2021学年第3章 圆的基本性质3.5 圆周角同步训练题

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在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_________；相等的圆周角所对的弧也相等．
A组 基础训练
1．下列命题中，是假命题的为( )
A．90°的圆周角所对的弦是直径
B．直径所对的圆周角是直角
C．相等的圆周角所对的弧相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
2．如图所示的暗礁区中，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船S不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( )
A．大于60° B．小于60°
C．大于30° D．小于30°
第2题图
第3题图
3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )
A．45° B．60° C．30° D．55°
第4题图
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为( )
A．1 B.eq \r(3) C．2 D．2eq \r(3)
第5题图
5．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为___________．
6．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，D是eq \(BAC,\s\up8(︵))上一点，则∠D＝________．
第6题图
第7题图
7．如图，在⊙O中，弦AB，DC的延长线交于点P，如果∠AOD＝120°，∠BDC＝25°，那么∠P＝________．
第8题图
8．(陕西中考)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是________．
eq \a\vs4\al()9.如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
第9题图
eq \a\vs4\al()10.如图，BC是⊙O的直径，弦AE⊥BC，垂足为D，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(BF,\s\up8(︵))，AE与BF相交于点G，求证：
(1)eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))；
(2)BG＝GE.
第10题图
B组 自主提高
第11题图
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，则⊙O的半径为________．
eq \a\vs4\al()12.如图，已知BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，BF、BE分别与△ABC的外接圆交于点F、E.求证：
(1)EF是△ABC的外接圆直径；
(2)EF是AC的垂直平分线．
第12题图
eq \a\vs4\al()13.如图，等边△ABC内接于⊙O，点D为eq \(BC,\s\up8(︵))上任意一点，在AD上截取AE＝BD，连结CE，求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)AD＝BD＋CD.
第13题图
C组 综合运用
eq \a\vs4\al()14.如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，eq \(AF,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，BF和AD相交于E.
(1)求证：AE＝BE；
(2)若BF＝8，AB＝2eq \r(5)，求AE的长．
第14题图
参考答案
【课堂笔记】
相等
【课时训练】
1－4.CDAD 5.(0，2eq \r(3)) 6.40° 7.35°8．4eq \r(2)
第9题图
9．(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝eq \f(1,2)(180°－45°)＝67.5°，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB＝∠EBC＋∠C，∴∠EBC＝90°－67.5°＝22.5°； (2)证明：连结AD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD. 10.(1)∵BC⊥AE，BC为⊙O直径，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(BF,\s\up8(︵))，∴eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \f(1,2)eq \(BF,\s\up8(︵))，∴eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))； (2)连结BE，∵eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))，∴∠AEB＝∠EBF，∴BG＝EG. 11.eq \r(2) 12.(1)∵BF、BE分别是△ABC的内角∠ABC与外角∠ABD的平分线，∴∠EBA＝eq \f(1,2)∠DBA，∠FBA＝eq \f(1,2)∠CBA，∴∠EBA＋∠FBA＝eq \f(1,2)(∠DBA＋∠CBA)＝90°，即∠EBF＝90°，∴EF是△ABC的外接圆的直径；
(2)∵BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF＝∠ABF，∴eq \(CF,\s\up8(︵))＝eq \(AF,\s\up8(︵))，又EF是△ABC的外接圆的直径，∴EF是AC的垂直平分线． 13.(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵∠EAC＝∠DBC，AE＝BD，∴△ACE≌△BCD(SAS)； (2)∵△ACE≌△BCD，∴BD＝AE，CD＝CE，∠ACE＝∠BCD，∵∠ACE＋∠BCE＝60°，∴∠BCD＋∠BCE＝60°，∴△DEC是正三角形，∴DE＝CD，∴AD＝AE＋DE＝BD＋CD. 14.(1)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，即∠BAD＋∠CAD＝90°.又∵AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACB＝90°，∴∠BAD＝∠ACB.∵eq \(AF,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，∴∠FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA，∴AE＝BE. (2)设AE＝BE＝x，连结OA交BE于点H，∵eq \(AF,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，∴OA⊥BF，且BH＝HF＝4，又∵AB＝2eq \r(5)，∴AH＝2.在△AEH中，设AE＝x，由勾股定理得x2＝(4－x)2＋22，∴x＝2.5，即AE＝2.5.