2019-2020学年广东省深圳中学九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳中学九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若反比例函数 y=kx 图象经过点 5,−1，该函数图象在
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限

2. 下列四个几何体中，左视图为圆的是
A. B.
C. D.

3. 如图，路灯距离地面 8 米，若身高 1.6 米的小明在距离路灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 的长为
A. 1.25 米B. 5 米C. 6 米D. 4 米

4. 若将抛物线 y=5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的新抛物线的表达式为
A. y=5x−22+1B. y=5x+22+1
C. y=5x−22−1D. y=5x+22−1

5. 布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是 ( )
A. 16B. 29C. 13D. 23

6. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接 OC，若 ∠ACO=30∘，则 ∠BOC 的度数是
A. 30∘B. 45∘C. 55∘D. 60∘

7. 如图，O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 BC=8，OB=5，则 OM 的长为
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 如图，PA 、 PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A 、 B，若 OA=2，∠P=60∘，则 AB 的长为
A. 23πB. πC. 43πD. 53π

9. 若 m 是方程 x2+x−1=0 的根，则 2m2+2m+2018 的值为
A. 2022B. 2020C. 2018D. 2016

10. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax+b 与 y=ax2−bx 的图象可能是
A. B.
C. D.

11. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=−1，且过点 12,0，有下列结论：其中正确的结论是
① abc>0；
② a−2b+4c>0；
③ 2a+b=0；
④ 3b+2c>0．
A. ①③B. ①④C. ①②D. ②④

12. 如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD 于点 E，F，连接 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H．给出下列结论，其中正确结论的个数是
① △BDE∽△DPE；
② FPFH=233；
③ DP2=PH⋅PB；
④ tan∠DBE=2−3．
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 一只不透明的袋子中装有红球和白球共 30 个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是 20%，则袋中有 个红球．

14. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A1.5,0，D4.5,0，△ABC 与 △DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 DE=7.5，则 AB= ．

15. 如图，已知 △ABC 的三个顶点均在格点上，则 csA 的值为 ．

16. 如图，已知直线 l:y=−x+4 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B，双曲线 y=kxk>0,x>0 与直线 l 不相交，E 为双曲线上一动点，过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G，EF⊥y 轴于点 F，分别与直线 l 交于点 C，D，且 ∠COD=45∘，则 k= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：4cs30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cs45∘．

18. 解方程：
（1）3x+22=25．
（2）x2−7x+10=0．

19. 如图，线段 AB，CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为 A，D．从 D 点测到 B 点的仰角 α 为 60∘，从 C 点测得 B 点的仰角 β 为 30∘，甲建筑物的高 AB=30 米．
（1）求甲、乙两建筑物之间的距离 AD．
（2）求乙建筑物的高 CD．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥DC，垂足为 E，连接 BE，F 为 BE 上一点，且 ∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若 AD=5，AB=8，sin∠D=45，求 AF 的长．

21. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%．试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元．
（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；
（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大?最大利润是多少元?

22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC 是 ⊙O 的切线；
（2）求证：BC=12AB；
（3）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=8，求 MN⋅MC 的值．

23. 在平面直角坐标系中，我们定义直线 y=ax−a 为抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线 y=−233x2−433x+23 与其“梦想直线”交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 x 轴负半轴交于点 C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将 △ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N，若 △AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N 的坐标；
（3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A，C，E，F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点 E，F 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过点 5,−1，
∴k=5×−1=−5<0，
∴ 该函数图象在第二、四象限．
2. B【解析】∵ 圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，
∴ 左视图是圆的几何体是球
3. B【解析】如图，
根据题意，易得 △MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 ABOC=AMOA+AM，即 1.68=AM20+AM，
解得 AM=5 m．
则小明的影子 AM 的长为 5 米．
故选：B．
4. A【解析】y=5x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，
得到的新抛物线的表达式为 y=5x−22+1．
5. C
【解析】画树状图如下：
一共有 6 种情况，“一红一黄”的情况有 2 种，
∴P(一红一黄)=26=13．
6. D【解析】∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠BOC=2∠A=2×30∘=60∘．
故选：D．
7. C
8. C【解析】∵PA 、 PB 是 ⊙O 的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90∘，
在四边形 APBO 中，∠P=60∘，
∴∠AOB=120∘，
∵OA=2，
∴AB 的长 l=120π×2180=43π .
9. B【解析】∵m 是方程 x2+x−1=0 的根，
∴m2+m−1=0，
即 m2+m=1，
∴2m2+2m+2018=2m2+m+2018=2×1+2018=2020.
故选：B．
10. C
【解析】A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线 y=ax2−bx 来说，对称轴 x=b2a>0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线 y=ax2−bx 来说，对称轴 x=b2a<0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；
C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线 y=ax2−bx 来说，图象开口向上，对称轴 x=b2a>0，应在 y 轴的右侧，故符合题意；
D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线 y=ax2−bx 来说，图象开口向下，a<0，故不合题意，图形错误；
故选：C．
11. C【解析】由抛物线的对称性，可知抛物线与 x 轴的另一个交点为 −52,0，
①由图象可得，开口向下，则 a<0，
对称轴 x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
抛物线与 y 轴的交点 c>0，
∴abc>0；
② ∵ 抛物线与 x 轴的交点为 12,0，−52,0，
∴ca=−54，
∴c=−54a，
∴a−2b+4c=a−4a−5a=−8a>0；
③ 2a+b=2a+2a=4a<0；
④ 3b+2c=6a−52a=72a<0；
∴ ①②正确．
12. B【解析】∵△BPC 是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60∘，
在正方形 ABCD 中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90∘
∴∠ABE=∠DCF=30∘，
∴∠CPD=∠CDP=75∘，
∴∠PDE=15∘，
∵∠PBD=∠PBC−∠HBC=60∘−45∘=15∘，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30∘，
∴∠PDC=75∘，
∴∠FDP=15∘，
∵∠DBA=45∘，
∴∠PBD=15∘，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60∘，
∴△DFP∽△BPH，
∴PFPH=33，
∴PFFH=33+3=3−12，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30∘，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴PDCD=PHPD，
∴PD2=PH⋅CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH⋅PB，故③正确；
如图，过 P 作 PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形 ABCD 的边长是 4，△BPC 为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60∘，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30∘
∴CM=PN=PB⋅sin60∘=4×32=23，
PM=PC⋅sin30∘=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM=DMPM=4−232=2−3，故④正确．
第二部分
13. 6
【解析】设袋中有 x 个红球．
由题意可得：x30=20%，
解得：x=6．
14. 2.5
【解析】∵A1.5,0，D4.5,0，
∴OAOD=，
∵△ABC 与 △DEF 位似，原点 O 是位似中心，
∴ABDE=OAOD=13
∴AB=13DE=13×7.5=2.5．
15. 255
【解析】连接 BD，
因为 BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，
所以 △ABD 是直角三角形，且 ∠ADB=90∘，
所以 csA=ADAB=810=4510=255．
16. 8
【解析】点 A，B 的坐标分别为 4,0，0,4，
即：OA=OB，
∴∠OAB=45∘=∠COD，∠ODA=∠ODA，
∴△ODA∼△CDO，
∴OD2=CD⋅DA，
设点 Em,n，
则点 D4−n,n，点 Cm,4−m，
则 OD2=4−n2+n2=2n2−8n+16，CD=2m+n−4，DA=2n，
即 2n2−8n+16=2m+n−4×2n，
解得：mn=8=k．
故答案为 8．
第三部分
17. 原式=4×32−3×3+2×22×22=1−3.
18. （1）
3x+22=25.3x+2=5或3x+2=−5.x1=1,x2=−73.
（2）
x2−7x+10=0.x−2x−5=0.x−2=0或x−5=0.x1=2,x2=5.
19. （1） 作 CE⊥AB 于点 E，
在 Rt△ABD 中，AD=ABtanα=303=103（米）；
（2） 在 Rt△BCE 中，CE=AD=103（米），
BE=CE⋅tanβ=103×33=10（米），
则 CD=AE=AB−BE=30−10=20（米）．
答：乙建筑物的高度 DC 为 20 m．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180∘，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180∘，∠AFE=∠D，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC．
（2） ∵AE⊥DC，AD=5，AB=8，sin∠D=45，
∴AE=4，
∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90∘，
在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得：BE=AE2+AB2=42+82=45，
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴AFBC=ABBE，即 AF5=845，解得：AF=25．
21. （1） y=300−10x−44=−10x+740，44≤x≤52．
【解析】由题意得：y=300−10x−44=−10x+740，
每本进价 40 元，且获利不高于 30%，
即最高价为 52 元，即 x≤52，故：44≤x≤52．
（2） w=x−40−10x+740=−10x−572+2890，
当 x<57 时，w 随 x 的增大而增大，
而 44≤x≤52，
∴ 当 x=52 时，w 有最大值，最大值为 2640，
答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润 2640 元．
22. （1） ∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又 ∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又 ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90∘．
∴∠PCB+∠OCB=90∘．
即 OC⊥CP，
∵OC 是 ⊙O 的半径．
∴PC 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又 ∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=12AB．
（3） 连接 MA，MB，
∵ 点 M 是 AB 的中点，
∴AM=BM，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴BMMC=MNBM．
∴BM2=MN⋅MC．
又 ∵AB 是 ⊙O 的直径，AM=BM，
∴∠AMB=90∘，AM=BM．
∵AB=8，
∴BM=42．
∴MN⋅MC=BM2=32．
23. （1） y=−233x+233；−2,23；1,0
【解析】∵ 抛物线 y=−233x2−433x+23，
∴ 其梦想直线的解析式为 y=−233x+233，
联立梦想直线与抛物线解析式可得 y=−233x+233,y=−233x2−433x+23,
解得 x=−2,y=23 或 x=1,y=0,
∴A−2,23，B1,0．
（2） 当点 N 在 y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，
如图 1，过 A 作 AD⊥y 轴于点 D，则 AD=2，
在 y=−233x2−433x+23 中，令 y=0 可求得 x=−3 或 x=1，
∴C−3,0，且 A−2,23，
∴AC=−2+32+232=13，
由翻折的性质可知 AN=AC=13，
在 Rt△AND 中，由勾股定理可得 DN=AN2−AD2=13−4=3，
∵OD=23，
∴ON=23−3 或 ON=23+3，
当 ON=23+3 时，则 MN>OD>CM，与 MN=CM 矛盾，不合题意，
∴N 点坐标为 0,23−3；
当 M 点在 y 轴上时，则 M 与 O 重合，
过 N 作 NP⊥x 轴于点 P，如图 2，
在 Rt△AMD 中，AD=2，OD=23，
∴tan∠DAM=MDAD=3，
∴∠DAM=60∘，
∵AD∥x 轴，
∴∠AMC=∠DAO=60∘，
又由折叠可知 ∠NMA=∠AMC=60∘，
∴∠NMP=60∘，且 MN=CM=3，
∴MP=12MN=32，NP=32MN=332，
∴ 此时 N 点坐标为 32,332；
综上可知 N 点坐标为 0,23−3 或 32,332；
（3） E−1,−433，F0,233 或 E−1,−433，F−4,1033．
【解析】①当 AC 为平行四边形的边时，
如图 3，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AK⊥x 轴于点 K，
则有 AC∥EF 且 AC=EF，
∴∠ACK=∠EFH，
在 △ACK 和 △EFH 中，
∠ACK=∠EFH,∠AKC=∠EHF,AC=EF,
∴△ACK≌△EFHAAS，
∴FH=CK=1，HE=AK=23，
∵ 抛物线对称轴为 x=−1，
∴F 点的横坐标为 0 或 −2，
∵ 点 F 在直线 AB 上，
∴ 当 F 点横坐标为 0 时，则 F0,233，此时点 E 在直线 AB 下方，
∴E 到 x 轴的距离为 EH−OF=23−233=433，即 E 点纵坐标为 −433，
∴E−1,−433；
当 F 点的横坐标为 −2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去；
②当 AC 为平行四边形的对角线时，
∵C−3,0，且 A−2,23，
∴ 线段 AC 的中点坐标为 −2.5,3，
设 E−1,t，Fx,y，则 x−1=2×−2.5，y+t=23，
∴x=−4，y=23−t，
代入直线 AB 解析式可得 23−t=−233×−4+233，解得 t=−433，
∴E−1,−433，F−4,1033．
综上可知，存在满足条件的点 F，此时 E−1,−433，F0,233 或 E−1,−433，F−4,1033．