
24. （1） ∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB+∠ABC=90∘，
∵AP 是 ⊙O 的切线，∠PAB=90∘，
即：∠PAC+∠CAB=90∘，
∴∠PAC=∠ABC，
∵D 是 AC 中点，
∴OD⊥AC，
∴OP 是 AC 的垂直平分线，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCA=∠ABC．
（2） ∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90∘，
∴∠ADO=∠ACB，
∴OD∥BC，
∵D 是 AC 中点，O 是 AB 的中点，
∴OD=12BC，
∵BC=4，
∴OD=2，
根据（1）可证 ∠APO=∠DAO，
∵tan∠APO=12，
∴tan∠DAO=12，即：DOAO=12，
∴AD=4，
∴AO=AD2+DO2=25，
∵∠APO=∠DAO，∠PAO=∠ADO，
∴△PAO∽△ADO，
∴PAAD=AODO，即：PA4=252，
∴PA=45．
25. （1） 补全频数分布直方图如上图所示：
m 为九年级抽取的 20 名学生成绩的中位数，将成绩从小到大排列：51，55，62，71，78，85，86，87，88，91，92，92，94，94，94，94，94，97，97，98，中间的两个数为 91，92．
故 m 为 91+92÷2=91.5；
（2） 300×1120=165，
故此次知识竞赛中九年级成绩优秀的学生人数为 165 人．
（3） ①设八年级这 20 名学生成绩的平均数为 x，
由题意可知：九年级抽取的 20 名学生成绩的平均数为：85，
则这 20 名学生的总成绩为：85×20=1700，
则可知：
20x+170040=85.2,
解得
x=85.4.
故八年级这 20 名学生成绩的平均数为 85.4；
②八年级成绩较好；
理由如下：
从平均数上看，八年级平均数为 85.4> 九年级平均数为 85；
从方差上看，八年级成绩的方差较小，成绩相对稳定；
综上所述，八年级成绩较好．
26. （1） ∵−b2a=1，
∴b=−2a．
（2） 由（1）得 b=−2a，
∴ 抛物线为 y=ax2−2ax+a=5，
当 x=1 时，y=a−2a+a−5=−15，
∴ 抛物线的顶点坐标为：1,−5．
（3） ∵ 抛物线与 y 轴交点为 A0,−4，
联立方程得 a−5=−4,b=−2a,
解得：a=1,b=−2.
∴ 抛物线为 y=x2−2x−4．
∵ 当 m≤x≤n 时，y 的取值范围是 −5≤y≤n，
由图象可知，−5 为抛物线底点，
此时 x=1，
由 y=x2−2x−4,y=x,
得 x=4，x=−1，
∴n=4 或 n=−1舍去∵m≤n，
∴ 当 n=4 时，m≤n，m≤1．
27. （1） 如图即为补全的图形；
（2） 连接 CA，
∵OP 是 ∠MON 的平分线，
∴∠AOC=∠FOC，
在 △AOC 和 △FOC 中，
OA=OF,∠AOC=∠FOC,OC=OC.
∴△AOC≌△FOCSAS，
∴CA=CF，
∵CD 是线段 AB 的垂直平分线，
∴CA=CB，
∴CB=CF；
（3） AB=2CF，
证明：∵△AOC≌△FOC，
∴∠CAO=∠CFB，
∵CF=CB，
∴∠CBF=∠CFB，
∴∠CAO=∠CBF，
∵∠CBF+∠CBO=180∘，
∴∠CAO+∠CBO=180∘，
∴∠AOB+∠ACB=180∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠ACB=90∘，
∵CA=CB，
∴△ABC 是等腰直角三角形 ，
∴AB=2CB，
∴AB=2CF．
28. （1） B，C
【解析】连接 AP，BP，CP，分别取 AP，BP，CP 的中点为 D，E，F，如图：
∵P0,−2，A−1,0，B0,4，C2,2，
∴D−12,1，E0,1，F1,0，
∴OD=52，OE=1，OF=1，
∴D 不在 ⊙O 上，而 E，F 在 ⊙O 上，
∵D，E，F 分别是 AP，BP，CP 的中点，
∴ 点 P 绕点 D 旋转 180∘ 后得到点 A，点 P 绕点 E 旋转 180∘ 后得到点 B，点 P 绕点 F 旋转 180∘ 后得到点 C，
根据旋转点的定义，P 关于 ⊙O 的旋转点为 B，C；
故答案为：B，C．
（2） 设直线 y=x+b 上点 M 是 P 关于 ⊙O 的旋转点，连接 PM，作 PM 中点 N，如图：
设 Mx,x+b，则 Nx2,x+b−22，
根据旋转点定义，N 在 ⊙O 上，即 ON=1，
∴x22+x+b−222=1，
∴x24+x+b−224=1，方程变形为：2x2+2b−2x+b2−4b=0，
∵ 在直线 y=x+b 上存在点 P 关于 ⊙O 的旋转点，
∴2x2+2b−2x+b2−4b=0 总有实数解，
∴Δ≥0，即 4b−22−8b2−4b≥0，
解得 2−22≤b≤2+22．
（3） −4≤xP≤4．
【解析】当 D 运动到 −1,0 时，xP 有最小值，连接 PPʹ，作 PPʹ 中点 H，如图：
设 Hm,n，则 Hm2,n−22，
根据旋转点定义，HD=1，
∴m2+12+n−222=1，
∴m24+m+1+n24−n+1=1，变形为 n2−4n+m2+4m+4=0，
∵Pʹ 是 P 关于 ⊙O 的旋转点，
∴ 关于 n 的方程 n2−4n+m2+4m+4=0 有实数解，
∴Δ≥0，即 −42−4m2+4m+4≥0，
解得 −4≤m≤0，即 −4≤xP≤0，
当 D 运动到 1,0 时，xP 有最大值，如图：
同理可得 0≤xP≤4，
综上所述，点 P 关于 ⊙D 的旋转点为点 Pʹ，则点 Pʹ 的横坐标 xPʹ 的取值范围是 −4≤xP≤4．