2020-2021学年北京市门头沟区八上期末数学试卷
展开这是一份2020-2021学年北京市门头沟区八上期末数学试卷,共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(共8小题;共40分)
1. 9 的平方根是
A. ±3B. 3C. ±3D. 3
2. 如图,在 △ABC 中,AC 边上的高线是
A. 线段 DAB. 线段 BAC. 线段 BCD. 线段 BD
3. 如果二次根式 x+3 在实数范围内有意义,那么 x 的取值范围是
A. x≠3B. x≤−3C. x≥−3D. x>−3
4. 下列事件中,属于不确定事件的是
A. 科学实验,前 10 次实验都失败了,第 11 次实验会成功
B. 投掷一枚骰子,朝上面出现的点数是 7 点
C. 太阳从西边升起来了
D. 用长度分别是 3 cm,4 cm,5 cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形
5. 下列垃圾分类的标志中,是轴对称图形的是
A. B.
C. D.
6. 同学们用小木棍摆三角形,木棍的长度有 10 cm,15 cm,20 cm 和 25 cm 四种,小明已经取了 10 cm 和 15 cm 两根木棍,那么第三根木棍不可能取
A. 10 cmB. 15 cmC. 20 cmD. 25 cm
7. 下列命题的逆命题是假命题的是
A. 直角三角形两锐角互余
B. 全等三角形对应角相等
C. 两直线平行,同位角相等
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
8. 如图,在正方形网格内,A,B 两点都在小方格的顶点上,如果点 C 也是图中小方格的顶点,且 △ABC 是等腰三角形,那么点 C 的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题(共8小题;共40分)
9. 3 的倒数是 .
10. 如果分式 x−3x+1 的值为 0,那么 x= .
11. 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于 2 的可能性为 .
12. 写出一个大于 3 的无理数: .
13. 对于任意两个实数 a,b,定义运算“☆”为:\(a\mathbin{☆}b=\sqrt{a+b}\),如 \(3 \mathbin{☆} 2=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}\),根据定义可得 \(4 \mathbin{☆} 8=\) .
14. 如图,三角形纸片 ABC 中,∠ACB=90∘,BC=6,AB=10,在 AC 边上取一点 E,以 BE 为折痕,使 AB 的一部分与 BC 重合,A 与 BC 延长线上的点 D 重合,则 CE 的长为 .
15. 学习了等腰三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“如果一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5,求它的周长”.同学们经过片刻思考后,小芳举手回答讲“它的周长是 9 或 12”,你认为小芳的回答是否正确: ,你的理由是 .
16. 下图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理:
其中,图中(①)“通分”的依据是 ,图中(②)“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是 .
三、解答题(共12小题;共156分)
17. 计算:
(1)8−2.
(2)38+∣3−2∣.
18. 计算:
(1)1a−1b;
(2)2y3x2⋅x36y3.
19. 解方程:3x−1=2−2xx+1.
20. 已知:x2+3x=1,求代数式 1x−1⋅x2−2x+1x+2−x−2x+1 的值.
21. 阅读材料,并回答问题:
小亮在学习分式运算过程中,计算 6a2−9+1a+3 解答过程如下:
解:
6a2−9+1a+3=6a+3a−3+1a+3 ⋯⋯①=6a+3a−3+a−3a+3a−3 ⋯⋯②=6+a−3 ⋯⋯③=a+3. ⋯⋯④
问题:
(1)上述计算过程中,从 步开始出现错误(填序号).
(2)发生错误的原因是: .
(3)在下面的空白处,写出正确解答过程:
22. 已知:如图,AB=AD.请添加一个条件 ,使得 △ABC≌△ADC,然后再加以证明.
23. 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程.
已知:如图 1,直线 l 及直线 l 外一点 P.
求作:直线 l 的垂线,使它经过点 P.
作法:如图 2.
①以 P 为圆心,大于 P 到直线 l 的距离为半径作弧,交直线 l 于 A,B 两点;
② 连接 PA 和 PB;
③作 ∠APB 的平分线 PQ,交直线 l 于点 Q.
④作直线 PQ.
∴ 直线 PQ 就是所求的直线.
根据小芳设计的尺规作图过程,解答下列问题:
(1)使用直尺和圆规,补全图 2(保留做题痕迹).
(2)补全下面证明过程:
证明:∵PQ 平分 ∠APB,
∴∠APQ=∠OPB.
又 ∵PA= ,PQ=PQ,
∴△APQ≌△BPQ( )(填推理依据).
∴∠PQA=∠PQB( )(填推理依据).
又 ∵∠PQA+∠PQB=180∘,
∴∠PQA=∠PQB=90∘.
∴PQ⊥l.
24. 如图,△ABC 中,AB=42,∠ABC=45∘,D 是 BC 边上一点,且 AD=AC,若 BD−DC=1,求 DC 的长.
25. 列方程解应用题:
小华自驾私家车从A地到B地,驾驶原来的燃油汽车所需油费 108 元,驾驶新购买的纯电动车所需电费 27 元,如果每行驶 1 千米,原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多 0.54 元,求新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费.
26. 如果实数 a,b 满足 a−b=ab 的形式,那么 a 和 b 就是“智慧数”,用 a,b 表示.如:由于 2−23=2×23,所以 2,23 是“智慧数”.
(1)下列是“智慧数”的是 (填序号).
① −1.2 和 6,② 92 和 −3,③ −12 和 −1.
(2)如果 3,★ 是“智慧数”,那么“★”的值为 .
(3)如果 x,y 是“智慧数”.
① y 与 x 之间的关系式为 y= .
②当 x>0 时,y 的取值范围是 .
③在②的条件下,y 随 x 的增大而 (填“增大“,“减小”或“不变”).
27. 阅读材料:小明遇到这样一个问题:如图 1,在 △ABC 中,∠A=2∠B,CD 平分 ∠ACB,AD=2.2,AC=3.6,求 BC 的长.
小明的想法:因为 CD 平分 ∠ACB,所以可利用“翻折”来解决该问题.即在 BC 边上取点 E,使 EC=AC,并连接 DE(如图 2).
(1)如图 2,根据小明的想法,回答下面问题:
① △DEC 和 △DAC 的关系是 ,判断的依据是 .
② △BDE 是 三角形.
③ BC 的长为 .
(2)参考小明的想法,解决下面问题:已知:如图 3,在 △ABC 中,AB=AC,∠A=20∘,BD 平分 ∠ABC,BD=2.3,BC=2,求 AD 的长.
28. 已知:线段 AB 及过点 A 的直线 l.如果线段 AC 与线段 AB 关于直线 l 对称,连接 BC 交直线 l 于点 D,以 AC 为边作等边 △ACE,使得点 E 在 AC 的下方,作射线 BE 交直线 l 于点 F,连接 CF.
(1)根据题意将图 1 补全.
(2)如图 1,如果 ∠BAD=α30∘① ∠BAE= ,∠ABE= (用含有 α 代数式表示).
②用等式表示线段 FA,FE 与 FC 的数量关系,并证明.
(3)如图 2,如果 60∘<α<90∘,直接写出线段 EA,FE 与 FC 的数量关系,不证明.
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C【解析】x+3 有意义,
∴x+3≥0,
∴x≥−3.
4. A【解析】A选项:科学实验,前 10 次实验都失败了,第 11 次实验会成功,属于不确定事件,符合题意,故A正确;
B选项:投掷一枚骰子,朝上面出现的点数是 7 点,是不可能事件,属于确定事件,不符合题意,故B错误;
C选项:太阳从西边升起来了,是不可能事件,属于确定事件,不符合题意,故C错误;
D选项:用长度分别是 3 cm,4 cm,5 cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形,是必然事件,属于确定事件,不符合题意,故D错误.
5. B
【解析】A选项,不是轴对称图形,所以本选项不符合题意,错误.
B选项,是轴对称图形,所以本选项符合题意,正确.
C选项,不是轴对称图形,所以本选项不符合题意,错误.
D选项,不是轴对称图形,所以本选项不符合题意,错误.
故选B.
6. D【解析】设第三根木棍的长度为 a,
根据三角形三边长的关系,即第三边长 a 大于其它两边长之差,小于其它两边长之和,现要用三根木棍摆出三角形,小明已经取了 10 cm 和 15 cm 的木棍,
所以 15−10则 5在四个选项中,只有D选项的 25 cm 不符合第三边长的取值范围.
7. B【解析】A选项:直角三角形两锐角互余的逆命题为两锐角互余的三角形为直角三角形,是真命题,故A不符合题意;
B选项:全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等,是假命题,故B符合题意;
C选项:两直线平行,同位角相等的逆命题为:同位角相等的两直线平行,是真命题,故C不符合题意;
D选项:角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题为:到角两边的距离相等的点在角平分线上,是真命题,故D不符合题意.
8. C【解析】如下图:
当 AB 为腰时,分别以 A,B 点为顶点,以 AB 为半径作圆,可找出格点 C 的个数有 2 个;
当 AB 为底时,作 AB 的垂直平分线,可找出格点 C 的个数有 1 个,
∴ 点 C 的个数为:2+1=3.
第二部分
9. 33
【解析】13=33.
10. 3
【解析】∵ 分式 x−3x+1 的值为 0,
∴x−3=0,x+1≠0,
解得:x=3.
11. 35
【解析】从 5 个小球中随机摸出一个小球有 5 种情况,
其标号大于 2 的有 3,4,5 三个小球,则有 3 种情况
故标号大于 2 的可能性为 35.
12. 答案不唯一,如:10
【解析】10>3,并且 10 是无理数.
13. 23
【解析】\(\because a \mathbin{☆} b=\sqrt{a+b}\),
\(\therefre 4 \mathbin{☆} 8=\sqrt{4+8} =\sqrt{12} =2\sqrt{3}\).
14. 3
【解析】△ABC 中,∠ACB=90∘,BC=6,AB=10,
∴ AC=AB2−BC2=102−62=8,
根据折叠性质可知,BD=BA=10,EA=ED,
设 CE=x,
则 EA=ED=8−x,
∵ CD=BD−BC=10−6=4,∠DCE=180∘−∠ACB=90∘,
∴ 在 Rt△CDE 中,CD2+CE2=DE2,
∴ 42+x2=8−x2,
解得 x=3,
∴ CE=3.
15. 不正确,2+2<5,2,2,5 不构成三角形
【解析】当腰为 5 时,周长 =5+5+2=12,
当腰长为 2 时,因为 2+2<5,
根据三角形三边关系可知此情况不成立;
根据三角形三边关系可知:等腰三角形的腰长只能为 5,这个三角形的周长是 12.
16. 分式的基本性质,等式的基本性质
【解析】异分母分式通过通分,可以转化为同分母分式,依据为:分式的基本性质;分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于 0 的整式,分式的值不变;
分式方程通过去分母,可以转化为整式方程,依据为:等式的基本性质.等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式.
第三部分
17. (1) 原式=22−2=2.
(2) 原式=2+2−3=4−3.
18. (1) 原式=bab−aab=b−aab.
(2) 原式=2y⋅x33x2⋅6y3=x9y2.
19. 去分母得:
3x+3=2x2−2−2x2+2x,
解得:
x=−5,
经检验 x=−5 是分式方程的解.
20. 原式=1x−1⋅x−12x+2−x−2x+1=x−1x+2−x−2x+1=x2−1−x2−4x+1x+2=3x2+3x+2.
21. (1) ③
(2) 分母除以 a+3a−3,分子没有除以 a+3a−3 或者计算过程丢掉了分母
(3) 原式=6a+3a−3+1a+3=6a+3a−3+a−3a+3a−3=6+a−3a+3a−3=1a−3.
22. BC=DC 或 ∠BAC=∠DAC
添加 BC=DC,
在 △ABC 和 △ADC 中,
AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADCSSS.
添加 ∠BAC=∠DAC,
在 △ABC 和 △ADC 中,
AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADCSAS.
23. (1)
(2) PB;边角边;全等三角形对应角相等.
24. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,如图所示.
∵AD=AC,AE⊥BC,
∴∠AEB=90∘,DE=CE.
∵∠ABC=45∘,
∴∠BAE=45∘,
∴AE=BE.
在 Rt△ABE 中,AB=42,
∴AE2+BE2=AB2,即 BE2+BE2=422,
∴BE=4,
∴BD+12DC=4.
又 ∵BD−DC=1,
∴DC+1+12DC=4,
∴DC=2.
25. 设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需的电费为 x 元.
依题意,得
27x=108x+0.54
解得
x=0.18
经检验,x=0.18 是原方程的解,且符合题意,
答:纯电动车行驶一千米所需的电费为 0.18 元.
26. (1) ①③
【解析】① −1.2−6=−7.2=−1.2×6,−1.2,6;
② −3−92=−152≠−3×92=−272;
③ −12−−1=12=−12×−1, −12,−1.
(2) 34
【解析】3−★=3×★,4★=3,★=34.
(3) xx+1(x≠−1);0
② x>0,y=xx+1,x=0 时,y=0,但 x+1>x,
所以 0
27. (1) 全等;SAS;等腰;5.8
【解析】①在 △DAC 和 △DEC 中,在 △ACD 与 △ECD 中,AC=CE,∠ACD=∠ECD,CD=CD,
∴△ACD≌△ECDSAS.
② ∵△ACD≌△ECD,
∴AD=DE,∠A=∠DEC,
∵∠A=2∠B,
∴∠DEC=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴△BDE 是等腰三角形.
③ ∵△DEC≌△DAC,
∴AD=DE,
∵DE=BE,
∴AD=BE,
∵BC=BE+EC,
∵AD=2.2,AC=3.6,
∴BC=5.8.
(2) ∵△ABC 中,AB=AC,∠A=20∘,
∴∠ABC=∠C=80∘,
又 ∵BD 平分 ∠ABC.
∴∠1=∠2=40∘,
∴ 由三角形内角和定理得 ∠BDC=60∘.
在 BA 边上取点 E,使 BE=BC,连接 DE.
又 ∵BD=BD,
∴△DEB≌△DCB.
∴∠BED=∠C=80∘,∠BDC=∠4=60∘,BE=BC=2.
又 ∵∠ADC=180∘,
∴∠3=60∘,
∴∠3=∠4,
在 DA 边上取点 F,使 DF=DB,连接 FE,
又 ∵DE=DE,
∴△BDE≌△FDE,
∴∠5=∠1=40∘,BE=EF=2,BD=DF=2.3.
又 ∵∠5=∠6+∠A,∠A=20∘.
∴∠6=20∘,
∴∠A=∠6,
∴AF=EF=2,
∴AD=BD+BC=4.3.
28. (1) 补全图形如下:
(2) ① 2α−60∘;120∘−α
②数量关系是 FA=FC+FE,证明如下:
在 FA 上截取 FG=EF,连接 EG.
由①得,∠ABE=120∘−α,∠BAD=α,
∴∠AFB=180∘−∠ABE−∠BAD=60∘.
∴△EFG 为等边三角形.
∴EG=FE=FG,∠GEF=60∘,
又 ∵ 等边三角形 AEC,
∴∠AEC=60∘,
∴∠AEC=∠GEF=60∘,
∴∠AEC−∠GEC=∠GEF−∠GEC,
即 ∠AEG=∠CEF
又 ∵ 等边三角形 AEC,
∴AE=EC.
在 △AEG 和 △CEF 中,
AE=CE∠AEG=∠GEFEG=EF,
∴△AEF≌△CEGSAS,
∴AG=FC,
∴FA=AG+FG=FC+FE.
【解析】① 2α−60∘;120∘−α.
∵AB,AC 关于直线 l 对称,
∴∠BAD=∠CAD,AB=AC,
∵△ACE 是等边三角形,
∴∠EAC=60∘,AE=AC=EC,
∵∠BAD=α,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠BAD=2α,
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=2α−60∘.
∵AB=AC,AC=AE,
∴AB=AE,
∴∠ABE=12180∘−∠BAE=120∘−α.
(3) AF=FC−EF
【解析】AF=FC−EF.
∵60∘<α<90∘,
∴ 如图所示,点 E 在直线 l 右侧,
在 FA 上截取 FG=EF,连接 EG,
∵AB,AC 关于直线 l 对称,点 F 在直线 l 上,
∴AF⊥BC,BF=CF,
∴∠ABC=∠ACB=90∘−α,
由(2)可知 ∠ABE=120∘−α,
∴∠FBC=∠FCB=120∘−α−90∘−α=30∘,
∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60∘,
∴△EFG 是等边三角形,
∴∠FEG=60∘,
∵∠AEC=60∘,
∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60∘,
∴∠AEF=∠CEG,
在 △AEF 和 △CEG 中,
EF=EG∠AEF=∠CEGAE=CE,
∴△AEF≌△CEGSAS,
∴AF=CG,
∴AF=CF−EF.
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