2019-2020学年广东省深圳市南山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳市南山区八上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列各数中，最小的是
A. 0B. 2C. −2D. −3

2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角直角三角形的是
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 9，14，15D. 12，16，20

3. 在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中， 11 名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前 5 名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这 11 名同学成绩的
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

4. 在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标是 3,4，点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标是
A. 3,4B. −3,4C. 3,−4D. −3,−4

5. 估算 27+2 的值是在
A. 5 和 6 之间B. 6 和 7 之间C. 7 和 8 之间D. 8 和 9 之间

6. 若一次函数 y=k−2x+1 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则
A. k<2B. k>2C. k>0D. k<0

7. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件中，不能判定 a∥b 的是
A. ∠2=∠5B. ∠1=∠3C. ∠5=∠4D. ∠1+∠5=180∘

8. 如图，AB=AC，则数轴上点 C 所表示的数为
A. 5+1B. 5−1C. −5+1D. −5−1

9. 两条直线 y1=ax−b 与 y2=bx−a 在同一坐标系中的图象可能是图中的
A. B.
C. D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A−1，b，则关于x、y的方程组y=x+3y=mx+n的解为
A. x=2y=1B. x=2y=−1C. x=−1y=2D. x=−1y=−2

11. 如图，把 △ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若 ∠A=60∘，∠1=85∘，则 ∠2 的度数为
A. 24∘B. 25∘C. 30∘D. 35∘

12. 如图①，在正方形 ABCD 中，点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1 cm/s 的速度移动，同时点 Q 沿边 AB，BC 从点 A 开始向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，当点 P 移动到点 A 时，P，Q 同时停止移动．设点 P 出发 x 秒时，△PAQ 的面积为 y cm2，y 与 x 的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有
①当点 P 移动到点 A 时，点 Q 移动到点 C；
②正方形边长为 6 cm；
③当 AP=AQ 时，△PAQ 面积达到最大值；
④线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 y=−3x+18．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 81 的平方根是 ．

14. 甲、乙两人各进行 10 次射击比赛，平均成绩均为 9 环，方差分别是：s甲2=2，s乙2=4，则射击成绩较稳定的是 （选填“甲”或“乙”）．

15. 已知 x，y 满足方程组 2x+y=5,x+2y=4, 则 x−y 的值为 ．

16. 如图，放置的 △OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯ 都是边长为 2 的等边三角形，边 AO 在 y 轴上，点 B1，B2，B3⋯ 都在直线 y=33x 上，则点 A2019 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：
（1）12−3+13．
（2）50×328−42．
（3）3−23+2−3−27−π0−−13−1．

18. 解下列方程：
（1）4x−y=30,x−2y=−10.
（2）x3−y4=1,3x−4y=2.

19. 如图，已知点 D，E 分别是 △ABC 的边 BA 和 BC 延长线上的点，作 ∠DAC 的平分线 AF，若 AF∥BC．
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）作 ∠ACE 的平分线交 AF 于点 G，若 ∠B=40∘，求 ∠AGC 的度数．

20. 为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是 小时，中位数是 小时；
（2）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（3）该校八年级共有 500 人，试估计周末阅读时间不低于 1.5 小时的人数．

21. 某水果店 11 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元，其中甲种水果 8 元/千克，乙种水果 18 元/千克．12 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元/千克，乙种水果 20 元/千克．
（1）若该店 12 月份购进这两种水果的数量与 11 月份都相同，将多支付货款 300 元，求该店 11 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克?
（2）若 12 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克，设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，求 w 与 a 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过 90 千克，则 12 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元?

22. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知：
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图 1，已知 △ABC 为勾股高三角形，其中 C 为勾股顶点，CD 是 AB 边上的高．若 BD=2AD=2，试求线段 CD 的长度．
（2）深入探究：如图 2，已知 △ABC 为勾股高三角形，其中 C 为勾股顶点且 CA>CB，CD 是 AB 边上的高．试探究线段 AD 与 CB 的数量关系，并给予证明；
（3）推广应用：如图 3，等腰 △ABC 为勾股高三角形，其中 AB=AC>BC，CD 为 AB 边上的高，过点 D 向 BC 边引平行线与 AC 边交于点 E．若 CE=a，试求线段 DE 的长度．

23. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线 y=−43x+4 交坐标轴于 A，B 两点，过点 C−4,0 作 CD 交 AB 于 D，交 y 轴于点 E，且 △COE≌△BOA．
（1）求 B 点坐标为 ；线段 OA 的长为 ；
（2）确定直线 CD 解析式，求出点 D 坐标；
（3）如图（2），点 M 是线段 CE 上一动点（不与点 C，E 重合），ON⊥OM 交 AB 于点 N，连接 MN．
①点 M 移动过程中，线段 OM 与 ON 数量关系是否不变，并证明；
②当 △OMN 面积最小时，求点 M 的坐标和 △OMN 面积．
答案
第一部分
1. D【解析】∵−3<−2<0<2，
∴ 所给的各数中，最小的数是 −3．
2. C【解析】A、 32+42=52，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、 52+122=132，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、 92+142≠152，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、 122+162=202，能组成直角三角形，故此选项不符合题意．
3. B
4. B【解析】由题意，得点 P 的坐标是 3,4，点 P 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标是 −3,4，故选：B．
5. C
【解析】∵25<27<36，
∴5<27<6，
∴27+2 的值是在：7 和 8 之间．
6. B【解析】由题意，得 k−2>0，解得 k>2，故选：B．
7. B【解析】∵∠2=∠5，
∴a∥b，
∵∠4=∠5，
∴a∥b，
∵∠1+∠5=180∘，
∴a∥b．
8. B【解析】由勾股定理得，AB=22+12=5，
∴AC=5，
∵ 点 A 表示的数是 −1，
∴ 点 C 表示的数是 5−1．
9. B【解析】根据一次函数的图象与性质分析如下：
A．y1=ax−b：a>0，b<0；y2=bx−a：a<0，b<0．A错误；
B．y1=ax−b：a>0，b<0；y2=bx−a：a>0，b<0．B正确；
C．y1=ax−b：a>0，b>0；y2=bx−a：a<0，b<0．C错误；
D．y1=ax−b：a>0，b>0；y2=bx−a：a>0，b<0．D错误；
故选：B．
10. C
【解析】【分析】首先将点A的横坐标代入y=x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．
【解析】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A−1，b，
∴当x=−1时，b=−1+3=2，
∴点A的坐标为−1，2，
∴关于x、y的方程组y=x+3y=mx+n的解是x=−1y=2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．
11. D【解析】∵∠A=60∘，
∴∠AEF+∠AFE=180∘−60∘=120∘，
∴∠FEB+∠EFC=360∘−120∘=240∘，
∵ 由折叠可得：∠BʹEF+∠EFCʹ=∠FEB+∠EFC=240∘，
∴∠1+∠2=240∘−120∘=120∘，
∵∠1=85∘，
∴∠2=120∘−85∘=35∘．
12. C【解析】① ∵ 点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1 cm/s 的速度移动，
同时点 Q 沿边 AB，BC 从点 A 开始向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，
当点 P 移动到点 A 时，P，Q 同时停止移动；
当点 P 移动到点 A 时，点 Q 移动到点 C，
∴ ①正确；
②根据函数图象可知：
当 AP=AQ 时，△PAQ 面积达到最大值正方形边长为 6 cm；
当 2AP=AQ 时，△PAQ 面积达到最大值为 9，
设正方形的边长为 a，
∵PD=x，则 AP=a−x，AQ=2x，
∴2a−x=2x，解得 x=12a，即当 x=12a 时，y=9，
∴−a24+a22=9，解得 a=±6（−6 舍去），
∴ 正方形的边长为 6 cm，
∴ ②正确；
③当 2AP=AQ 时，△PAQ 面积达到最大值，
∴ ③错误；
④ ∵ 当 x=3 时，y=9，当 x=6 时，y=0，
代入 y=kx+b 中，解得 k=−3，b=18，
∴ 线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 y=−3x+18．
∴ ④正确．
∴ 正确的结论有 3 个．
第二部分
13. ±3
【解析】∵81=9，9 的平方根是 ±3，
∴81 的平方根是 ±3．
14. 甲
【解析】因为甲的方差最小，所以射击成绩较稳定的是甲．
15. 1
【解析】在方程组 2x+y=5, ⋯⋯①x+2y=4, ⋯⋯② 中，
①−② 得：x−y=1．
16. 20193,2021
【解析】∵ 边长为 2 的等边三角形，
∴A0,2，
∵ 直线 y=33x，
∴B13,1，
∵AnBn⊥x 轴，
∴A13,3，
同理可求：B223,2，A223,4，B333,3，A233,5，⋯，Bnn3,n，Ann3,n+2，
∴ 点 A2019 的坐标为 20193,2021．
第三部分
17. （1） 原式=23−3+33=433．
（2） 原式=52×4222−42=102−42=62．
（3） 原式=3−4−∣−3−1∣−−3=−1−4+3=−2．
18. （1）
4x−y=30, ⋯⋯①x−2y=−10. ⋯⋯②①×2−②
得
7x=70.
解得：
x=10.
将 x=10 代入 ② 得
10−2y=−10.
解得：
y=10.
则原方程组的解为：
x=10,y=10.
（2） 方程组整理得：
4x−3y=12, ⋯⋯①3x−4y=2. ⋯⋯②①×4−②×3
得
7x=42.
解得：
x=6.
把 x=6 代入 ① 得：
y=4.
则方程组的解为
x=6,y=4.
19. （1） ∵AF 平分 ∠DAC，
∴∠DAF=∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF=∠B，∠CAF=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2） ∵AB=AC，∠B=40∘，
∴∠ACB=∠B=40∘，
∴∠BAC=100∘，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=140∘，
∵CG 平分 ∠ACE，
∴∠ACG=12∠ACE=70∘，
∵AF∥BC，
∴∠AGC=180∘−∠BCG=180∘−40∘−70∘=70∘．
20. （1） 1.5；1.5
【解析】由题意可得，本次调查的学生数为：30÷30%=100，
阅读时间 1.5 小时的学生数为：100−12−30−18=40，
补全的条形统计图如图所示，
由补全的条形统计图可知，抽查的学生劳动时间的众数是 1.5 小时，中位数是 1.5 小时．
（2） 所有被调查同学的平均劳动时间为：1100×12×0.5+30×1+40×1.5+18×2=1.32 小时，即所有被调查同学的平均劳动时间为 1.32 小时．
（3） 估计周末阅读时间不低于 1.5 小时的人数为 500×40+18100=290（人）．
21. （1） 设该店 11 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克，根据题意得：
8x+18y=1700,10x+20y=1700+300.
解得
x=100,y=50.
答：该店 5 月份购进甲种水果 100 千克，购进乙种水果 50 千克．
（2） 设购进甲种水果 a 千克，需要支付的货款为 w 元，则购进乙种水果 120−a 千克，根据题意得：w=10a+20120−a=−10a+2400．
（3） 根据题意得，a≤90，
由（2）得，w=−10a+2400．
∵−10<0，w 随 a 的增大而减小，
∴a=90 时，w 有最小值 w最小=−10×90+2400=1500（元）．
答：12 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是 1500 元．
22. （1） ①是
②如图 1 中，根据勾股定理可得：CB2=CD2+4，CA2=CD2+1，
于是 CD2=CD2+4−CD2+1=3，
∴CD=3．
（2） 如图 2 中，由 CA2−CB2=CD2 可得：CA2−CD2=CB2，
而 CA2−CD2=AD2，
∴AD2=CB2，即 AD=CB．
（3） 过点 A 向 ED 引垂线，垂足为 G，
∵“勾股高三角形”△ABC 为等腰三角形，且 AB=AC>BC，
∴ 只能是 AC2−BC2=CD2，由上问可知 AD=BC, ⋯⋯①
又 ED∥BC，
∴∠1=∠B, ⋯⋯②
而 ∠AGD=∠CDB=90∘, ⋯⋯③
∴△AGD≌△CDBAAS，
∴DG=BD．
易知 △ADE 与 △ABC 均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知 ED=2DG=2BD．
又 AB=AC，AD=AE，
∴BD=EC=a，
∴ED=2a．
23. （1） 0,4；3
【解析】∵ 直线 y=−43x+4 交坐标轴于 A，B 两点，
∴ 当 y=0 时，x=3；当 x=0 时，y=4，
∴ 点 A 的坐标为 3,0，点 B 的坐标为 0,4，
∴OA=3．
（2） ∵ 过点 C−4,0 作 CD 交 AB 于 D，交 y 轴于点 E，且 △COE≌△BOA，
∴OC=4，OC=OB，OE=OA，
∵ 点 A3,0，
∴OA=3，
∴OE=3，
∴ 点 E 的坐标为 0,3．
设过点 C−4,0，点 E0,3 的直线解析式为 y=kx+b，
−4k+b=0,b=3, 得 k=34,b=3,
∴ 直线 CE 的解析式为 y=34x+3，即直线 CD 的解析式为 y=34x+3，
由 y=34x+3,y=−43+4, 得 x=1225,y=8425,
即点 D 的坐标为 1225,8425．
（3） ①线段 OM 与 ON 数量关系是 OM=ON，保持不变．
证明：
∵△COE≌△BOA，
∴OE=OA，∠OEM=∠OAN，
∵∠BOA=90∘，ON⊥OM，
∴∠MON=∠BOA=90∘，
∴∠MOE+∠EON=∠EON+∠NOA，
∴∠MOE=∠NOA，
在 △MOE 和 △NOA 中，
∠MOE=∠NOA,OE=OA,∠OEM=∠OAN,
∴△MOE≌△NOASAS，
∴OM=ON，即线段 OM 与 ON 数量关系是 OM=ON，保持不变；
②由①知 OM=ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN 面积是：OM⋅ON2=OM22，
∴ 当 OM 取得最小值时，△OMN 面积取得最小值，
∵OC=4，OE=3，∠COE=90∘，
∴CE=5，
∵ 当 OM⊥CE 时，OM 取得最小值，
∴OM⋅CE2=OC⋅OE2，
∴OM×52=4×32，解得 OM=125，
∴△OMN 面积取得最小值是：12522=7225，
当 △OMN 取得最小值时，设此时点 M 的坐标为 a,34a+3，
∴a2+34a+32=1252，解得 a=−3625，
∴34a+3=4825，
∴ 点 M 的坐标为 −3625,4825．
由上可得，当 △OMN 面积最小时，点 M 的坐标是 −3625,4825 和 △OMN 面积是 7225．